53. 最大子序和
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
- 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
- 输出: 6
- 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
思路
暴力解法
暴力解法的思路，第一层 for 就是设置起始位置，第二层 for 循环遍历数组寻找最大值
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int result = INT32_MIN;
int count = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 设置起始位置
count = 0;
for (int j = i; j < nums.size(); j++) { // 每次从起始位置i开始遍历寻找最大值
count += nums[j];
result = count > result ? count : result;
}
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(1)
以上暴力的解法 C++勉强可以过，其他语言就不确定了。
贪心解法
贪心贪的是哪里呢？
如果 -2 1 在一起，计算起点的时候，一定是从 1 开始计算，因为负数只会拉低总和，这就是贪心贪的地方！
局部最优：当前“连续和”为负数的时候立刻放弃，从下一个元素重新计算“连续和”，因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。
全局最优：选取最大“连续和”
局部最优的情况下，并记录最大的“连续和”，可以推出全局最优。
从代码角度上来讲：遍历 nums，从头开始用 count 累积，如果 count 一旦加上 nums[i]变为负数，那么就应该从 nums[i+1]开始从 0 累积 count 了，因为已经变为负数的 count，只会拖累总和。
这相当于是暴力解法中的不断调整最大子序和区间的起始位置。
那有同学问了，区间终止位置不用调整么？ 如何才能得到最大“连续和”呢？
区间的终止位置，其实就是如果 count 取到最大值了，及时记录下来了。例如如下代码：
if (count > result) result = count;
这样相当于是用 result 记录最大子序和区间和（变相的算是调整了终止位置）。
如动画所示：
红色的起始位置就是贪心每次取 count 为正数的时候，开始一个区间的统计。
那么不难写出如下 C++代码（关键地方已经注释）
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int result = INT32_MIN;
int count = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
count += nums[i];
if (count > result) { // 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
result = count;
}
if (count <= 0) count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
当然题目没有说如果数组为空，应该返回什么，所以数组为空的话返回啥都可以了。
常见误区
误区一：
不少同学认为 如果输入用例都是-1，或者 都是负数，这个贪心算法跑出来的结果是 0， 这是又一次证明脑洞模拟不靠谱的经典案例，建议大家把代码运行一下试一试，就知道了，也会理解 为什么 result 要初始化为最小负数了。
误区二：
大家在使用贪心算法求解本题，经常陷入的误区，就是分不清，是遇到 负数就选择起始位置，还是连续和为负选择起始位置。
在动画演示用，大家可以发现， 4，遇到 -1 的时候，我们依然累加了，为什么呢？
因为和为 3，只要连续和还是正数就会 对后面的元素 起到增大总和的作用。 所以只要连续和为正数我们就保留。
这里也会有录友疑惑，那 4 + -1 之后 不就变小了吗？ 会不会错过 4 成为最大连续和的可能性？
其实并不会，因为还有一个变量 result 一直在更新 最大的连续和，只要有更大的连续和出现，result 就更新了，那么 result 已经把 4 更新了，后面 连续和变成 3，也不会对最后结果有影响。
动态规划
当然本题还可以用动态规划来做，在代码随想录动态规划章节我会详细介绍，如果大家想在想看，可以直接跳转：动态规划版本详解
那么先给出我的 dp 代码如下，有时间的录友可以提前做一做：
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
vector<int> dp(nums.size(), 0); // dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
dp[0] = nums[0];
int result = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
总结
本题的贪心思路其实并不好想，这也进一步验证了，别看贪心理论很直白，有时候看似是常识，但贪心的题目一点都不简单！
后续将介绍的贪心题目都挺难的，所以贪心很有意思，别小看贪心！
其他语言版本
- Java
- Python
- Go
- Rust
- JavaScript
- C
- TypeScript
- Scala
- C#
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums.length == 1){
return nums[0];
}
int sum = Integer.MIN_VALUE;
int count = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++){
count += nums[i];
sum = Math.max(sum, count); // 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
if (count <= 0){
count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
}
}
return sum;
}
}
// DP 方法
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int ans = Integer.MIN_VALUE;
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
ans = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
ans = Math.max(dp[i], ans);
}
return ans;
}
}
暴力法
class Solution:
def maxSubArray(self, nums):
result = float('-inf') # 初始化结果为负无穷大
count = 0
for i in range(len(nums)): # 设置起始位置
count = 0
for j in range(i, len(nums)): # 从起始位置i开始遍历寻找最大值
count += nums[j]
result = max(count, result) # 更新最大值
return result
贪心法
class Solution:
def maxSubArray(self, nums):
result = float('-inf') # 初始化结果为负无穷大
count = 0
for i in range(len(nums)):
count += nums[i]
if count > result: # 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
result = count
if count <= 0: # 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
count = 0
return result
动态规划
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
dp = [0] * len(nums)
dp[0] = nums[0]
res = nums[0]
for i in range(1, len(nums)):
dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
