第五章 矩阵的特征值与特征向量

选择题

1. 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，则伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的一个特征值是

A. ${\lambda }^{-1}|A{|}^{n-1}$    B. ${\lambda }^{-1}|A|$    C. $\lambda |A|$    D. $\lambda |A{|}^{n-1}$

查看答案与解析

答案： （B）**

解析： 设 $\alpha \ne 0$ 是 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，即

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

由于 $A$ 可逆，所以 $\lambda \ne 0$，并且

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

由 $A\alpha =\lambda \alpha$ 得

$$A^{-1}\alpha ={\lambda }^{-1}\alpha .$$

因此

$$A^{\ast }\alpha =|A|A^{-1}\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha .$$

故 $\alpha$ 也是 $A^{\ast }$ 的特征向量，对应特征值为

$$\frac{|A|}{\lambda }={\lambda }^{-1}|A|.$$

选项（A）、（D）错误地将 $|A|$ 的次数写成了 $n-1$；选项（C）错误地把 ${\lambda }^{-1}$ 写成了 $\lambda$。

---

2. 设 $\lambda =2$ 是可逆矩阵 $A$ 的一个特征值，则

$${\left(\frac{1}{3}{A}^2\right)}^{-1}+E$$

的一个特征值是

A. $\frac{7}{3}$    B. $\frac{1}{3}$    C. $\frac{7}{4}$    D. $\frac{5}{2}$

查看答案与解析

答案： （C）**

解析： 设 $\alpha \ne 0$ 满足

$$A\alpha =2\alpha .$$

则

$$A^2\alpha =2^2\alpha =4\alpha ,$$

所以 $\frac{1}{3}{A}^2$ 对应的特征值为

$$\frac{4}{3}.$$

由于 $A$ 可逆，$\frac{1}{3}{A}^2$ 也可逆，其逆矩阵对应的特征值为

$${\left(\frac{4}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{4}.$$

再加上单位矩阵 $E$，特征值相应增加 $1$，故

$$\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}.$$

因此应选（C）。其余选项均未正确依次使用“平方、数乘、求逆、加单位矩阵”对特征值的变换规律。

---

3. 设 $A$ 是三阶不可逆矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，${\alpha }_3$ 是属于特征值 $\lambda =1$ 的特征向量，下列不是 $A$ 的特征向量的是

A. ${\alpha }_1+3{\alpha }_2$    B. ${\alpha }_1-{\alpha }_2$    C. ${\alpha }_1+{\alpha }_3$    D. $2{\alpha }_3$

查看答案与解析

答案： （C）**

解析： 由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系，因此

$$A{\alpha }_1=0,A{\alpha }_2=0,$$

且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。于是任意非零线性组合

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$$

都是 $A$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。因此

$${\alpha }_1+3{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_2$$

均为特征向量，故（A）、（B）不符合题意。

又因为

$$A{\alpha }_3={\alpha }_3,$$

所以

$$A(2{\alpha }_3)=2A{\alpha }_3=2{\alpha }_3,$$

故 $2{\alpha }_3$ 仍是属于特征值 $1$ 的特征向量，（D）不符合题意。

考察 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$：

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_3)=A{\alpha }_1+A{\alpha }_3={\alpha }_3.$$

