40.组合总和II

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明：所有数字（包括目标数）都是正整数。解集不能包含重复的组合。

示例 1:
输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
所求解集为:

Text
[
  [1, 7],
  [1, 2, 5],
  [2, 6],
  [1, 1, 6]
]

示例 2:
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
所求解集为:

Text
[
  [1,2,2],
  [5]
]

思路

这道题目和39.组合总和如下区别：

本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
本题数组candidates的元素是有重复的，而

39.组合总和

是无重复元素的数组candidates

最后本题和39.组合总和要求一样，解集不能包含重复的组合。

本题的难点在于区别2中：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。

一些同学可能想了：我把所有组合求出来，再用set或者map去重，这么做很容易超时！

所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。

很多同学在去重的问题上想不明白，其实很多题解也没有讲清楚，反正代码是能过的，感觉是那么回事，稀里糊涂的先把题目过了。

这个去重为什么很难理解呢，**所谓去重，其实就是使用过的元素不能重复选取。**这么一说好像很简单！

都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上使用过，一个维度是同一树层上使用过。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。

那么问题来了，我们是要同一树层上使用过，还是同一树枝上使用过呢？

回看一下题目，元素在同一个组合内是可以重复的，怎么重复都没事，但两个组合不能相同。

所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。

为了理解去重我们来举一个例子，candidates = [1, 1, 2], target = 3，（方便起见candidates已经排序了）

强调一下，树层去重的话，需要对数组排序！

选择过程树形结构如图所示：

40.组合总和II

可以看到图中，每个节点相对于39.组合总和我多加了used数组，这个used数组下面会重点介绍。

回溯三部曲

递归函数参数

与39.组合总和套路相同，此题还需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。

这个集合去重的重任就是used来完成的。

代码如下：

C++
vector<vector<int>> result; // 存放组合集合
vector<int> path;           // 符合条件的组合
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {

递归终止条件

与39.组合总和相同，终止条件为sum > target和sum == target。

代码如下：

C++
if (sum > target) { // 这个条件其实可以省略
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}

sum > target这个条件其实可以省略，因为在递归单层遍历的时候，会有剪枝的操作，下面会介绍到。

单层搜索的逻辑

这里与39.组合总和最大的不同就是要去重了。

前面我们提到：要去重的是“同一树层上的使用过”，如何判断同一树层上元素（相同的元素）是否使用过了呢。

如果candidates[i] == candidates[i - 1]并且used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。

此时for循环里就应该做continue的操作。

这块比较抽象，如图：

40.组合总和II1

我在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：

used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

可能有的录友想，为什么 used[i - 1] == false 就是同一树层呢，因为同一树层，used[i - 1] == false 才能表示，当前取的 candidates[i] 是从 candidates[i - 1] 回溯而来的。

而 used[i - 1] == true，说明是进入下一层递归，去下一个数，所以是树枝上，如图所示：

这块去重的逻辑很抽象，网上搜的题解基本没有能讲清楚的，如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目，看到这里一定会感觉通透了很多！

那么单层搜索的逻辑代码如下：

C++
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
    // used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
    // used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
    // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
    if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
        continue;
    }
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    used[i] = true;
    backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1：这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
    used[i] = false;
    sum -= candidates[i];
    path.pop_back();
}

注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作，在39.组合总和有讲解过！

回溯三部曲分析完了，整体C++代码如下：

C++
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
            // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1，这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
            used[i] = false;
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<bool> used(candidates.size(), false);
        path.clear();
        result.clear();
        // 首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

补充

这里直接用startIndex来去重也是可以的，就不用used数组了。

C++
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if (i > startIndex && candidates[i] == candidates[i - 1]) {
                continue;
            }
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1); // 和39.组合总和的区别1，这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        path.clear();
        result.clear();
        // 首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

