Skip to main content

494.目标和

力扣题目链接leetcode.cn力扣题目链接/problems/target-sum/

难度：中等

给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

  • 输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
  • 输出：5

解释：

  • -1+1+1+1+1 = 3
  • +1-1+1+1+1 = 3
  • +1+1-1+1+1 = 3
  • +1+1+1-1+1 = 3
  • +1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

  • 数组非空，且长度不会超过 20 。
  • 初始的数组的和不会超过 1000 。
  • 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

思路​

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

如果跟着「代码随想录」一起学过回溯算法系列programmercarl.com回溯算法系列/回溯总结.html的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以暴搜出来。

事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

回溯算法​

在回溯算法系列中，一起学过这道题目回溯算法：39. 组合总和programmercarl.com回溯算法：39. 组合总和/0039.组合总和.html的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？

此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。

当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。

我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：

C++
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要格外小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};

当然以上代码超时了。

也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧

动态规划 （二维dp数组）​

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，用nums装满容量为x的背包，有几种方法。

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum是5，target是2 的话其实就是无解的，所以：

C++
（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果target 的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

C++
if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案

因为每个物品（题目中的1）只用一次！

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

1. 确定dp数组以及下标的含义​

先用 二维 dp数组求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。

01背包为什么这么定义dp数组，我在0-1背包理论基础programmercarl.com0-1背包理论基础/背包理论基础01背包-1.html中 确定dp数组的含义里讲解过。

2. 确定递推公式​

我们先手动推导一下，这个二维数组里面的数值。

先只考虑物品0，如图：

（这里的所有物品，都是题目中的数字1）。

装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。

装满背包容量为1 的方法个数是1，即 放物品0。

装满背包容量为2 的方法个数是0，目前没有办法能装满容量为2的背包。

接下来 考虑 物品0 和 物品1，如图：

装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。

装满背包容量为1 的方法个数是2，即 放物品0 或者 放物品1。

装满背包容量为2 的方法个数是1，即 放物品0 和 放物品1。

其他容量都不能装满，所以方法是0。

接下来 考虑 物品0 、物品1 和 物品2 ，如图：

装满背包容量为0 的方法个数是1，即 放0件物品。

装满背包容量为1 的方法个数是3，即 放物品0 或者 放物品1 或者 放物品2。

装满背包容量为2 的方法个数是3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品2、放物品1 和 物品2。

装满背包容量为3的方法个数是1，即 放物品0 和 物品1 和 物品2。

通过以上举例，我们来看 dp[2][2] 可以有哪些方向推出来。

如图红色部分：

dp[2][2] = 3，即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品 2、放物品1 和 物品2， 如图所示，三种方法：

容量为2 的背包，如果不放 物品2 有几种方法呢？

有 dp[1][2] 种方法，即 背包容量为2，只考虑物品0 和 物品1 ，有 dp[1][2] 种方法，如图：

容量为2 的背包， 如果放 物品2 有几种方法呢？

首先 要在背包里 先把物品2的容量空出来， 装满 刨除物品2容量 的背包 有几种方法呢？

刨除物品2容量后的背包容量为 1。

此时装满背包容量为1 有 dp[1][1] 种方法，即： 不放物品2，背包容量为1，只考虑物品 0 和 物品 1，有 dp[1][1] 种方法。

如图：

有录友可能疑惑，这里计算的是放满 容量为2的背包 有几种方法，那物品2去哪了？

在上面图中，你把物品2补上就好，同样是两种方法。

dp[2][2] = 容量为2的背包不放物品2有几种方法 + 容量为2的背包放物品2有几种方法

所以 dp[2][2] = dp[1][2] + dp[1][1] ，如图：

以上过程，抽象化如下：

  • 不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。
  • 放物品i： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。

本题中，物品i的容量是nums[i]，价值也是nums[i]。

递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];

考到这个递推公式，我们应该注意到，j - nums[i]作为数组下标，如果j - nums[i]小于零呢？

说明背包容量装不下 物品i，所以此时装满背包的方法值 等于 不放物品i的装满背包的方法，即：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

所以递推公式：

C++
if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];

3. dp数组如何初始化​

先明确递推的方向，如图，求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。

那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：

关于dp[0][0]的值，在上面的递推公式讲解中已经讲过，装满背包容量为0 的方法数量是1，即 放0件物品。

那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？

dp[0][j]：只放物品0， 把容量为j的背包填满有几种方法。

只有背包容量为 物品0 的容量的时候，方法为1，正好装满。

其他情况下，要不是装不满，要不是装不下。

所以初始化：dp[0][nums[0]] = 1 ，其他均为0 。

表格最左列也要初始化，dp[i][0] : 背包容量为0， 放物品0 到 物品i，装满有几种方法。

都是有一种方法，就是放0件物品。

即 dp[i][0] = 1

但这里有例外，就是如果 物品数值就是0呢？

如果有两个物品，物品0为0， 物品1为0，装满背包容量为0的方法有几种。

  • 放0件物品
  • 放物品0
  • 放物品1
  • 放物品0 和 物品1

此时是有4种方法。

其实就是算数组里有t个0，然后按照组合数量求，即 2^t 。

初始化如下：

C++
int numZero = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    if (nums[i] == 0) numZero++;
    dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
}

4. 确定遍历顺序​

在明确递推方向时，我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。

那么我们的遍历顺序一定是 从上到下，从左到右。

因为只有这样，我们才能基于之前的数值做推导。

例如下图，如果上方没数值，左上方没数值，就无法推出 dp[2][2]。

那么是先 从上到下 ，再从左到右遍历，例如这样：

C++
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
    for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
    }
}