若 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$ 是特征向量，则存在常数 $\mu$，使

$${\alpha }_3=\mu ({\alpha }_1+{\alpha }_3).$$

即

$$\mu {\alpha }_1+(\mu -1){\alpha }_3=0.$$

属于不同特征值的特征向量 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_3$ 线性无关，因此必须有

$$\mu =0,\mu -1=0,$$

矛盾。所以 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$ 不是特征向量，应选（C）。

---

4. 设 ${\alpha }_0$ 是 $A$ 的特征向量，则 ${\alpha }_0$ 不一定是其特征向量的矩阵是

A. $(A+E{)}^2$    B. $-2A$    C. $A^T$    D. $A^{\ast }$

查看答案与解析

答案： （C）**

解析： 设

$$A{\alpha }_0=\lambda {\alpha }_0,{\alpha }_0\ne 0.$$

对选项（A），有

$$(A+E){\alpha }_0=(\lambda +1){\alpha }_0,$$

进而

$$(A+E{)}^2{\alpha }_0=(\lambda +1{)}^2{\alpha }_0.$$

所以 ${\alpha }_0$ 一定是 $(A+E{)}^2$ 的特征向量。

对选项（B），有

$$(-2A){\alpha }_0=-2\lambda {\alpha }_0,$$

所以 ${\alpha }_0$ 一定是 $-2A$ 的特征向量。

对选项（D），分情况讨论：

• 若 $|A|\ne 0$，则

$$A^{\ast }=|A|A^{-1},$$

从而

$$A^{\ast }{\alpha }_0=\frac{|A|}{\lambda }{\alpha }_0.$$

• 若 $|A|=0$ 且 $\lambda \ne 0$，由

$$A^{\ast }A=0$$

得

$$\lambda A^{\ast }{\alpha }_0=0,$$

所以 $A^{\ast }{\alpha }_0=0$。

• 若 $|A|=0$ 且 $\lambda =0$，当 $r(A)\le n-2$ 时 $A^{\ast }=0$；当 $r(A)=n-1$ 时，$A^{\ast }{\alpha }_0\in N(A)$，而此时 $N(A)$ 为一维空间，因此 $A^{\ast }{\alpha }_0$ 仍是 ${\alpha }_0$ 的数倍。

故 ${\alpha }_0$ 一定也是 $A^{\ast }$ 的特征向量。

但一般由

$$A{\alpha }_0=\lambda {\alpha }_0$$

不能推出

$$A^T{\alpha }_0=\mu {\alpha }_0.$$

例如

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right],{\alpha }_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right].$$

有 $A{\alpha }_0={\alpha }_0$，但

$$A^T{\alpha }_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

不是 ${\alpha }_0$ 的数倍。因此应选（C）。

---

5. 下列矩阵中不能相似对角化的是

A. $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 0& 3\\ 0& 3& 0\end{array}\right]$

B. $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

C. $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 3\end{array}\right]$

D. $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 2& 3\end{array}\right]$

查看答案与解析

答案： （D）**

解析： 逐项判断。

（A）中的矩阵是实对称矩阵。实对称矩阵一定可以正交相似对角化，因此（A）可以相似对角化。

（B）中的矩阵为下三角矩阵，其特征值为

$$0,0,3.$$

对于 $\lambda =0$，解

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0,$$

即

$$x_1+2x_2+3x_3=0.$$

其解空间维数为 $2$，等于特征值 $0$ 的代数重数。再加上特征值 $3$ 的一个特征向量，共有三个线性无关的特征向量，因此（B）可以相似对角化。

（C）中的矩阵为下三角矩阵，三个特征值为

$$0,1,3,$$

彼此不同，所以必有三个线性无关的特征向量，故（C）可以相似对角化。

（D）中的矩阵为下三角矩阵，特征值为

$$0,0,3.$$

对于 $\lambda =0$，有

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0,$$

即

$$x_1=0,2x_2+3x_3=0.$$

故属于特征值 $0$ 的特征子空间维数仅为 $1$，小于其代数重数 $2$。因此该矩阵没有三个线性无关的特征向量，不能相似对角化，应选（D）。

---

6. 设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，$A^m=0$，下列命题中不一定正确的是

A. $A$ 的特征值只有零    B. $A$ 必不能对角化

C. $E+A+A^2+\cdots +A^{m-1}$ 必可逆    D. $A$ 只有一个线性无关的特征向量

查看答案与解析

答案： （D）**

解析： 由 $A^m=0$ 可知 $A$ 是幂零矩阵。

对（A），若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha \ne 0$ 是相应特征向量，则

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

于是

$$A^m\alpha ={\lambda }^m\alpha .$$

又因 $A^m=0$，故

$${\lambda }^m\alpha =0.$$

由 $\alpha \ne 0$ 得 $\lambda =0$。所以（A）一定正确。

对（B），若 $A$ 可相似对角化，则因为它的全部特征值均为 $0$，其相似对角矩阵只能是零矩阵，从而 $A=0$，这与题设 $A\ne 0$ 矛盾。因此（B）一定正确。

