122.买卖股票的最佳时机II
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 示例 1:
- 输入: [7,1,5,3,6,4]
- 输出: 7 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
- 示例 2:
- 输入: [1,2,3,4,5]
- 输出: 4 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
- 示例 3:
- 输入: [7,6,4,3,1]
- 输出: 0 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
- 1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
- 0 <= prices[i] <= 10 ^ 4
思路
本题我们在讲解贪心专题的时候就已经讲解过了贪心算法：买卖股票的最佳时机II，只不过没有深入讲解动态规划的解法，那么这次我们再好好分析一下动规的解法。
本题和121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）
在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和121. 买卖股票的最佳时机一样一样的。
所以我们重点讲一讲递推公式。
这里重申一下dp数组的含义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
注意这里和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。
在121. 买卖股票的最佳时机中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。
而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
注意这里和121. 买卖股票的最佳时机就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！
代码如下：（注意代码中的注释，标记了和121.买卖股票的最佳时机唯一不同的地方）
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int len = prices.size();
vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0));
dp[0][0] -= prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
}
return dp[len - 1][1];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
大家可以本题和121. 买卖股票的最佳时机的代码几乎一样，唯一的区别在：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
**这正是因为本题的股票可以买卖多次！**所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。
想到到这一点，对这两道题理解的就比较深刻了。
这里我依然给出滚动数组的版本，C++代码如下：
// 版本二
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int len = prices.size();
vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
dp[0][0] -= prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
}
return dp[(len - 1) % 2][1];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
其他语言版本
- Java
- Python
- Go
- JavaScript
- TypeScript
- C#
- C
- Rust
// 动态规划
class Solution
// 实现1：二维数组存储
// 可以将每天持有与否的情况分别用 dp[i][0] 和 dp[i][1] 来进行存储
// 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2]; // 创建二维数组存储状态
dp[0][0] = 0; // 初始状态
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]); // 第 i 天，没有股票
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]); // 第 i 天，持有股票
}
return dp[n - 1][0]; // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0]
}
}
//DP using 2*2 Array (下方還有使用一維滾動數組的更優化版本)
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int dp[][] = new int [2][2];
//dp[i][0]: holding the stock
//dp[i][1]: not holding the stock
dp[0][0] = - prices[0];
dp[0][1] = 0;
for(int i = 1; i < prices.length; i++){
dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i]);
}
return dp[(prices.length - 1) % 2][1];
}
}
// 优化空间
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp = new int[2];
// 0表示持有，1表示卖出
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
// 前一天持有; 既然不限制交易次数，那么再次买股票时，要加上之前的收益
dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i-1]);
// 前一天卖出; 或当天卖出，当天卖出，得先持有
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i-1]);
}
return dp[1];
}
}
版本一：
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
length = len(prices)
dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
for i in range(1, length):
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]) #注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])
return dp[-1][1]
版本二：
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
length = len(prices)
dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
for i in range(1, length):
dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], dp[(i-1) % 2][1] - prices[i])
dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], dp[(i-1) % 2][0] + prices[i])
return dp[(length-1) % 2][1]
// 买卖股票的最佳时机Ⅱ 动态规划
// 时间复杂度：O(n) 空间复杂度：O(n)
func maxProfit(prices []int) int {
dp := make([][]int, len(prices))
status := make([]int, len(prices) * 2)
for i := range dp {
dp[i] = status[:2]
status = status[2:]
}
dp[0][0] = -prices[0]