总结

本题同样是求组合总和，但就是因为其数组candidates有重复元素，而要求不能有重复的组合，所以相对于39.组合总和难度提升了不少。

关键是去重的逻辑，代码很简单，网上一搜一大把，但几乎没有能把这块代码含义讲明白的，基本都是给出代码，然后说这就是去重了，究竟怎么个去重法也是模棱两可。

所以Carl有必要把去重的这块彻彻底底的给大家讲清楚，就连“树层去重”和“树枝去重”都是我自创的词汇，希望对大家理解有帮助！

其他语言版本

使用标记数组

Java
class Solution {
  LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
  List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
  boolean[] used;
  int sum = 0;

  public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
    used = new boolean[candidates.length];
    // 加标志数组，用来辅助判断同层节点是否已经遍历
    Arrays.fill(used, false);
    // 为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序
    Arrays.sort(candidates);
    backTracking(candidates, target, 0);
    return ans;
  }

  private void backTracking(int[] candidates, int target, int startIndex) {
    if (sum == target) {
      ans.add(new ArrayList(path));
    }
    for (int i = startIndex; i < candidates.length; i++) {
      if (sum + candidates[i] > target) {
        break;
      }
      // 出现重复节点，同层的第一个节点已经被访问过，所以直接跳过
      if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && !used[i - 1]) {
        continue;
      }
      used[i] = true;
      sum += candidates[i];
      path.add(candidates[i]);
      // 每个节点仅能选择一次，所以从下一位开始
      backTracking(candidates, target, i + 1);
      used[i] = false;
      sum -= candidates[i];
      path.removeLast();
    }
  }
}

不使用标记数组

Java
class Solution {
  List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
  LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
  int sum = 0;

  public List<List<Integer>> combinationSum2( int[] candidates, int target ) {
    //为了将重复的数字都放到一起，所以先进行排序
    Arrays.sort( candidates );
    backTracking( candidates, target, 0 );
    return res;
  }

  private void backTracking( int[] candidates, int target, int start ) {
    if ( sum == target ) {
      res.add( new ArrayList<>( path ) );
      return;
    }
    for ( int i = start; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= target; i++ ) {
      //正确剔除重复解的办法
      //跳过同一树层使用过的元素
      if ( i > start && candidates[i] == candidates[i - 1] ) {
        continue;
      }

      sum += candidates[i];
      path.add( candidates[i] );
      // i+1 代表当前组内元素只选取一次
      backTracking( candidates, target, i + 1 );

      int temp = path.getLast();
      sum -= temp;
      path.removeLast();
    }
  }
}

回溯

Python
class Solution:

    def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
        if total == target:
            result.append(path[:])
            return

        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            if i > startIndex and candidates[i] == candidates[i - 1]:
                continue

            if total + candidates[i] > target:
                break

            total += candidates[i]
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result)
            total -= candidates[i]
            path.pop()

    def combinationSum2(self, candidates, target):
        result = []
        candidates.sort()
        self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], result)
        return result

回溯使用used

Python
class Solution:

    def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, used, path, result):
        if total == target:
            result.append(path[:])
            return

        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            # 对于相同的数字，只选择第一个未被使用的数字，跳过其他相同数字
            if i > startIndex and candidates[i] == candidates[i - 1] and not used[i - 1]:
                continue

            if total + candidates[i] > target:
                break

            total += candidates[i]
            path.append(candidates[i])
            used[i] = True
            self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, used, path, result)
            used[i] = False
            total -= candidates[i]
            path.pop()

    def combinationSum2(self, candidates, target):
        used = [False] * len(candidates)
        result = []
        candidates.sort()
        self.backtracking(candidates, target, 0, 0, used, [], result)
        return result

回溯优化

Python
class Solution:
    def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        candidates.sort()
        results = []
        self.combinationSumHelper(candidates, target, 0, [], results)
        return results

    def combinationSumHelper(self, candidates, target, index, path, results):
        if target == 0:
            results.append(path[:])
            return
        for i in range(index, len(candidates)):
            if i > index and candidates[i] == candidates[i - 1]:
                continue
            if candidates[i] > target:
                break
            path.append(candidates[i])
            self.combinationSumHelper(candidates, target - candidates[i], i + 1, path, results)
            path.pop()

主要在于如何在回溯中去重

使用used数组

Go
var (
    res [][]int
    path  []int
    used  []bool
)
func combinationSum2(candidates []int, target int) [][]int {
    res, path = make([][]int, 0), make([]int, 0, len(candidates))
    used = make([]bool, len(candidates))
    sort.Ints(candidates)   // 排序，为剪枝做准备
    dfs(candidates, 0, target)
    return res
}

func dfs(candidates []int, start int, target int) {
    if target == 0 {   // target 不断减小，如果为0说明达到了目标值
        tmp := make([]int, len(path))
        copy(tmp, path)
        res = append(res, tmp)
        return
    }
    for i := start; i < len(candidates); i++ {
        if candidates[i] > target {  // 剪枝，提前返回
            break
        }
        // used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
        // used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
        if i > 0 && candidates[i] == candidates[i-1]  && used[i-1] == false {
            continue
        }
        path = append(path, candidates[i])
        used[i] = true
        dfs(candidates, i+1, target - candidates[i])
        used[i] = false
        path = path[:len(path) - 1]
    }
}

