第五章 矩阵的特征值与特征向量

选择题

1. 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的一个特征值，则伴随矩阵 $\displaystyle A^\ast$ 的一个特征值是

A. $\displaystyle \lambda^{-1}|A|^{n-1}$    B. $\displaystyle \lambda^{-1}|A|$    C. $\displaystyle \lambda|A|$    D. $\displaystyle \lambda|A|^{n-1}$

查看答案与解析

答案： （B）**

解析： 设 $\displaystyle \alpha\ne 0$ 是 $\displaystyle A$ 属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，即

$$\displaystyle A\alpha=\lambda\alpha.$$

由于 $\displaystyle A$ 可逆，所以 $\displaystyle \lambda\ne0$，并且

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1}.$$

由 $\displaystyle A\alpha=\lambda\alpha$ 得

$$\displaystyle A^{-1}\alpha=\lambda^{-1}\alpha.$$

因此

$$\displaystyle A^\ast\alpha =|A|A^{-1}\alpha =\dfrac{|A|}{\lambda}\alpha.$$

故 $\displaystyle \alpha$ 也是 $\displaystyle A^\ast$ 的特征向量，对应特征值为

$$\displaystyle \dfrac{|A|}{\lambda}=\lambda^{-1}|A|.$$

选项（A）、（D）错误地将 $\displaystyle |A|$ 的次数写成了 $\displaystyle n-1$；选项（C）错误地把 $\displaystyle \lambda^{-1}$ 写成了 $\displaystyle \lambda$。

---

2. 设 $\displaystyle \lambda=2$ 是可逆矩阵 $\displaystyle A$ 的一个特征值，则

$$\displaystyle \left(\frac13A^2\right)^{-1}+E$$

的一个特征值是

A. $\displaystyle \frac73$    B. $\displaystyle \frac13$    C. $\displaystyle \frac74$    D. $\displaystyle \frac52$

查看答案与解析

答案： （C）**

解析： 设 $\displaystyle \alpha\ne0$ 满足

$$\displaystyle A\alpha=2\alpha.$$

则

$$\displaystyle A^2\alpha=2^2\alpha=4\alpha,$$

所以 $\displaystyle \dfrac13A^2$ 对应的特征值为

$$\displaystyle \frac43.$$

由于 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle \dfrac13A^2$ 也可逆，其逆矩阵对应的特征值为

$$\displaystyle \left(\frac43\right)^{-1}=\frac34.$$

再加上单位矩阵 $\displaystyle E$，特征值相应增加 $\displaystyle 1$，故

$$\displaystyle \frac34+1=\frac74.$$

因此应选（C）。其余选项均未正确依次使用“平方、数乘、求逆、加单位矩阵”对特征值的变换规律。

---

3. 设 $\displaystyle A$ 是三阶不可逆矩阵，$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 是 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系，$\displaystyle \alpha_3$ 是属于特征值 $\displaystyle \lambda=1$ 的特征向量，下列不是 $\displaystyle A$ 的特征向量的是

A. $\displaystyle \alpha_1+3\alpha_2$    B. $\displaystyle \alpha_1-\alpha_2$    C. $\displaystyle \alpha_1+\alpha_3$    D. $\displaystyle 2\alpha_3$

查看答案与解析

答案： （C）**

解析： 由于 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 是齐次方程组 $\displaystyle Ax=0$ 的基础解系，因此

$$\displaystyle A\alpha_1=0,\qquad A\alpha_2=0,$$

且 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 线性无关。于是任意非零线性组合

$$\displaystyle k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$$

都是 $\displaystyle A$ 属于特征值 $\displaystyle 0$ 的特征向量。因此

$$\displaystyle \alpha_1+3\alpha_2, \qquad \alpha_1-\alpha_2$$

均为特征向量，故（A）、（B）不符合题意。

又因为

$$\displaystyle A\alpha_3=\alpha_3,$$

所以

$$\displaystyle A(2\alpha_3)=2A\alpha_3=2\alpha_3,$$

故 $\displaystyle 2\alpha_3$ 仍是属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量，（D）不符合题意。