还是先 从左到右，再从上到下呢，例如这样：

C++
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
    }
}

其实以上两种遍历都可以！ （但仅针对二维DP数组是这样的）

这一点我在01背包理论基础programmercarl.com01背包理论基础/背包理论基础01背包-1.html中的 遍历顺序部分讲过。

这里我再画图讲一下，以求dp[2][2]为例，当先从上到下，再从左到右遍历，矩阵是这样：

当先从左到右，再从上到下遍历，矩阵是这样：

这里大家可以看出，无论是以上哪种遍历，都不影响 dp[2][2]的求值，用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。

5. 举例推导dp数组​

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

这么大的矩阵，我们是可以自己手动模拟出来的。

在模拟的过程中，既可以帮我们寻找规律，也可以帮我们验证 递推公式加遍历顺序是不是按照我们想象的结果推进的。

最后二维dp数组的C++代码如下：

C++
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;

        vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(bagSize + 1, 0));

        // 初始化最上行
        if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1;

        // 初始化最左列，最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
        dp[0][0] = 1;

        int numZero = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] == 0) numZero++;
            dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
        }

        // 以下遍历顺序行列可以颠倒
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行，遍历物品
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
                if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[nums.size() - 1][bagSize];
    }
};

动态规划 （一维dp数组）​

将二维dp数组压缩成一维dp数组，我们在01背包理论基础（滚动数组）programmercarl.com01背包理论基础（滚动数组）/背包理论基础01背包-2.html讲过滚动数组，原理是一样的，即重复利用每一行的数值。

既然是重复利用每一行，就是将二维数组压缩成一行。

dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。

2. 确定递推公式​

二维DP数组递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];

去掉维度i 之后，递推公式：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]]，即：dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

3. dp数组如何初始化​

在上面 二维dp数组中，我们讲解过 dp[0][0] 初始为1，这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。

4. 确定遍历顺序​

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）programmercarl.com动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）/背包理论基础01背包-2.html中，我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。

遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。

5. 举例推导dp数组​

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

大家可以和 二维dp数组的打印结果做一下对比。

一维DP的C++代码如下：

C++
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};
  • 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
  • 空间复杂度：O(m)，m为背包容量

拓展​

关于一维dp数组的递推公式解释，也可以从以下维度来理解。 （但还是从二维DP数组到一维DP数组这样更容易理解一些）

  1. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

  • 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
  • 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
  • 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
  • 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
  • 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

Text
dp[j] += dp[j - nums[i]]

总结​

此时 大家应该不禁想起，我们之前讲过的回溯算法：39. 组合总和programmercarl.com回溯算法：39. 组合总和/0039.组合总和.html是不是应该也可以用dp来做啊？

是可以求的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但回溯算法：39. 组合总和programmercarl.com回溯算法：39. 组合总和/0039.组合总和.html要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法暴搜的。

本题还是有点难度，理解上从二维DP数组更容易理解，做题上直接用一维DP更简洁一些。

大家可以选择哪种方式自己更容易理解。

在后面得题目中，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：

C++
dp[j] += dp[j - nums[i]];

我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！

其他语言版本​

Java
class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];

        //如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的
        if (Math.abs(target) > sum) return 0;
        //如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;

        int bagSize = (target + sum) / 2;
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }

        return dp[bagSize];
    }
}

易于理解的二维数组版本：

Java
class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {

        // 01背包应用之“有多少种不同的填满背包最大容量的方法“
        // 易于理解的二维数组解法及详细注释

        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
        }

        // 注意nums[i] >= 0的题目条件，意味着sum也是所有nums[i]的绝对值之和
        // 这里保证了sum + target一定是大于等于零的，也就是left大于等于零（毕竟我们定义left大于right）
        if(sum < Math.abs(target)){
            return 0;
        }

        // 利用二元一次方程组将left用target和sum表示出来（替换掉right组合），详见代码随想录对此题的分析
        // 如果所求的left数组和为小数，则作为整数数组的nums里的任何元素自然是没有办法凑出这个小数的
        if((sum + target) % 2 != 0) {
            return 0;
        }

        int left = (sum + target) / 2;

        // dp[i][j]：遍历到数组第i个数时， left为j时的能装满背包的方法总数
        int[][] dp = new int[nums.length][left + 1];

        // 初始化最上行（dp[0][j])，当nums[0] == j时（注意nums[0]和j都一定是大于等于零的，因此不需要判断等于-j时的情况），有唯一一种取法可取到j，dp[0][j]此时等于1
        // 其他情况dp[0][j] = 0
        // java整数数组默认初始值为0
        if (nums[0] <= left) {
            dp[0][nums[0]] = 1;
        }

        // 初始化最左列（dp[i][0])
        // 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时（n > 0)，每个0可以取+/-，因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案
        // n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数，因此只有一种方案可以取到j = 0（就是所有数都不取）
        int numZeros = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(nums[i] == 0) {
                numZeros++;
            }
            dp[i][0] = (int) Math.pow(2, numZeros);

        }

        // 递推公式分析：
        // 当nums[i] > j时，这时候nums[i]一定不能取，所以是dp[i - 1][j]种方案数
        // nums[i] <= j时，num[i]可取可不取，因此方案数是dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
        // 由递推公式可知，先遍历i或j都可
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for(int j = 1; j <= left; j++) {
                if(nums[i] > j) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
                }
            }
        }

        return dp[nums.length - 1][left];

    }
}