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58. 区间和

本题为代码随想录后续扩充题目，还没有视频讲解，顺便让大家练习一下ACM输入输出模式（笔试面试必备）

题目链接kamacoder.com题目链接/problempage.php?pid=1070

题目描述

给定一个整数数组 Array，请计算该数组在每个指定区间内元素的总和。

输入描述

第一行输入为整数数组 Array 的长度 n，接下来 n 行，每行一个整数，表示数组的元素。随后的输入为需要计算总和的区间，直至文件结束。

输出描述

输出每个指定区间内元素的总和。

输入示例

Text
5
1
2
3
4
5
0 1
1 3

输出示例

Text
3
9

数据范围：

0 < n <= 100000

思路​

本题我们来讲解 数组 上常用的解题技巧：前缀和

首先来看本题，我们最直观的想法是什么？

那就是给一个区间，然后 把这个区间的和都累加一遍不就得了，是一道简单不能再简单的题目。

代码如下：

C++
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n;
    vector<int> vec(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> vec[i];
    while (cin >> a >> b) {
        int sum = 0;
        // 累加区间 a 到 b 的和
        for (int i = a; i <= b; i++) sum += vec[i];
        cout << sum << endl;
    }
}

代码一提交，发现超时了.....

我在制作本题的时候，特别制作了大数据量查询，卡的就是这种暴力解法。

来举一个极端的例子，如果我查询m次，每次查询的范围都是从0 到 n - 1

那么该算法的时间复杂度是 O(n * m) m 是查询的次数

如果查询次数非常大的话，这个时间复杂度也是非常大的。

接下来我们来引入前缀和，看看前缀和如何解决这个问题。

前缀和的思想是重复利用计算过的子数组之和，从而降低区间查询需要累加计算的次数。

前缀和 在涉及计算区间和的问题时非常有用！

前缀和的思路其实很简单，我给大家举个例子很容易就懂了。

例如，我们要统计 vec[i] 这个数组上的区间和。

我们先做累加，即 p[i] 表示 下标 0 到 i 的 vec[i] 累加 之和。

如图：

如果，我们想统计，在vec数组上 下标 2 到下标 5 之间的累加和，那是不是就用 p[5] - p[1] 就可以了。

为什么呢？

p[1] = vec[0] + vec[1];

p[5] = vec[0] + vec[1] + vec[2] + vec[3] + vec[4] + vec[5];

p[5] - p[1] = vec[2] + vec[3] + vec[4] + vec[5];

这不就是我们要求的 下标 2 到下标 5 之间的累加和吗。

如图所示：

p[5] - p[1]就是 红色部分的区间和。

而 p 数组是我们之前就计算好的累加和，所以后面每次求区间和的之后 我们只需要 O(1) 的操作。

特别注意： 在使用前缀和求解的时候，要特别注意 求解区间。

如上图，如果我们要求 区间下标 [2, 5] 的区间和，那么应该是 p[5] - p[1]，而不是 p[5] - p[2]。

很多录友在使用前缀和的时候，分不清前缀和的区间，建议画一画图，模拟一下 思路会更清晰。

本题C++代码如下：

C++
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n;
    vector<int> vec(n);
    vector<int> p(n);
    int presum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> vec[i];
        presum += vec[i];
        p[i] = presum;
    }

    while (cin >> a >> b) {
        int sum;
        if (a == 0) sum = p[b];
        else sum = p[b] - p[a - 1];
        cout << sum << endl;
    }
}

C++ 代码 面对大量数据 读取 输出操作，最好用scanf 和 printf，耗时会小很多：

C++
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n;
    vector<int> vec(n);
    vector<int> p(n);
    int presum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &vec[i]);
        presum += vec[i];
        p[i] = presum;
    }

    while (~scanf("%d%d", &a, &b)) {
        int sum;
        if (a == 0) sum = p[b];
        else sum = p[b] - p[a - 1];
        printf("%d\n", sum);
    }
}

其他语言版本​

Java
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        int n = scanner.nextInt();
        int[] vec = new int[n];
        int[] p = new int[n];

        int presum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            vec[i] = scanner.nextInt();
            presum += vec[i];
            p[i] = presum;
        }

        while (scanner.hasNextInt()) {
            int a = scanner.nextInt();
            int b = scanner.nextInt();

            int sum;
            if (a == 0) {
                sum = p[b];
            } else {
                sum = p[b] - p[a - 1];
            }
            System.out.println(sum);
        }

        scanner.close();
    }
}