对（C），有

$$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{m-1})=E-A^m=E,$$

并且

$$(E+A+A^2+\cdots +A^{m-1})(E-A)=E.$$

故

$$(E+A+A^2+\cdots +A^{m-1}{)}^{-1}=E-A,$$

所以（C）一定正确。

对（D），幂零矩阵属于特征值 $0$ 的线性无关特征向量个数等于

$$\dim N(A)=n-r(A),$$

它不一定等于 $1$。例如

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],A^2=0,$$

此时 $A\ne 0$，且

$$N(A)=\left\{\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\\ x_3\end{array}\right]:x_1,x_3\in \mathbb{R}\right\},$$

其维数为 $2$，因此有两个线性无关的特征向量。故（D）不一定正确。

填空题

1. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$r(A)<n$，则 $A$ 必有特征值 $\underline{}$，且其重数至少是 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$0，n-r(A).$$

解析： 由秩—零度定理，齐次方程组

$$Ax=0$$

的解空间维数为

$$\dim N(A)=n-r(A)>0.$$

因此该方程组存在非零解 $\alpha$，即

$$A\alpha =0\alpha ,$$

故 $0$ 必为 $A$ 的特征值。

特征值 $0$ 的几何重数为

$$n-r(A).$$

而任一特征值的代数重数不小于其几何重数，所以特征值 $0$ 的代数重数至少为

$$n-r(A).$$

---

2. 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $(A^{\ast }{)}^2+E$ 必有特征值 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$\frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}+1.$$

解析： 设 $\alpha \ne 0$ 是 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

由于 $A$ 可逆，$\lambda \ne 0$，且

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

于是

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha ,$$

从而

$$A^{\ast }\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha .$$

继续作用一次 $A^{\ast }$，得

$$(A^{\ast }{)}^2\alpha =\frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}\alpha .$$

因此

$$((A^{\ast }{)}^2+E)\alpha =\left(\frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}+1\right)\alpha .$$

故所求特征值为

$$\boxed{\frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}+1}.$$

---

3. 已知 $-2$ 是

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& -2\\ 2& x& -2\\ -2& 2& 6\end{array}\right]$$

的特征值，则 $x=\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$x=-4.$$

解析： 因为 $-2$ 是 $A$ 的特征值，所以

$$|A-(-2)E|=|A+2E|=0.$$

计算

$$\begin{array}{rl}|A+2E|& =\left|\begin{array}{ccc}2& -2& -2\\ 2& x+2& -2\\ -2& 2& 8\end{array}\right|\\ & =12(x+4).\end{array}$$

因此

$$12(x+4)=0,$$

解得

$$\boxed{x=-4}.$$

---

4. 设 $A$ 是秩为 $2$ 的三阶实对称矩阵，且 $A^2+5A=0$，则 $A$ 的特征值是 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$-5,-5,0.$$

解析： 若 $\lambda$ 是 $A$ 的任一特征值，$\alpha \ne 0$ 是相应特征向量，则

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

由

$$A^2+5A=0$$

作用于 $\alpha$，得

$$({\lambda }^2+5\lambda )\alpha =0.$$

故

$$\lambda (\lambda +5)=0,$$

即 $A$ 的特征值只能为

$$0\text{或}-5.$$

又因为 $A$ 为三阶矩阵且 $r(A)=2$，所以

$$\dim N(A)=3-r(A)=1.$$

实对称矩阵一定可以正交相似对角化，因此特征值 $0$ 的代数重数等于其几何重数，为 $1$。其余两个特征值只能均为 $-5$。故全部特征值为

$$\boxed{-5,-5,0}.$$

---

5. 已知 $\alpha =(1,1,-1{)}^T$ 是矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccc}7& 4& -1\\ 4& 7& -1\\ -4& -4& x\end{array}\right]$$

的特征向量，则 $x=\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$x=4.$$

解析： 直接计算

$$A\alpha =\left[\begin{array}{ccc}7& 4& -1\\ 4& 7& -1\\ -4& -4& x\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 12\\ -8-x\end{array}\right].$$

因为 $\alpha$ 是特征向量，所以存在特征值 $\lambda$，使

$$A\alpha =\lambda \alpha =\left[\begin{array}{c}\lambda \\ \lambda \\ -\lambda \end{array}\right].$$

比较前两个分量可得

$$\lambda =12.$$

再比较第三个分量，有

$$-8-x=-12,$$

故

$$\boxed{x=4}.$$

---

6. 设 $A$ 是三阶矩阵，且各行元素之和都是 $5$，则 $A$ 必有特征向量 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$$