考察 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_3$：

$$\displaystyle A(\alpha_1+\alpha_3) =A\alpha_1+A\alpha_3 =\alpha_3.$$

若 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_3$ 是特征向量，则存在常数 $\displaystyle \mu$，使

$$\displaystyle \alpha_3=\mu(\alpha_1+\alpha_3).$$

即

$$\displaystyle \mu\alpha_1+(\mu-1)\alpha_3=0.$$

属于不同特征值的特征向量 $\displaystyle \alpha_1$ 与 $\displaystyle \alpha_3$ 线性无关，因此必须有

$$\displaystyle \mu=0, \qquad \mu-1=0,$$

矛盾。所以 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_3$ 不是特征向量，应选（C）。

---

4. 设 $\displaystyle \alpha_0$ 是 $\displaystyle A$ 的特征向量，则 $\displaystyle \alpha_0$ 不一定是其特征向量的矩阵是

A. $\displaystyle (A+E)^2$    B. $\displaystyle -2A$    C. $\displaystyle A^T$    D. $\displaystyle A^\ast$

查看答案与解析

答案： （C）**

解析： 设

$$\displaystyle A\alpha_0=\lambda\alpha_0, \qquad \alpha_0\ne0.$$

对选项（A），有

$$\displaystyle (A+E)\alpha_0=(\lambda+1)\alpha_0,$$

进而

$$\displaystyle (A+E)^2\alpha_0=(\lambda+1)^2\alpha_0.$$

所以 $\displaystyle \alpha_0$ 一定是 $\displaystyle (A+E)^2$ 的特征向量。

对选项（B），有

$$\displaystyle (-2A)\alpha_0=-2\lambda\alpha_0,$$

所以 $\displaystyle \alpha_0$ 一定是 $\displaystyle -2A$ 的特征向量。

对选项（D），分情况讨论：

• 若 $\displaystyle |A|\ne0$，则

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1},$$

从而

$$\displaystyle A^\ast\alpha_0=\dfrac{|A|}{\lambda}\alpha_0.$$

• 若 $\displaystyle |A|=0$ 且 $\displaystyle \lambda\ne0$，由

$$\displaystyle A^\ast A=0$$

得

$$\displaystyle \lambda A^\ast\alpha_0=0,$$

所以 $\displaystyle A^\ast\alpha_0=0$。

• 若 $\displaystyle |A|=0$ 且 $\displaystyle \lambda=0$，当 $\displaystyle r(A)\le n-2$ 时 $\displaystyle A^\ast=0$；当 $\displaystyle r(A)=n-1$ 时，$\displaystyle A^\ast\alpha_0\in N(A)$，而此时 $\displaystyle N(A)$ 为一维空间，因此 $\displaystyle A^\ast\alpha_0$ 仍是 $\displaystyle \alpha_0$ 的数倍。

故 $\displaystyle \alpha_0$ 一定也是 $\displaystyle A^\ast$ 的特征向量。

但一般由

$$\displaystyle A\alpha_0=\lambda\alpha_0$$

不能推出

$$\displaystyle A^T\alpha_0=\mu\alpha_0.$$

例如

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&2 \end{bmatrix}, \qquad \alpha_0= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}.$$

有 $\displaystyle A\alpha_0=\alpha_0$，但

$$\displaystyle A^T\alpha_0= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$$

不是 $\displaystyle \alpha_0$ 的数倍。因此应选（C）。

---

5. 下列矩阵中不能相似对角化的是

A. $\displaystyle \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 2&0&3\\ 0&3&0 \end{bmatrix}$

B. $\displaystyle \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&2&3 \end{bmatrix}$

C. $\displaystyle \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&2&3 \end{bmatrix}$

D. $\displaystyle \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&2&3 \end{bmatrix}$

查看答案与解析

答案： （D）**

解析： 逐项判断。

（A）中的矩阵是实对称矩阵。实对称矩阵一定可以正交相似对角化，因此（A）可以相似对角化。

（B）中的矩阵为下三角矩阵，其特征值为

$$\displaystyle 0,0,3.$$

对于 $\displaystyle \lambda=0$，解

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=0,$$

即

$$\displaystyle x_1+2x_2+3x_3=0.$$

其解空间维数为 $\displaystyle 2$，等于特征值 $\displaystyle 0$ 的代数重数。再加上特征值 $\displaystyle 3$ 的一个特征向量，共有三个线性无关的特征向量，因此（B）可以相似对角化。

