第七章 向量代数和空间解析几何

综合题

主观题李正元练习题·高等数学综合题

已知 $\displaystyle \alpha,\beta$ 都是单位向量，夹角是 $\displaystyle \dfrac\pi3$，求向量 $\displaystyle 2\alpha+\beta$ 与 $\displaystyle -3\alpha+2\beta$ 的夹角。

记

$$\displaystyle \mathbf u=2\alpha+\beta,\qquad \mathbf v=-3\alpha+2\beta.$$

由于 $\displaystyle \alpha,\beta$ 都是单位向量，且夹角为 $\displaystyle \dfrac\pi3$，所以

$$\displaystyle |\alpha|=|\beta|=1, \qquad \alpha\cdot\beta=|\alpha||\beta|\cos\dfrac\pi3=\frac12.$$

先计算内积：

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf u\cdot\mathbf v &=(2\alpha+\beta)\cdot(-3\alpha+2\beta)\\ &=-6|\alpha|^2+4\alpha\cdot\beta-3\beta\cdot\alpha+2|\beta|^2\\ &=-6+4\cdot\frac12-3\cdot\frac12+2\\ &=-\frac72. \end{aligned}$$

再计算两个向量的模：

$$\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf u|^2 &=|2\alpha+\beta|^2\\ &=4|\alpha|^2+|\beta|^2+4\alpha\cdot\beta\\ &=4+1+2=7, \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle |\mathbf u|=\sqrt7.$$

同理，

$$\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf v|^2 &=|-3\alpha+2\beta|^2\\ &=9|\alpha|^2+4|\beta|^2-12\alpha\cdot\beta\\ &=9+4-6=7, \end{aligned}$$

所以

$$\displaystyle |\mathbf v|=\sqrt7.$$

设两向量夹角为 $\displaystyle \theta$，则

$$\displaystyle \cos\theta =\dfrac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{|\mathbf u||\mathbf v|} =\dfrac{-\frac72}{\sqrt7\sqrt7} =-\frac12.$$

因 $\displaystyle 0\leqslant\theta\leqslant\pi$，故

$$\displaystyle \theta=\dfrac{2\pi}{3}.$$

相关知识点：向量夹角公式

$$\displaystyle \cos\theta=\dfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}.$$

主观题李正元练习题·高等数学综合题

若 $\displaystyle \alpha\parallel\beta$，$\displaystyle \alpha=\{6,3,-2\}$，而 $\displaystyle |\beta|=14$，求 $\displaystyle \beta$。

由于 $\displaystyle \alpha\parallel\beta$，存在实数 $\displaystyle k$，使得

$$\displaystyle \beta=k\alpha.$$

先求 $\displaystyle \alpha$ 的模：

$$\displaystyle |\alpha|=\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2} =\sqrt{36+9+4} =7.$$

因此

$$\displaystyle |\beta|=|k\alpha|=|k|\,|\alpha|=7|k|.$$

由 $\displaystyle |\beta|=14$，得

$$\displaystyle 7|k|=14, \qquad |k|=2,$$

即

$$\displaystyle k=2$$

或

$$\displaystyle k=-2.$$

当 $\displaystyle k=2$ 时，

$$\displaystyle \beta=2\alpha=\{12,6,-4\};$$

当 $\displaystyle k=-2$ 时，

$$\displaystyle \beta=-2\alpha=\{-12,-6,4\}.$$

相关知识点：两个非零向量平行的充要条件是其中一个向量为另一个向量的实数倍。仅给出“平行”而未说明“同向”，因此正、负两个倍数都应保留。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

若 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 是单位向量且满足 $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0$，求以 $\displaystyle \alpha,\beta$ 为边的平行四边形的面积。

由

$$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0$$

可得

$$\displaystyle \alpha+\beta=-\gamma.$$

两边取模并平方：

$$\displaystyle |\alpha+\beta|^2=|\gamma|^2.$$

因为 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 都是单位向量，所以

$$\displaystyle |\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1.$$

从而

$$\displaystyle |\alpha|^2+|\beta|^2+2\alpha\cdot\beta=1,$$

即

$$\displaystyle 1+1+2\alpha\cdot\beta=1.$$

故

$$\displaystyle \alpha\cdot\beta=-\frac12.$$

设 $\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的夹角为 $\displaystyle \theta$，则

$$\displaystyle \cos\theta =\dfrac{\alpha\cdot\beta}{|\alpha||\beta|} =-\frac12.$$

