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5.最长回文子串

力扣题目链接leetcode.cn力扣题目链接/problems/longest-palindromic-substring/

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

  • 输入：s = "babad"
  • 输出："bab"
  • 解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

  • 输入：s = "cbbd"
  • 输出："bb"

示例 3：

  • 输入：s = "a"
  • 输出："a"

示例 4：

  • 输入：s = "ac"
  • 输出："a"

思路​

本题和647.回文子串programmercarl.com647.回文子串/0647.回文子串.html差不多是一样的，但647.回文子串更基本一点，建议可以先做647.回文子串

暴力解法​

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后判断这个区间是不是回文。

时间复杂度：O(n^3)

动态规划​

动规五部曲：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

  1. 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

  • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
  • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
  • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

C++
if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        dp[i][j] = true;
    }
}

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

在得到[i,j]区间是否是回文子串的时候，直接保存最长回文子串的左边界和右边界，代码如下：

C++
if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        dp[i][j] = true;
    }
}
if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
    maxlenth = j - i + 1;
    left = i;
    right = j;
}
  1. dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

  1. 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

647.回文子串

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

C++
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                dp[i][j] = true;
            }
        }
        if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
            maxlenth = j - i + 1;
            left = i;
            right = j;
        }
    }

}
  1. 举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

647.回文子串1

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

以上分析完毕，C++代码如下：

C++
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        int maxlenth = 0;
        int left = 0;
        int right = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
                    maxlenth = j - i + 1;
                    left = i;
                    right = j;
                }
            }

        }
        return s.substr(left, right - left + 1);
    }
};

以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：

C++
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        int maxlenth = 0;
        int left = 0;
        int right = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    dp[i][j] = true;
                }
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxlenth) {
                    maxlenth = j - i + 1;
                    left = i;
                    right = j;
                }
            }
        }
        return s.substr(left, maxlenth);
    }
};
  • 时间复杂度：O(n^2)
  • 空间复杂度：O(n^2)

双指针​

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有的同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算，代码如下：

C++
class Solution {
public:
    int left = 0;
    int right = 0;
    int maxLength = 0;
    string longestPalindrome(string s) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
            extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
        }
        return s.substr(left, maxLength);
    }
    void extend(const string& s, int i, int j, int n) {
        while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
            if (j - i + 1 > maxLength) {
                left = i;
                right = j;
                maxLength = j - i + 1;
            }
            i--;
            j++;
        }
    }
};
  • 时间复杂度：O(n^2)
  • 空间复杂度：O(1)

Manacher 算法​

Manacher 算法的关键在于高效利用回文的对称性，通过插入分隔符和维护中心、边界等信息，在线性时间内找到最长回文子串。这种方法避免了重复计算，是处理回文问题的最优解。

Text
//Manacher 算法
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        // 预处理字符串，在每个字符之间插入 '#'
        string t = "#";
        for (char c : s) {
            t += c; // 添加字符
            t += '#';// 添加分隔符
        }
        int n = t.size();// 新字符串的长度
        vector<int> p(n, 0);// p[i] 表示以 t[i] 为中心的回文半径
        int center = 0, right = 0;// 当前回文的中心和右边界

        // 遍历预处理后的字符串
        for (int i = 0; i < n; i++) {
             // 如果当前索引在右边界内，利用对称性初始化 p[i]
            if (i < right) {
                p[i] = min(right - i, p[2 * center - i]);
            }
             // 尝试扩展回文
            while (i - p[i] - 1 >= 0 && i + p[i] + 1 < n && t[i - p[i] - 1] == t[i + p[i] + 1]) {
                p[i]++;// 增加回文半径
            }
            // 如果当前回文扩展超出右边界，更新中心和右边界
            if (i + p[i] > right) {
                center = i;// 更新中心
                right = i + p[i];// 更新右边界
            }
        }
       // 找到最大回文半径和对应的中心
        int maxLen = 0, centerIndex = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (p[i] > maxLen) {
                maxLen = p[i];// 更新最大回文长度
                centerIndex = i;// 更新中心索引
            }
        }
        // 计算原字符串中回文子串的起始位置并返回
        return s.substr((centerIndex - maxLen) / 2, maxLen);
    }
};
  • 时间复杂度：O(n)
  • 空间复杂度：O(n)

其他语言版本​

Java
// 双指针 动态规划
class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        if (s.length() == 0 || s.length() == 1) return s;
        int length = 1;
        int index = 0;
        boolean[][] palindrome = new boolean[s.length()][s.length()];
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            palindrome[i][i] = true;
        }

        for (int L = 2; L <= s.length(); L++) {
            for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
                int j = i + L - 1;
                if (j >= s.length()) break;
                if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
                    palindrome[i][j] = false;
                } else {
                    if (j - i < 3) {
                        palindrome[i][j] = true;
                    } else {
                        palindrome[i][j] = palindrome[i + 1][j - 1];
                    }
                }
                if (palindrome[i][j] && j - i + 1 > length) {
                    length = j - i + 1;
                    index = i;
                }
            }
        }
        return s.substring(index, index + length);
    }
}
Java
// 双指针 中心扩散法
class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        String s1 = "";
        String s2 = "";
        String res = "";
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            // 分两种情况：即一个元素作为中心点，两个元素作为中心点
            s1 = extend(s, i, i);  // 情况1
            res = s1.length() > res.length() ? s1 : res;
            s2 = extend(s, i, i + 1);  // 情况2
            res = s2.length() > res.length() ? s2 : res;
        }
        return res;  // 返回最长的
    }
    public String extend(String s, int start, int end){
        String tmp = "";
        while (start >= 0 && end < s.length() && s.charAt(start) == s.charAt(end)){
            tmp = s.substring(start, end + 1);  // Java中substring是左闭右开的，所以要+1
            // 向两边扩散
            start--;
            end++;
        }
        return tmp;
    }
}