（C）中的矩阵为下三角矩阵，三个特征值为

$$\displaystyle 0,1,3,$$

彼此不同，所以必有三个线性无关的特征向量，故（C）可以相似对角化。

（D）中的矩阵为下三角矩阵，特征值为

$$\displaystyle 0,0,3.$$

对于 $\displaystyle \lambda=0$，有

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=0,$$

即

$$\displaystyle x_1=0, \qquad 2x_2+3x_3=0.$$

故属于特征值 $\displaystyle 0$ 的特征子空间维数仅为 $\displaystyle 1$，小于其代数重数 $\displaystyle 2$。因此该矩阵没有三个线性无关的特征向量，不能相似对角化，应选（D）。

---

6. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵，$\displaystyle A^m=0$，下列命题中不一定正确的是

A. $\displaystyle A$ 的特征值只有零    B. $\displaystyle A$ 必不能对角化

C. $\displaystyle E+A+A^2+\cdots+A^{m-1}$ 必可逆    D. $\displaystyle A$ 只有一个线性无关的特征向量

查看答案与解析

答案： （D）**

解析： 由 $\displaystyle A^m=0$ 可知 $\displaystyle A$ 是幂零矩阵。

对（A），若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值，$\displaystyle \alpha\ne0$ 是相应特征向量，则

$$\displaystyle A\alpha=\lambda\alpha.$$

于是

$$\displaystyle A^m\alpha=\lambda^m\alpha.$$

又因 $\displaystyle A^m=0$，故

$$\displaystyle \lambda^m\alpha=0.$$

由 $\displaystyle \alpha\ne0$ 得 $\displaystyle \lambda=0$。所以（A）一定正确。

对（B），若 $\displaystyle A$ 可相似对角化，则因为它的全部特征值均为 $\displaystyle 0$，其相似对角矩阵只能是零矩阵，从而 $\displaystyle A=0$，这与题设 $\displaystyle A\ne0$ 矛盾。因此（B）一定正确。

对（C），有

$$\displaystyle (E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{m-1})=E-A^m=E,$$

并且

$$\displaystyle (E+A+A^2+\cdots+A^{m-1})(E-A)=E.$$

故

$$\displaystyle (E+A+A^2+\cdots+A^{m-1})^{-1}=E-A,$$

所以（C）一定正确。

对（D），幂零矩阵属于特征值 $\displaystyle 0$ 的线性无关特征向量个数等于

$$\displaystyle \dim N(A)=n-r(A),$$

它不一定等于 $\displaystyle 1$。例如

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}, \qquad A^2=0,$$

此时 $\displaystyle A\ne0$，且

$$\displaystyle N(A)=\left\{ \begin{bmatrix} x_1\\0\\x_3 \end{bmatrix} :x_1,x_3\in\mathbb R \right\},$$

其维数为 $\displaystyle 2$，因此有两个线性无关的特征向量。故（D）不一定正确。

填空题

1. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle r(A)<n$，则 $\displaystyle A$ 必有特征值 $\displaystyle \underline{\qquad}$，且其重数至少是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle 0，\qquad n-r(A).$$

解析： 由秩—零度定理，齐次方程组

$$\displaystyle Ax=0$$

的解空间维数为

$$\displaystyle \dim N(A)=n-r(A)>0.$$

因此该方程组存在非零解 $\displaystyle \alpha$，即

$$\displaystyle A\alpha=0\alpha,$$

故 $\displaystyle 0$ 必为 $\displaystyle A$ 的特征值。

特征值 $\displaystyle 0$ 的几何重数为

$$\displaystyle n-r(A).$$

而任一特征值的代数重数不小于其几何重数，所以特征值 $\displaystyle 0$ 的代数重数至少为

$$\displaystyle n-r(A).$$

---

2. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值，则 $\displaystyle (A^\ast)^2+E$ 必有特征值 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle \dfrac{|A|^2}{\lambda^2}+1.$$