于是

$$\displaystyle \theta=\dfrac{2\pi}{3}.$$

以 $\displaystyle \alpha,\beta$ 为邻边的平行四边形面积为

$$\displaystyle S=|\alpha\times\beta| =|\alpha||\beta|\sin\theta.$$

因此

$$\displaystyle S=1\cdot1\cdot\sin\dfrac{2\pi}{3} =\dfrac{\sqrt3}{2}.$$

相关知识点：以向量 $\displaystyle \mathbf a,\mathbf b$ 为邻边的平行四边形面积为

$$\displaystyle |\mathbf a\times\mathbf b|.$$

主观题李正元练习题·高等数学综合题

已知 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 不共线，证明 $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0$ 的充要条件是

$$\displaystyle \alpha\times\beta=\beta\times\gamma=\gamma\times\alpha.$$

下面分别证明充分性与必要性。

（1）必要性

假设

$$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0.$$

则

$$\displaystyle \gamma=-(\alpha+\beta).$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} \beta\times\gamma &=\beta\times[-(\alpha+\beta)]\\ &=-\beta\times\alpha-\beta\times\beta\\ &=\alpha\times\beta. \end{aligned}$$

又因为

$$\displaystyle \alpha=-(\beta+\gamma),$$

所以

$$\displaystyle \begin{aligned} \gamma\times\alpha &=\gamma\times[-(\beta+\gamma)]\\ &=-\gamma\times\beta-\gamma\times\gamma\\ &=\beta\times\gamma. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \alpha\times\beta =\beta\times\gamma =\gamma\times\alpha.$$

必要性得证。

（2）充分性

假设

$$\displaystyle \alpha\times\beta =\beta\times\gamma =\gamma\times\alpha.$$

令

$$\displaystyle \mathbf s=\alpha+\beta+\gamma.$$

则

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf s\times\alpha &=(\alpha+\beta+\gamma)\times\alpha\\ &=\beta\times\alpha+\gamma\times\alpha\\ &=-\alpha\times\beta+\gamma\times\alpha\\ &=0. \end{aligned}$$

同理，

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf s\times\beta &=\alpha\times\beta+\gamma\times\beta\\ &=\alpha\times\beta-\beta\times\gamma\\ &=0, \end{aligned}$$

且

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf s\times\gamma &=\alpha\times\gamma+\beta\times\gamma\\ &=-\gamma\times\alpha+\beta\times\gamma\\ &=0. \end{aligned}$$

因此 $\displaystyle \mathbf s$ 分别与 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 平行。

若 $\displaystyle \mathbf s\ne0$，则 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 都与同一非零向量 $\displaystyle \mathbf s$ 平行，从而三者共线，这与题设“$\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 不共线”矛盾。

所以只能有

$$\displaystyle \mathbf s=0,$$

即

$$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=0.$$

充分性得证。

综上，原命题成立。

相关知识点：

• $\displaystyle \mathbf a\times\mathbf b=0$ 表示 $\displaystyle \mathbf a$ 与 $\displaystyle \mathbf b$ 平行，或其中至少一个为零向量；
• 叉积满足反交换律

$$\displaystyle \mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a.$$

主观题李正元练习题·高等数学综合题

把直线 $\displaystyle L$ 的方程

$$\displaystyle \begin{cases} x+2y+3z+4=0,\\ 5x+6y+7z+8=0 \end{cases}$$

化为对称方程。

直线 $\displaystyle L$ 是两个平面的交线。两个平面的法向量分别为

$$\displaystyle \mathbf n_1=(1,2,3), \qquad \mathbf n_2=(5,6,7).$$

交线的方向向量应同时垂直于 $\displaystyle \mathbf n_1$ 和 $\displaystyle \mathbf n_2$，因此可取

$$\displaystyle \mathbf d=\mathbf n_1\times\mathbf n_2.$$

计算得

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf d &=\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&2&3\\ 5&6&7 \end{vmatrix}\\ &=(2\cdot7-3\cdot6,\ 3\cdot5-1\cdot7,\ 1\cdot6-2\cdot5)\\ &=(-4,8,-4). \end{aligned}$$

将其约去公因数 $\displaystyle -4$，可取方向向量

$$\displaystyle \mathbf d=(1,-2,1).$$

下面求直线上的一点。令

$$\displaystyle z=0,$$

则原方程组化为

$$\displaystyle \begin{cases} x+2y+4=0,\\ 5x+6y+8=0. \end{cases}$$

由第一式得

$$\displaystyle x=-2y-4.$$

代入第二式：

$$\displaystyle 5(-2y-4)+6y+8=0,$$

即

$$\displaystyle -4y-12=0, \qquad y=-3.$$

于是

$$\displaystyle x=2.$$

故直线经过点

$$\displaystyle M_0(2,-3,0),$$

方向向量为

$$\displaystyle (1,-2,1).$$

所以直线的对称方程为

$$\displaystyle \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+3}{-2} = \dfrac{z-0}{1},$$