解析： 设

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right].$$

由各行元素之和均为 $5$，有

$$a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}=5,i=1,2,3.$$

因此

$$A\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right]=5\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$$

所以

$$\boxed{(1,1,1{)}^T}$$

是 $A$ 属于特征值 $5$ 的特征向量；其任一非零倍数也都是特征向量。

---

7. 设 $A$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $0,1,2$。如果

$${\alpha }_1=(1,2,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,-1,1{)}^T$$

分别是 $\lambda =0$ 与 $\lambda =1$ 的特征向量，则 $\lambda =2$ 的特征向量是 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$(1,0,-1{)}^T$$

或其任一非零倍数。

解析： 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交。设 $\lambda =2$ 的特征向量为

$${\alpha }_3=(x,y,z{)}^T.$$

则必须满足

$${\alpha }_3^T{\alpha }_1=0,{\alpha }_3^T{\alpha }_2=0.$$

即

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=0,\\ x-y+z=0.\end{array}$$

两式相减得

$$3y=0,$$

故 $y=0$。再由 $x+z=0$，可取

$$x=1,z=-1.$$

因此可取

$$\boxed{{\alpha }_3=(1,0,-1{)}^T}.$$

---

8. 已知

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& y& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$

相似，则 $x=\underline{},y=\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$x=0,y=1.$$

解析： 相似矩阵有相同的迹和行列式。先比较迹：

$$\mathrm{tr}(A)=2+x,\mathrm{tr}(B)=2+y-1=y+1.$$

因此

$$2+x=y+1,$$

即

$$y=x+1.\text{\hspace{1em}(1)}$$

再比较行列式：

$$|A|=2\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& x\end{array}\right|=-2,$$

而

$$|B|=2\cdot y\cdot (-1)=-2y.$$

故

$$-2=-2y,$$

得到

$$y=1.$$

代入式 $(1)$，得

$$x=0.$$

所以

$$\boxed{x=0,y=1}.$$

此时 $A$ 的特征值也确为 $2,1,-1$，与 $B$ 相同。

---

9. 已知矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& -3& a\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$

有两个线性无关的特征向量，则 $a=\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$a=-1.$$

解析： 矩阵 $A$ 是分块上三角矩阵，其特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =(\lambda +1)\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ 2& \lambda +3\end{array}\right|\\ & =(\lambda +1)[(\lambda -1)(\lambda +3)+4]\\ & =(\lambda +1{)}^3.\end{array}$$

故 $A$ 只有特征值

$$\lambda =-1,$$

其代数重数为 $3$。属于 $\lambda =-1$ 的特征向量由

$$(A+E)X=0$$

确定，其中

$$A+E=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ -2& -2& a\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$$

要有两个线性无关的特征向量，特征子空间维数必须为 $2$，即

$$\dim N(A+E)=2.$$

因此

$$r(A+E)=3-2=1.$$

由于第一行非零，秩为 $1$ 的条件是第二行必须为第一行的 $-1$ 倍。比较第三个元素，得

$$a=-1.$$

当 $a=-1$ 时，确有

$$\left[\begin{array}{ccc}-2& -2& -1\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 1\end{array}\right],$$

所以 $r(A+E)=1$，特征子空间维数为 $2$。故

$$\boxed{a=-1}.$$

计算题与证明题

1. 已知

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& -3& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right],$$

求 $A$ 的特征值、特征向量，并判断 $A$ 能否相似对角化，说明理由。

查看答案与解析

答案：

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2={\lambda }_3=-1.$$

属于 $\lambda =2$ 的全部特征向量为

$$k_1(-5,2,-9{)}^T,k_1\ne 0;$$

属于 $\lambda =-1$ 的全部特征向量为

$$k_2(1,-1,0{)}^T,k_2\ne 0.$$

矩阵 $A$ 不能相似对角化。

解析： 由特征方程

$$|\lambda E-A|=0$$

得

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& -1\\ 2& \lambda +3& 0\\ 0& 0& \lambda -2\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ 2& \lambda +3\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)[(\lambda -1)(\lambda +3)+4]\\ & =(\lambda -2)(\lambda +1{)}^2.\end{array}$$

因此 $A$ 的特征值为

$$\lambda =2,\lambda =-1,$$

其中 $-1$ 是二重特征值。

当 $\lambda =2$ 时，解齐次方程组

$$(A-2E)X=0,$$

即

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ -2& -5& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0.$$