解析： 设 $\displaystyle \alpha\ne0$ 是 $\displaystyle A$ 属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，则

$$\displaystyle A\alpha=\lambda\alpha.$$

由于 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle \lambda\ne0$，且

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1}.$$

于是

$$\displaystyle A^{-1}\alpha=\frac1\lambda\alpha,$$

从而

$$\displaystyle A^\ast\alpha=\dfrac{|A|}{\lambda}\alpha.$$

继续作用一次 $\displaystyle A^\ast$，得

$$\displaystyle (A^\ast)^2\alpha =\dfrac{|A|^2}{\lambda^2}\alpha.$$

因此

$$\displaystyle \bigl((A^\ast)^2+E\bigr)\alpha =\left(\dfrac{|A|^2}{\lambda^2}+1\right)\alpha.$$

故所求特征值为

$$\displaystyle \boxed{\dfrac{|A|^2}{\lambda^2}+1}.$$

---

3. 已知 $\displaystyle -2$ 是

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0&-2&-2\\ 2&x&-2\\ -2&2&6 \end{bmatrix}$$

的特征值，则 $\displaystyle x=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle x=-4.$$

解析： 因为 $\displaystyle -2$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值，所以

$$\displaystyle |A-(-2)E|=|A+2E|=0.$$

计算

$$\displaystyle \begin{aligned} |A+2E| &= \begin{vmatrix} 2&-2&-2\\ 2&x+2&-2\\ -2&2&8 \end{vmatrix}\\ &=12(x+4). \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle 12(x+4)=0,$$

解得

$$\displaystyle \boxed{x=-4}.$$

---

4. 设 $\displaystyle A$ 是秩为 $\displaystyle 2$ 的三阶实对称矩阵，且 $\displaystyle A^2+5A=0$，则 $\displaystyle A$ 的特征值是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle -5,-5,0.$$

解析： 若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的任一特征值，$\displaystyle \alpha\ne0$ 是相应特征向量，则

$$\displaystyle A\alpha=\lambda\alpha.$$

由

$$\displaystyle A^2+5A=0$$

作用于 $\displaystyle \alpha$，得

$$\displaystyle (\lambda^2+5\lambda)\alpha=0.$$

故

$$\displaystyle \lambda(\lambda+5)=0,$$

即 $\displaystyle A$ 的特征值只能为

$$\displaystyle 0\quad\text{或}\quad -5.$$

又因为 $\displaystyle A$ 为三阶矩阵且 $\displaystyle r(A)=2$，所以

$$\displaystyle \dim N(A)=3-r(A)=1.$$

实对称矩阵一定可以正交相似对角化，因此特征值 $\displaystyle 0$ 的代数重数等于其几何重数，为 $\displaystyle 1$。其余两个特征值只能均为 $\displaystyle -5$。故全部特征值为

$$\displaystyle \boxed{-5,-5,0}.$$

---

5. 已知 $\displaystyle \alpha=(1,1,-1)^T$ 是矩阵

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 7&4&-1\\ 4&7&-1\\ -4&-4&x \end{bmatrix}$$

的特征向量，则 $\displaystyle x=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle x=4.$$

解析： 直接计算

$$\displaystyle A\alpha = \begin{bmatrix} 7&4&-1\\ 4&7&-1\\ -4&-4&x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12\\12\\-8-x \end{bmatrix}.$$

因为 $\displaystyle \alpha$ 是特征向量，所以存在特征值 $\displaystyle \lambda$，使

$$\displaystyle A\alpha=\lambda\alpha = \begin{bmatrix} \lambda\\\lambda\\-\lambda \end{bmatrix}.$$