即

$$\displaystyle \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+3}{-2} = \dfrac{z}{1}.$$

相关知识点：两个平面的交线方向向量可由两个平面法向量的叉积求得。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

直线

$$\displaystyle L_1:x-1=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{\lambda}, \qquad L_2:x+1=y-1=z.$$

（Ⅰ）若 $\displaystyle L_1\perp L_2$，求 $\displaystyle \lambda$；

（Ⅱ）若 $\displaystyle L_1$ 与 $\displaystyle L_2$ 相交，求 $\displaystyle \lambda$。

直线 $\displaystyle L_1$ 的方向向量为

$$\displaystyle \mathbf d_1=(1,2,\lambda),$$

直线 $\displaystyle L_2$ 可参数化为

$$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t,\\ y=1+t,\\ z=t, \end{cases}$$

故其方向向量为

$$\displaystyle \mathbf d_2=(1,1,1).$$

（Ⅰ）两直线垂直

两直线垂直时，其方向向量的内积为零，因此

$$\displaystyle \mathbf d_1\cdot\mathbf d_2=0.$$

即

$$\displaystyle 1+2+\lambda=0,$$

从而

$$\displaystyle \boxed{\lambda=-3}.$$

（Ⅱ）两直线相交

令直线 $\displaystyle L_1$ 的公共参数为 $\displaystyle s$，则

$$\displaystyle \begin{cases} x=1+s,\\ y=1+2s,\\ z=1+\lambda s. \end{cases}$$

若两直线相交，则存在 $\displaystyle s,t$，使两组坐标相等：

$$\displaystyle \begin{cases} 1+s=-1+t,\\ 1+2s=1+t,\\ 1+\lambda s=t. \end{cases}$$

由第二式得

$$\displaystyle t=2s.$$

代入第一式：

$$\displaystyle 1+s=-1+2s,$$

所以

$$\displaystyle s=2, \qquad t=4.$$

再代入第三式：

$$\displaystyle 1+2\lambda=4,$$

故

$$\displaystyle \boxed{\lambda=\frac32}.$$

此时两直线的交点为

$$\displaystyle (3,5,4).$$

相关知识点：判断两直线垂直，只需判断方向向量内积是否为零；判断两直线相交，应令其参数方程中的对应坐标相等并检验方程组是否相容。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

与直线

$$\displaystyle L_1:\begin{cases} x=1,\\ y=-1+t,\\ z=2+t \end{cases}$$

及直线

$$\displaystyle L_2:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z+1}{1}$$

都平行且经过坐标原点的平面方程是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

直线 $\displaystyle L_1$ 的方向向量为

$$\displaystyle \mathbf d_1=(0,1,1).$$

直线 $\displaystyle L_2$ 的方向向量为

$$\displaystyle \mathbf d_2=(1,2,1).$$

所求平面同时平行于这两条直线，因此其法向量 $\displaystyle \mathbf n$ 应同时垂直于 $\displaystyle \mathbf d_1$ 与 $\displaystyle \mathbf d_2$。可取

$$\displaystyle \mathbf n=\mathbf d_1\times\mathbf d_2.$$

计算得

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf n &=\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 0&1&1\\ 1&2&1 \end{vmatrix}\\ &=(-1,1,-1). \end{aligned}$$

取其相反向量

$$\displaystyle \mathbf n=(1,-1,1).$$

又因为平面经过坐标原点，所以平面方程为

$$\displaystyle 1\cdot x-y+z=0,$$

即

$$\displaystyle \boxed{x-y+z=0}.$$

检验：

$$\displaystyle (1,-1,1)\cdot(0,1,1)=0,$$$$\displaystyle (1,-1,1)\cdot(1,2,1)=0,$$

故该平面确实同时平行于两条直线。

相关知识点：若平面平行于两个不平行向量 $\displaystyle \mathbf d_1,\mathbf d_2$，则平面的法向量可取 $\displaystyle \mathbf d_1\times\mathbf d_2$。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