不使用used数组

Go
var (
    res [][]int
    path  []int
)
func combinationSum2(candidates []int, target int) [][]int {
    res, path = make([][]int, 0), make([]int, 0, len(candidates))
    sort.Ints(candidates)   // 排序，为剪枝做准备
    dfs(candidates, 0, target)
    return res
}

func dfs(candidates []int, start int, target int) {
    if target == 0 {   // target 不断减小，如果为0说明达到了目标值
        tmp := make([]int, len(path))
        copy(tmp, path)
        res = append(res, tmp)
        return
    }
    for i := start; i < len(candidates); i++ {
        if candidates[i] > target {  // 剪枝，提前返回
            break
        }
        // i != start 限制了这不对深度遍历到达的此值去重
        if i != start && candidates[i] == candidates[i-1] { // 去重
            continue
        }
        path = append(path, candidates[i])
        dfs(candidates, i+1, target - candidates[i])
        path = path[:len(path) - 1]
    }
}

JavaScript
/**
 * @param {number[]} candidates
 * @param {number} target
 * @return {number[][]}
 */
var combinationSum2 = function(candidates, target) {
    const res = []; path = [], len = candidates.length;
    candidates.sort((a,b)=>a-b);
    backtracking(0, 0);
    return res;
    function backtracking(sum, i) {
        if (sum === target) {
            res.push(Array.from(path));
            return;
        }
        for(let j = i; j < len; j++) {
            const n = candidates[j];
            if(j > i && candidates[j] === candidates[j-1]){
              //若当前元素和前一个元素相等
              //则本次循环结束，防止出现重复组合
              continue;
            }
            //如果当前元素值大于目标值-总和的值
            //由于数组已排序，那么该元素之后的元素必定不满足条件
            //直接终止当前层的递归
            if(n > target - sum) break;
            path.push(n);
            sum += n;
            backtracking(sum, j + 1);
            path.pop();
            sum -= n;
        }
    }
};

使用used去重

JavaScript
var combinationSum2 = function(candidates, target) {
    let res = [];
    let path = [];
    let total = 0;
    const len = candidates.length;
    candidates.sort((a, b) => a - b);
    let used = new Array(len).fill(false);
    const backtracking = (startIndex) => {
        if (total === target) {
            res.push([...path]);
            return;
        }
        for(let i = startIndex; i < len && total < target; i++) {
            const cur = candidates[i];
            if (cur > target - total || (i > 0 && cur === candidates[i - 1] && !used[i - 1])) continue;
            path.push(cur);
            total += cur;
            used[i] = true;
            backtracking(i + 1);
            path.pop();
            total -= cur;
            used[i] = false;
        }
    }
    backtracking(0);
    return res;
};

TypeScript
function combinationSum2(candidates: number[], target: number): number[][] {
    candidates.sort((a, b) => a - b);
    const resArr: number[][] = [];
    function backTracking(
        candidates: number[], target: number,
        curSum: number, startIndex: number, route: number[]
    ) {
        if (curSum > target) return;
        if (curSum === target) {
            resArr.push(route.slice());
            return;
        }
        for (let i = startIndex, length = candidates.length; i < length; i++) {
            if (i > startIndex && candidates[i] === candidates[i - 1]) {
                continue;
            }
            let tempVal: number = candidates[i];
            route.push(tempVal);
            backTracking(candidates, target, curSum + tempVal, i + 1, route);
            route.pop();

        }
    }
    backTracking(candidates, target, 0, 0, []);
    return resArr;
};

Rust
impl Solution {
    pub fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, candidates: &Vec<i32>, target: i32, mut sum: i32, start_index: usize, used: &mut Vec<bool>) {
        if sum == target {
            result.push(path.to_vec());
            return;
        }
        for i in start_index..candidates.len() {
            if sum + candidates[i] <= target {
                if i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false { continue; }
                sum += candidates[i];
                path.push(candidates[i]);
                used[i] = true;
                Self::backtracking(result, path, candidates, target, sum, i + 1, used);
                used[i] = false;
                sum -= candidates[i];
                path.pop();
            }
        }
    }

    pub fn combination_sum2(candidates: Vec<i32>, target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut result: Vec<Vec<i32>> = Vec::new();
        let mut path: Vec<i32> = Vec::new();
        let mut used: Vec<bool> = vec![false; candidates.len()];
        let mut candidates = candidates;
        candidates.sort();
        Self::backtracking(&mut result, &mut path, &candidates, target, 0, 0, &mut used);
        result
    }
}