由第二个方程得

$$2x_1+5x_2=0.$$

令 $x_2=2k_1$，则

$$x_1=-5k_1.$$

代入第一个方程，得到

$$x_3=-9k_1.$$

故属于 $\lambda =2$ 的全部特征向量为

$$X=k_1(-5,2,-9{)}^T,k_1\ne 0.$$

当 $\lambda =-1$ 时，解

$$(A+E)X=0,$$

即

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ -2& -2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0.$$

由第三个方程得 $x_3=0$，再由前两个方程得

$$x_1+x_2=0.$$

故属于 $\lambda =-1$ 的全部特征向量为

$$X=k_2(1,-1,0{)}^T,k_2\ne 0.$$

特征值 $-1$ 的代数重数为 $2$，但其特征子空间只有一维，即只有一个线性无关的特征向量。因此矩阵 $A$ 总共只有两个线性无关的特征向量，少于矩阵的阶数 $3$，所以

$$\boxed{A\text{ 不能相似对角化}}.$$

---

2. 已知

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right],$$

$A^{\ast }$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求 $A^{\ast }$ 的特征值与特征向量。

查看答案与解析

答案： $A^{\ast }$ 的特征值为

$$1,-5,-5.$$

属于特征值 $1$ 的全部特征向量为

$$k_1(1,1,1{)}^T,k_1\ne 0;$$

属于特征值 $-5$ 的全部特征向量为

$$k_2(1,-1,0{)}^T+k_3(1,0,-1{)}^T,(k_2,k_3)\ne (0,0).$$

解析： 矩阵 $A$ 可以写成

$$A=2J-E,$$

其中 $J$ 是三阶全 $1$ 矩阵。

取

$${\alpha }_1=(1,1,1{)}^T,$$

则

$$A{\alpha }_1=5{\alpha }_1,$$

所以 $5$ 是 $A$ 的特征值，${\alpha }_1$ 是相应特征向量。

若向量 $X=(x_1,x_2,x_3{)}^T$ 满足

$$x_1+x_2+x_3=0,$$

则 $JX=0$，从而

$$AX=(2J-E)X=-X.$$

因此 $-1$ 是 $A$ 的二重特征值，其特征子空间为

$$V_{-1}=\{X\mid x_1+x_2+x_3=0\}.$$

可取一组基为

$${\alpha }_2=(1,-1,0{)}^T,{\alpha }_3=(1,0,-1{)}^T.$$

于是 $A$ 的特征值为

$$5,-1,-1,$$

故

$$|A|=5\cdot (-1)\cdot (-1)=5\ne 0.$$

因为 $A$ 可逆，所以

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}=5A^{-1}.$$

若

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$

则

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha ,$$

进而

$$A^{\ast }\alpha =5A^{-1}\alpha =\frac{5}{\lambda }\alpha .$$

所以 $A^{\ast }$ 与 $A$ 有相同的特征向量，特征值由 $\lambda$ 变为 $5/\lambda$。因此：

• 当 $\lambda =5$ 时，$A^{\ast }$ 的相应特征值为 $1$；
• 当 $\lambda =-1$ 时，$A^{\ast }$ 的相应特征值为 $-5$。

故 $A^{\ast }$ 的特征值为

$$\boxed{1,-5,-5},$$

相应特征向量分别为

$$\boxed{k_1(1,1,1{)}^T},k_1\ne 0,$$

以及

$$\boxed{k_2(1,-1,0{)}^T+k_3(1,0,-1{)}^T},(k_2,k_3)\ne (0,0).$$

---

3. 已知

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-4& -10& 0\\ 1& 3& 0\\ 3& x& 1\end{array}\right]$$

可对角化，求可逆矩阵 $P$ 及对角矩阵 $\Lambda$，使 $P^{-1}AP=\Lambda$。

查看答案与解析

答案： 由可对角化条件得

$$x=6.$$

可取

$$P=\left[\begin{array}{ccc}-5& -2& 0\\ 1& 1& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right],\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$

此时

$$P^{-1}AP=\Lambda .$$

解析： 矩阵 $A$ 为分块下三角矩阵，因此

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =(\lambda -1)\left|\begin{array}{cc}\lambda +4& 10\\ -1& \lambda -3\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1)[(\lambda +4)(\lambda -3)+10]\\ & =(\lambda -1)({\lambda }^2+\lambda -2)\\ & =(\lambda -1{)}^2(\lambda +2).\end{array}$$