设平面 $\displaystyle \Pi$ 经过平面

$$\displaystyle \Pi_1:3x-4y+6=0$$

与

$$\displaystyle \Pi_2:2y+z-11=0$$

的交线，且和 $\displaystyle \Pi_1$ 垂直，求 $\displaystyle \Pi$ 的方程。

经过两平面 $\displaystyle \Pi_1,\Pi_2$ 交线的平面束可写为

$$\displaystyle (3x-4y+6)+\lambda(2y+z-11)=0.$$

整理得

$$\displaystyle 3x+(-4+2\lambda)y+\lambda z+6-11\lambda=0.$$

因此该平面的一个法向量为

$$\displaystyle \mathbf n=(3,-4+2\lambda,\lambda).$$

平面 $\displaystyle \Pi_1$ 的法向量为

$$\displaystyle \mathbf n_1=(3,-4,0).$$

由于 $\displaystyle \Pi\perp\Pi_1$，两平面的法向量互相垂直，所以

$$\displaystyle \mathbf n\cdot\mathbf n_1=0.$$

即

$$\displaystyle 3\cdot3+(-4+2\lambda)(-4)+\lambda\cdot0=0.$$

化简得

$$\displaystyle 9+16-8\lambda=0,$$

所以

$$\displaystyle \lambda=\dfrac{25}{8}.$$

代回平面束方程，为避免分数，可将方程整体乘以 $\displaystyle 8$：

$$\displaystyle 8(3x-4y+6)+25(2y+z-11)=0.$$

展开得

$$\displaystyle 24x-32y+48+50y+25z-275=0,$$

即

$$\displaystyle \boxed{24x+18y+25z-227=0}.$$

检验其法向量

$$\displaystyle (24,18,25)$$

与 $\displaystyle \Pi_1$ 的法向量满足

$$\displaystyle (24,18,25)\cdot(3,-4,0)=72-72=0,$$

故两平面垂直。

相关知识点：经过两平面交线的平面可由平面束

$$\displaystyle F_1(x,y,z)+\lambda F_2(x,y,z)=0$$

表示；两平面垂直等价于其法向量的内积为零。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

已知平面

$$\displaystyle \Pi:x-4y+2z+9=0,$$

直线

$$\displaystyle L:\begin{cases} 2x-2y+z+9=0,\\ x-2y+2z+11=0, \end{cases}$$

试求在平面 $\displaystyle \Pi$ 内，经过 $\displaystyle L$ 与 $\displaystyle \Pi$ 的交点且与 $\displaystyle L$ 垂直的直线方程。

先求直线 $\displaystyle L$ 与平面 $\displaystyle \Pi$ 的交点。

联立

$$\displaystyle \begin{cases} x-4y+2z+9=0,\\ 2x-2y+z+9=0,\\ x-2y+2z+11=0. \end{cases}$$

由第一式减去第三式，得

$$\displaystyle -2y-2=0,$$

所以

$$\displaystyle y=-1.$$

代入第二式和第三式：

$$\displaystyle \begin{cases} 2x+z+11=0,\\ x+2z+13=0. \end{cases}$$

解得

$$\displaystyle x=-3, \qquad z=-5.$$

因此交点为

$$\displaystyle P(-3,-1,-5).$$

下面求所求直线的方向向量。

构成直线 $\displaystyle L$ 的两个平面的法向量分别为

$$\displaystyle \mathbf n_1=(2,-2,1), \qquad \mathbf n_2=(1,-2,2).$$

故 $\displaystyle L$ 的方向向量可取

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf d_L &=\mathbf n_1\times\mathbf n_2\\ &=(-2,-3,-2). \end{aligned}$$

取其相反向量，也可写为

$$\displaystyle \mathbf d_L=(2,3,2).$$

平面 $\displaystyle \Pi$ 的法向量为

$$\displaystyle \mathbf n=(1,-4,2).$$

设所求直线的方向向量为 $\displaystyle \mathbf d$。由于该直线位于平面 $\displaystyle \Pi$ 内，且与直线 $\displaystyle L$ 垂直，所以 $\displaystyle \mathbf d$ 应同时垂直于 $\displaystyle \mathbf n$ 和 $\displaystyle \mathbf d_L$。可取

$$\displaystyle \mathbf d=\mathbf n\times\mathbf d_L.$$

计算得

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf d &=(1,-4,2)\times(2,3,2)\\ &=(-14,2,11). \end{aligned}$$

并且

$$\displaystyle (-14,2,11)\cdot(1,-4,2)=0,$$$$\displaystyle (-14,2,11)\cdot(2,3,2)=0,$$