res = max(res, dp[i])
return res
动态规划
class Solution:
def maxSubArray(self, nums):
if not nums:
return 0
dp = [0] * len(nums) # dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
dp[0] = nums[0]
result = dp[0]
for i in range(1, len(nums)):
dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]) # 状态转移公式
if dp[i] > result:
result = dp[i] # result 保存dp[i]的最大值
return result
动态规划优化
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
max_sum = float("-inf") # 初始化结果为负无穷大，方便比较取最大值
current_sum = 0 # 初始化当前连续和
for num in nums:
# 更新当前连续和
# 如果原本的连续和加上当前数字之后没有当前数字大，说明原本的连续和是负数，那么就直接从当前数字开始重新计算连续和
current_sum = max(current_sum+num, num)
max_sum = max(max_sum, current_sum) # 更新结果
return max_sum
贪心法
func maxSubArray(nums []int) int {
max := nums[0]
count := 0
for i := 0; i < len(nums); i++{
count += nums[i]
if count > max{
max = count
}
if count < 0 {
count = 0
}
}
return max
}
动态规划
func maxSubArray(nums []int) int {
maxSum := nums[0]
for i := 1; i < len(nums); i++ {
if nums[i] + nums[i-1] > nums[i] {
nums[i] += nums[i-1]
}
if nums[i] > maxSum {
maxSum = nums[i]
}
}
return maxSum
}
pub fn max_sub_array(nums: Vec<i32>) -> i32 {
let mut max_sum = i32::MIN;
let mut curr = 0;
for n in nums.iter() {
curr += n;
max_sum = max_sum.max(curr);
curr = curr.max(0);
}
max_sum
}
var maxSubArray = function(nums) {
let result = -Infinity
let count = 0
for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
count += nums[i]
if(count > result) {
result = count
}
if(count < 0) {
count = 0
}
}
return result
};
贪心：
int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
int maxVal = INT_MIN;
int subArrSum = 0;
int i;
for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
subArrSum += nums[i];
// 若当前局部和大于之前的最大结果，对结果进行更新
maxVal = subArrSum > maxVal ? subArrSum : maxVal;
// 若当前局部和为负，对结果无益。则从nums[i+1]开始应重新计算。
subArrSum = subArrSum < 0 ? 0 : subArrSum;
}
return maxVal;
}
动态规划：
/**
* 解题思路：动态规划：
* 1. dp数组：dp[i]表示从0到i的子序列中最大序列和的值
* 2. 递推公式：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
若dp[i-1]<0，对最后结果无益。dp[i]则为nums[i]。
* 3. dp数组初始化：dp[0]的最大子数组和为nums[0]
* 4. 推导顺序：从前往后遍历
*/
#define max(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))
int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
int dp[numsSize];
// dp[0]最大子数组和为nums[0]
dp[0] = nums[0];
// 若numsSize为1，应直接返回nums[0]
int subArrSum = nums[0];
int i;
for(i = 1; i < numsSize; ++i) {
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
// 若dp[i]大于之前记录的最大值，进行更新
if(dp[i] > subArrSum)
subArrSum = dp[i];
}
return subArrSum;
}
贪心
function maxSubArray(nums: number[]): number {
let curSum: number = 0;
let resMax: number = -Infinity;
for (let i = 0, length = nums.length; i < length; i++) {
curSum += nums[i];
resMax = Math.max(curSum, resMax);
if (curSum < 0) curSum = 0;
}
return resMax;
}
动态规划
// 动态规划
function maxSubArray(nums: number[]): number {
const length = nums.length;
if (length === 0) return 0;
const dp: number[] = [];
dp[0] = nums[0];
let resMax: number = nums[0];
for (let i = 1; i < length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
resMax = Math.max(resMax, dp[i]);
}
return resMax;
}
贪心
object Solution {
def maxSubArray(nums: Array[Int]): Int = {
var result = Int.MinValue
var count = 0
for (i <- nums.indices) {
count += nums(i) // count累加
if (count > result) result = count // 记录最大值
if (count <= 0) count = 0 // 一旦count为负，则count归0
}
result
}
}
动态规划
object Solution {
def maxSubArray(nums: Array[Int]): Int = {
var dp = new Array[Int](nums.length)
var result = nums(0)
dp(0) = nums(0)
for (i <- 1 until nums.length) {
dp(i) = math.max(nums(i), dp(i - 1) + nums(i))
result = math.max(result, dp(i)) // 更新最大值
}
result
}
}
贪心
public class Solution
{
public int MaxSubArray(int[] nums)
{
int res = Int32.MinValue;
int count = 0;
for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
{
count += nums[i];
res = Math.Max(res, count);
if (count < 0) count = 0;
}
return res;
}
}