故 $A$ 的特征值为

$$\lambda =-2,\lambda =1,$$

其中 $1$ 是二重特征值。

由于 $A$ 可对角化，因此二重特征值 $\lambda =1$ 必须有两个线性无关的特征向量，即

$$\dim N(A-E)=2.$$

而

$$A-E=\left[\begin{array}{ccc}-5& -10& 0\\ 1& 2& 0\\ 3& x& 0\end{array}\right].$$

要使零空间维数为 $2$，必须有

$$r(A-E)=1.$$

前两行已经成比例，因此第三行也必须与第二行成比例。由

$$(3,x)=3(1,2)$$

得到

$$\boxed{x=6}.$$

下面求特征向量。

当 $\lambda =-2$ 时，解

$$(A+2E)X=0.$$

在 $x=6$ 时，

$$A+2E=\left[\begin{array}{ccc}-2& -10& 0\\ 1& 5& 0\\ 3& 6& 3\end{array}\right].$$

由方程组得

$$x_1=-5x_2,x_3=3x_2.$$

故可取属于 $\lambda =-2$ 的特征向量

$${\alpha }_1=(-5,1,3{)}^T.$$

当 $\lambda =1$ 时，

$$A-E=\left[\begin{array}{ccc}-5& -10& 0\\ 1& 2& 0\\ 3& 6& 0\end{array}\right],$$

其方程等价于

$$x_1+2x_2=0,$$

而 $x_3$ 为自由变量。因此可取两个线性无关的特征向量

$${\alpha }_2=(-2,1,0{)}^T,{\alpha }_3=(0,0,1{)}^T.$$

以这三个特征向量为列构造矩阵

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left[\begin{array}{ccc}-5& -2& 0\\ 1& 1& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right].$$

由于

$$|P|=-3\ne 0,$$

故 $P$ 可逆。按列向量对应的特征值排列，取

$$\Lambda =\mathrm{diag}(-2,1,1).$$

于是

$$\boxed{P^{-1}AP=\Lambda }.$$

---

4. 已知 $A$ 是三阶不可逆矩阵，$-1$ 和 $2$ 是 $A$ 的特征值，$B=A^2-A-2E$，求 $B$ 的特征值，并问 $B$ 能否相似对角化，并说明理由。

查看答案与解析

答案： $B$ 的特征值为

$$\boxed{0,0,-2}.$$

矩阵 $B$ 可以相似对角化。

解析： 由于 $A$ 是三阶不可逆矩阵，所以

$$|A|=0,$$

从而 $0$ 是 $A$ 的特征值。已知另外两个特征值为 $-1$ 和 $2$，故 $A$ 的三个特征值为

$$-1,2,0.$$

令

$$p(t)=t^2-t-2=(t-2)(t+1),$$

则

$$B=p(A).$$

由矩阵多项式的特征值性质，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $p(\lambda )$ 是 $p(A)$ 的相应特征值。因此

$$\begin{array}{rl}p(-1)& =(-1{)}^2-(-1)-2=0,\\ p(2)& =2^2-2-2=0,\\ p(0)& =0^2-0-2=-2.\end{array}$$

所以 $B$ 的特征值为

$$\boxed{0,0,-2}.$$

下面判断 $B$ 是否可相似对角化。

因为 $A$ 有三个互不相同的特征值 $-1,2,0$，所以 $A$ 必可相似对角化。设

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(-1,2,0),$$

则

$$\begin{array}{rl}{P}^{-1}BP& =P^{-1}(A^2-A-2E)P\\ & =(P^{-1}AP{)}^2-P^{-1}AP-2E\\ & =\mathrm{diag}(0,0,-2).\end{array}$$

因此

$$\boxed{B\text{ 可以相似对角化}}.$$

也可以从特征向量角度说明：$A$ 分别属于特征值 $-1,2,0$ 的三个特征向量线性无关，其中前两个均成为 $B$ 属于特征值 $0$ 的特征向量，第三个成为 $B$ 属于特征值 $-2$ 的特征向量，故 $B$ 仍有三个线性无关的特征向量。