故方向向量满足要求。

因此，经过点 $\displaystyle P(-3,-1,-5)$、方向向量为 $\displaystyle (-14,2,11)$ 的直线方程为

$$\displaystyle \boxed{ \dfrac{x+3}{-14} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z+5}{11} }.$$

相关知识点：一条直线位于给定平面内，其方向向量必须垂直于该平面的法向量；两直线垂直时，其方向向量内积为零。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

求点 $\displaystyle M_1(1,2,3)$ 到直线

$$\displaystyle L:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-4}{-3}=\dfrac{z-3}{-2}$$

的距离。

从直线的对称方程可知，直线经过点

$$\displaystyle M_0(0,4,3),$$

方向向量为

$$\displaystyle \mathbf d=(1,-3,-2).$$

从 $\displaystyle M_0$ 指向 $\displaystyle M_1$ 的向量为

$$\displaystyle \overrightarrow{M_0M_1} =(1-0,2-4,3-3) =(1,-2,0).$$

点到直线的距离公式为

$$\displaystyle d=\dfrac{|\overrightarrow{M_0M_1}\times\mathbf d|}{|\mathbf d|}.$$

计算叉积：

$$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{M_0M_1}\times\mathbf d &=(1,-2,0)\times(1,-3,-2)\\ &=(4,2,-1). \end{aligned}$$

所以

$$\displaystyle |\overrightarrow{M_0M_1}\times\mathbf d| =\sqrt{4^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{21},$$

且

$$\displaystyle |\mathbf d| =\sqrt{1^2+(-3)^2+(-2)^2} =\sqrt{14}.$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} d &=\dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{14}}\\ &=\sqrt{\frac32}\\ &=\boxed{\dfrac{\sqrt6}{2}}. \end{aligned}$$

相关知识点：点 $\displaystyle P$ 到过点 $\displaystyle P_0$、方向向量为 $\displaystyle \mathbf d$ 的空间直线的距离为

$$\displaystyle d=\dfrac{|\overrightarrow{P_0P}\times\mathbf d|}{|\mathbf d|}.$$

主观题李正元练习题·高等数学综合题

求点 $\displaystyle M_1(2,1,3)$ 到平面

$$\displaystyle \Pi:2x-2y+z-3=0$$

的距离与投影。

平面 $\displaystyle \Pi$ 的法向量为

$$\displaystyle \mathbf n=(2,-2,1),$$

其长度为

$$\displaystyle |\mathbf n|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3.$$

将点 $\displaystyle M_1(2,1,3)$ 代入平面方程左端，得

$$\displaystyle 2\times2-2\times1+3-3=2.$$

因此点到平面的距离为

$$\displaystyle \begin{aligned} d &=\dfrac{|2\times2-2\times1+3-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}\\ &=\dfrac{2}{3}. \end{aligned}$$

下面求垂足，即点 $\displaystyle M_1$ 在平面上的投影。设垂足为 $\displaystyle H$，由于

$$\displaystyle \overrightarrow{M_1H}\parallel\mathbf n,$$

可设

$$\displaystyle H=(2,1,3)-t(2,-2,1).$$

即

$$\displaystyle H=(2-2t,1+2t,3-t).$$

由于 $\displaystyle H\in\Pi$，代入平面方程：

$$\displaystyle 2(2-2t)-2(1+2t)+(3-t)-3=0.$$

整理得

$$\displaystyle 2-9t=0,$$

所以

$$\displaystyle t=\dfrac{2}{9}.$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} H &=\left(2-\frac49,1+\frac49,3-\frac29\right)\\ &=\boxed{\left(\dfrac{14}{9},\dfrac{13}{9},\dfrac{25}{9}\right)}. \end{aligned}$$

检验：

$$\displaystyle 2\cdot\dfrac{14}{9}-2\cdot\dfrac{13}{9}+\dfrac{25}{9}-3=0,$$

所以投影点确实位于平面 $\displaystyle \Pi$ 上。

相关知识点：点 $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $\displaystyle Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为

$$\displaystyle d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

主观题李正元练习题·高等数学综合题

求直线

$$\displaystyle L:\dfrac{x-2}{0}=\dfrac y2=\dfrac z3$$

绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得旋转面的方程。

由于对称式中第一个分母为零，直线方程应理解为

$$\displaystyle x=2, \qquad \dfrac y2=\dfrac z3=t.$$

因此直线的参数方程为

$$\displaystyle \begin{cases} x=2,\\ y=2t,\\ z=3t. \end{cases}$$

直线上任一点到 $\displaystyle z$ 轴的距离为

$$\displaystyle \rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4+4t^2}.$$