for i := 1; i < len(prices); i++ {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i])
}
return dp[len(prices) - 1][1]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
// 动态规划 版本二 滚动数组
func maxProfit(prices []int) int {
dp := [2][2]int{} // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
for i := 1; i < len(prices); i++ {
dp[i%2][0] = max(dp[(i-1)%2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i])
dp[i%2][1] = max(dp[(i-1)%2][1], dp[(i-1)%2][0] + prices[i])
}
return dp[(len(prices)-1)%2][1]
}
func max(x, y int) int {
if x > y {
return x
}
return y
}
// 方法一：动态规划（dp 数组）
const maxProfit = (prices) => {
let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(2).fill(0));
// dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
// dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
dp[0][0] = 0 - prices[0];
dp[0][1] = 0;
for(let i = 1; i < prices.length; i++) {
// 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
// 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
// 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);
// 在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
// 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
// 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
}
return dp[prices.length -1][1];
};
// 方法二：动态规划（滚动数组）
const maxProfit = (prices) => {
// 滚动数组
// have: 第i天持有股票最大收益; notHave: 第i天不持有股票最大收益
let n = prices.length,
have = -prices[0],
notHave = 0;
for (let i = 1; i < n; i++) {
have = Math.max(have, notHave - prices[i]);
notHave = Math.max(notHave, have + prices[i]);
}
// 最终手里不持有股票才能保证收益最大化
return notHave;
}
动态规划
function maxProfit(prices: number[]): number {
/**
dp[i][0]: 第i天持有股票
dp[i][1]: 第i天不持有股票
*/
const length: number = prices.length;
if (length === 0) return 0;
const dp: number[][] = new Array(length).fill(0).map(_ => []);
dp[0] = [-prices[0], 0];
for (let i = 1; i < length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
}
return dp[length - 1][1];
};
贪心法
function maxProfit(prices: number[]): number {
let resProfit: number = 0;
for (let i = 1, length = prices.length; i < length; i++) {
if (prices[i] > prices[i - 1]) {
resProfit += prices[i] - prices[i - 1];
}
}
return resProfit;
};
贪心法
public class Solution
{
public int MaxProfit(int[] prices)
{
int res = 0;
for (int i = 1; i < prices.Length; i++)
res += Math.Max(0, prices[i] - prices[i-1]);
return res;
}
}
动态规划
public class Solution
{
public int MaxProfit(int[] prices)
{
int[] dp = new int[2];
dp[0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.Length; i++)
{
dp[0] = dp[0]>dp[1] - prices[i]?dp[0]:dp[1] - prices[i];
dp[1] = dp[1] > dp[0] + prices[i] ? dp[1] : dp[0] + prices[i];
}
return dp[1];
}
}
动态规划
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
int **dp = malloc(sizeof (int *) * pricesSize);
for (int i = 0; i < pricesSize; ++i) {
dp[i] = malloc(sizeof (int ) * 2);
}
// 0表示持有该股票所得最大，1表示不持有所得最大
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < pricesSize; ++i) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
}
return dp[pricesSize - 1][1];
}
贪心
int maxProfit(int* prices, int pricesSize) {
if(pricesSize == 0){
return 0;
}
int result = 0;
for(int i = 1; i < pricesSize; i++){
// 如果今天股票价格大于昨天，代表有利润
if(prices[i] > prices[i - 1]){
result += prices[i] - prices[i - 1];
}
}
return result;
}
贪心
impl Solution {
pub fn max_profit(prices: Vec<i32>) -> i32 {
let mut result = 0;
for i in 1..prices.len() {
result += (prices[i] - prices[i - 1]).max(0);
}
result
}
}
动态规划
impl Solution {
pub fn max_profit(prices: Vec<i32>) -> i32 {
let mut dp = vec![vec![0; 2]; prices.len()];
dp[0][0] = -prices[0];
for i in 1..prices.len() {
dp[i][0] = dp[i - 1][0].max(dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = dp[i - 1][1].max(dp[i - 1][0] + prices[i]);
}
dp[prices.len() - 1][1]
}
}
优化
impl Solution {
pub fn max_profit(prices: Vec<i32>) -> i32 {
let mut dp = vec![-prices[0], 0];
for p in prices {
dp[0] = dp[0].max(dp[1] - p);
dp[1] = dp[1].max(dp[0] + p);
}
dp[1]
}
}