C
int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
//记录ans中每一个一维数组的大小
int* length;
int cmp(const void* a1, const void* a2) {
    return *((int*)a1) - *((int*)a2);
}

void backTracking(int* candidates, int candidatesSize,  int target, int sum, int startIndex) {
    if(sum >= target) {
        //若sum等于target，复制当前path进入
        if(sum == target) {
            int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
            int j;
            for(j = 0; j < pathTop; j++) {
                tempPath[j] = path[j];
            }
            length[ansTop] = pathTop;
            ans[ansTop++] = tempPath;
        }
        return ;
    }

    int i;
    for(i = startIndex; i < candidatesSize; i++) {
        //对同一层树中使用过的元素跳过
        if(i > startIndex && candidates[i] == candidates[i-1])
            continue;
        path[pathTop++] = candidates[i];
        sum += candidates[i];
        backTracking(candidates, candidatesSize, target, sum, i + 1);
        //回溯
        sum -= candidates[i];
        pathTop--;
    }
}

int** combinationSum2(int* candidates, int candidatesSize, int target, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * 50);
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 100);
    length = (int*)malloc(sizeof(int) * 100);
    pathTop = ansTop = 0;
    //快速排序candidates，让相同元素挨到一起
    qsort(candidates, candidatesSize, sizeof(int), cmp);

    backTracking(candidates, candidatesSize, target, 0, 0);

    *returnSize = ansTop;
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
    int i;
    for(i = 0; i < ansTop; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = length[i];
    }
    return ans;
}

swift
func combinationSum2(_ candidates: [Int], _ target: Int) -> [[Int]] {
    // 为了方便去重复，先对集合排序
    let candidates = candidates.sorted()
    var result = [[Int]]()
    var path = [Int]()
    func backtracking(sum: Int, startIndex: Int) {
        // 终止条件
        if sum == target {
            result.append(path)
            return
        }

        let end = candidates.count
        guard startIndex < end else { return }
        for i in startIndex ..< end {
            if i > startIndex, candidates[i] == candidates[i - 1] { continue } // 去重复
            let sum = sum + candidates[i] // 使用局部变量隐藏回溯
            if sum > target { continue } // 剪枝

            path.append(candidates[i]) // 处理
            backtracking(sum: sum, startIndex: i + 1) // i+1避免重复访问
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }
    backtracking(sum: 0, startIndex: 0)
    return result
}

scala
object Solution {
  import scala.collection.mutable
  def combinationSum2(candidates: Array[Int], target: Int): List[List[Int]] = {
    var res = mutable.ListBuffer[List[Int]]()
    var path = mutable.ListBuffer[Int]()
    var candidate = candidates.sorted

    def backtracking(sum: Int, startIndex: Int): Unit = {
      if (sum == target) {
        res.append(path.toList)
        return
      }

      for (i <- startIndex until candidate.size if sum + candidate(i) <= target) {
        if (!(i > startIndex && candidate(i) == candidate(i - 1))) {
          path.append(candidate(i))
          backtracking(sum + candidate(i), i + 1)
          path = path.take(path.size - 1)
        }
      }
    }

    backtracking(0, 0)
    res.toList
  }
}

C#
public class Solution
{
    public List<IList<int>> res = new List<IList<int>>();
    public List<int> path = new List<int>();
    public IList<IList<int>> CombinationSum2(int[] candidates, int target)
    {

        Array.Sort(candidates);
        BackTracking(candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }
    public void BackTracking(int[] candidates, int target, int start, int sum)
    {
        if (sum > target) return;
        if (sum == target)
        {
            res.Add(new List<int>(path));
            return;
        }
        for (int i = start; i < candidates.Length && sum + candidates[i] <= target; i++)
        {
            if (i > start && candidates[i] == candidates[i - 1]) continue;
            sum += candidates[i];
            path.Add(candidates[i]);
            BackTracking(candidates, target, i + 1, sum);
            sum -= candidates[i];
            path.RemoveAt(path.Count - 1);
        }
    }
}

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