绕 $\displaystyle z$ 轴旋转时，点的高度 $\displaystyle z$ 不变，到 $\displaystyle z$ 轴的距离也不变。因此旋转面上任一点满足

$$\displaystyle x^2+y^2=4+4t^2.$$

又由

$$\displaystyle z=3t$$

可得

$$\displaystyle t=\dfrac z3.$$

代入上式：

$$\displaystyle x^2+y^2=4+\dfrac{4z^2}{9}.$$

整理为

$$\displaystyle \boxed{\dfrac{x^2+y^2}{4}-\dfrac{z^2}{9}=1}.$$

该旋转面是以 $\displaystyle z$ 轴为旋转轴的单叶双曲面。

相关知识点：平面内曲线绕 $\displaystyle z$ 轴旋转时，原曲线中的横向距离应以

$$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}$$

代替，而轴向坐标 $\displaystyle z$ 保持不变。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

求以曲线

$$\displaystyle \Gamma:\begin{cases} y^2=2px,\\ z=0 \end{cases}$$

为准线，$\displaystyle \{l,m,n\}$ 为母线方向的柱面方程。

在准线 $\displaystyle \Gamma$ 上任取一点

$$\displaystyle M_0(x_0,y_0,0),$$

则

$$\displaystyle y_0^2=2px_0.$$

经过点 $\displaystyle M_0$，且方向向量为

$$\displaystyle \mathbf d=(l,m,n)$$

的母线参数方程为

$$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt,\\ z=nt. \end{cases}$$

当 $\displaystyle n\ne0$ 时，由第三式得

$$\displaystyle t=\dfrac zn.$$

于是

$$\displaystyle x_0=x-\dfrac{lz}{n}, \qquad y_0=y-\dfrac{mz}{n}.$$

将其代入准线方程 $\displaystyle y_0^2=2px_0$，得

$$\displaystyle \left(y-\dfrac{mz}{n}\right)^2 =2p\left(x-\dfrac{lz}{n}\right).$$

两边乘以 $\displaystyle n^2$，得到

$$\displaystyle (ny-mz)^2=2pn(nx-lz).$$

故所求柱面方程为

$$\displaystyle \boxed{(ny-mz)^2=2pn(nx-lz)}.$$

检验：当 $\displaystyle z=0$ 时，上式化为

$$\displaystyle n^2y^2=2pn^2x,$$

即

$$\displaystyle y^2=2px,$$

恰好得到原准线。

相关知识点：求柱面方程时，可先写出过准线上动点且平行于给定方向的母线参数方程，再消去准线参数与母线参数。

主观题李正元练习题·高等数学综合题

求曲线

$$\displaystyle \begin{cases} (x+2)^2-z^2=4,\\ (x-2)^2+y^2=4 \end{cases}$$

在 $\displaystyle yOz$ 平面上的投影方程。

要得到曲线在 $\displaystyle yOz$ 平面上的投影，只需从原方程组中消去变量 $\displaystyle x$，得到 $\displaystyle y,z$ 之间的关系。

由原方程可得

$$\displaystyle (x+2)^2=z^2+4,$$

以及

$$\displaystyle (x-2)^2=4-y^2.$$

两式相减：

$$\displaystyle (x+2)^2-(x-2)^2=z^2+y^2.$$

左端展开为

$$\displaystyle (x+2)^2-(x-2)^2=8x,$$

故

$$\displaystyle x=\dfrac{y^2+z^2}{8}.$$

将其代入

$$\displaystyle (x-2)^2+y^2=4,$$

得到

$$\displaystyle \left(\dfrac{y^2+z^2}{8}-2\right)^2+y^2=4.$$

两边乘以 $\displaystyle 64$：

$$\displaystyle (y^2+z^2-16)^2+64y^2=256.$$

展开并整理：

$$\displaystyle (y^2+z^2)^2-32(y^2+z^2)+64y^2=0,$$

即

$$\displaystyle (y^2+z^2)^2+32y^2-32z^2=0.$$

因此，投影到 $\displaystyle yOz$ 平面后还应附加平面条件 $\displaystyle x=0$，从而投影曲线为

$$\displaystyle \boxed{ \begin{cases} x=0,\\ (y^2+z^2)^2+32y^2-32z^2=0. \end{cases}}$$

相关知识点：空间曲线在某坐标面上的投影方程，可通过从空间曲线方程组中消去垂直于该坐标面的坐标变量得到，并补上该坐标面的方程。