---

5. 设三阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2$，${\lambda }_1={\lambda }_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值，若

$${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(2,1,1{)}^T,{\alpha }_3=(-1,2,-3{)}^T$$

都是 $A$ 属于 $\lambda =6$ 的特征向量，求矩阵 $A$。

查看答案与解析

答案：

$$\boxed{A=\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right]}$$

解析： 由于 $A$ 是三阶矩阵且

$$r(A)=2,$$

所以 $A$ 不可逆，$0$ 是 $A$ 的一个特征值。又已知 $6$ 是二重特征值，因此 $A$ 的全部特征值为

$$6,6,0.$$

先考察给出的三个属于 $\lambda =6$ 的特征向量。容易验证

$$-5{\alpha }_1+3{\alpha }_2+{\alpha }_3=0,$$

且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，所以属于特征值 $6$ 的特征子空间为

$$V_6=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}.$$

因为 $A$ 是实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交。设属于特征值 $0$ 的特征向量为

$$\beta =(x,y,z{)}^T,$$

则应满足

$${\beta }^T{\alpha }_1=0,{\beta }^T{\alpha }_2=0.$$

即

$$\{\begin{array}{l}x+y=0,\\ 2x+y+z=0.\end{array}$$

解得

$$y=-x,z=-x.$$

故可取

$$\beta =(1,-1,-1{)}^T.$$

于是

$$V_6={\beta }^{\perp }.$$

矩阵 $A$ 在平面 ${\beta }^{\perp }$ 上的作用是乘以 $6$，在方向 $\beta$ 上的作用是乘以 $0$。因此

$$A=6\left(E-\frac{\beta {\beta }^T}{{\beta }^T\beta }\right).$$

由于

$${\beta }^T\beta =1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2=3,$$

且

$$\beta {\beta }^T=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right],$$

所以

$$\begin{array}{rl}A& =6E-2\beta {\beta }^T\\ & =\left[\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& -2& -2\\ -2& 2& 2\\ -2& 2& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right].\end{array}$$

检验可得

$$A{\alpha }_i=6{\alpha }_i(i=1,2,3),A\beta =0,$$

且 $A$ 为实对称矩阵、秩为 $2$，满足题设全部条件。

---

6. 已知 $A\sim B$，$A^2=A$，证明 $B^2=B$。

查看答案与解析

答案：

$$\boxed{B^2=B}.$$

解析： 由 $A\sim B$，存在可逆矩阵 $P$，使得

$$B=P^{-1}AP.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{B}^2& =(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\\ & =P^{-1}A(P{P}^{-1})AP\\ & =P^{-1}{A}^{2}P.\end{array}$$

由题设 $A^2=A$，故

$$B^2=P^{-1}AP=B.$$

因此

$$\boxed{B^2=B}.$$

本题说明：矩阵多项式关系在相似变换下保持不变。更一般地，若 $A\sim B$，则对任意多项式 $f(t)$，都有

$$f(B)=P^{-1}f(A)P.$$

因此 $f(A)=0$ 必推出 $f(B)=0$。

---

7. 已知 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 是 $A$ 的特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是相应的特征向量且线性无关，如 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$ 仍是 $A$ 的特征向量，则 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3$。

查看答案与解析

答案：

$$\boxed{{\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3}.$$

解析： 因为 ${\alpha }_i$ 是属于特征值 ${\lambda }_i$ 的特征向量，所以

$$A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i,i=1,2,3.$$

又因为

$${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$$

仍是 $A$ 的特征向量，所以存在特征值 $\lambda$，使得

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=\lambda ({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3).$$

一方面，由矩阵乘法的线性性，

$$\begin{array}{rl}A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)& =A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3\\ & ={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+{\lambda }_3{\alpha }_3.\end{array}$$

另一方面，

$$\lambda ({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=\lambda {\alpha }_1+\lambda {\alpha }_2+\lambda {\alpha }_3.$$

两式相减得

$$({\lambda }_1-\lambda ){\alpha }_1+({\lambda }_2-\lambda ){\alpha }_2+({\lambda }_3-\lambda ){\alpha }_3=0.$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，所以各系数必须全为零，即

$${\lambda }_1-\lambda =0,{\lambda }_2-\lambda =0,{\lambda }_3-\lambda =0.$$

因此

$$\boxed{{\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=\lambda }.$$