比较前两个分量可得

$$\displaystyle \lambda=12.$$

再比较第三个分量，有

$$\displaystyle -8-x=-12,$$

故

$$\displaystyle \boxed{x=4}.$$

---

6. 设 $\displaystyle A$ 是三阶矩阵，且各行元素之和都是 $\displaystyle 5$，则 $\displaystyle A$ 必有特征向量 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}.$$

解析： 设

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}.$$

由各行元素之和均为 $\displaystyle 5$，有

$$\displaystyle a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}=5, \qquad i=1,2,3.$$

因此

$$\displaystyle A \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\5\\5 \end{bmatrix} =5 \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}.$$

所以

$$\displaystyle \boxed{(1,1,1)^T}$$

是 $\displaystyle A$ 属于特征值 $\displaystyle 5$ 的特征向量；其任一非零倍数也都是特征向量。

---

7. 设 $\displaystyle A$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $\displaystyle 0,1,2$。如果

$$\displaystyle \alpha_1=(1,2,1)^T,\qquad \alpha_2=(1,-1,1)^T$$

分别是 $\displaystyle \lambda=0$ 与 $\displaystyle \lambda=1$ 的特征向量，则 $\displaystyle \lambda=2$ 的特征向量是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle (1,0,-1)^T$$

或其任一非零倍数。

解析： 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交。设 $\displaystyle \lambda=2$ 的特征向量为

$$\displaystyle \alpha_3=(x,y,z)^T.$$

则必须满足

$$\displaystyle \alpha_3^T\alpha_1=0, \qquad \alpha_3^T\alpha_2=0.$$

即

$$\displaystyle \begin{cases} x+2y+z=0,\\ x-y+z=0. \end{cases}$$

两式相减得

$$\displaystyle 3y=0,$$

故 $\displaystyle y=0$。再由 $\displaystyle x+z=0$，可取

$$\displaystyle x=1,\qquad z=-1.$$

因此可取

$$\displaystyle \boxed{\alpha_3=(1,0,-1)^T}.$$

---

8. 已知

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&x \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&y&0\\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$$

相似，则 $\displaystyle x=\underline{\qquad},y=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle x=0,\qquad y=1.$$

解析： 相似矩阵有相同的迹和行列式。先比较迹：

$$\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2+x, \qquad \operatorname{tr}(B)=2+y-1=y+1.$$

因此

$$\displaystyle 2+x=y+1,$$

即

$$\displaystyle y=x+1. \tag{1}$$

再比较行列式：

$$\displaystyle |A|=2 \begin{vmatrix} 0&1\\ 1&x \end{vmatrix} =-2,$$

而

$$\displaystyle |B|=2\cdot y\cdot(-1)=-2y.$$

故

$$\displaystyle -2=-2y,$$

得到

$$\displaystyle y=1.$$

代入式 $\displaystyle (1)$，得

$$\displaystyle x=0.$$

所以

$$\displaystyle \boxed{x=0,\qquad y=1}.$$

此时 $\displaystyle A$ 的特征值也确为 $\displaystyle 2,1,-1$，与 $\displaystyle B$ 相同。

---

9. 已知矩阵

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&2&1\\ -2&-3&a\\ 0&0&-1 \end{bmatrix}$$

有两个线性无关的特征向量，则 $\displaystyle a=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle a=-1.$$

解析： 矩阵 $\displaystyle A$ 是分块上三角矩阵，其特征多项式为

$$\displaystyle \begin{aligned} |\lambda E-A| &=(\lambda+1) \begin{vmatrix} \lambda-1&-2\\ 2&\lambda+3 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda+1)\bigl[(\lambda-1)(\lambda+3)+4\bigr]\\ &=(\lambda+1)^3. \end{aligned}$$

故 $\displaystyle A$ 只有特征值

$$\displaystyle \lambda=-1,$$

其代数重数为 $\displaystyle 3$。属于 $\displaystyle \lambda=-1$ 的特征向量由

$$\displaystyle (A+E)X=0$$

确定，其中

$$\displaystyle A+E= \begin{bmatrix} 2&2&1\\ -2&-2&a\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.$$

要有两个线性无关的特征向量，特征子空间维数必须为 $\displaystyle 2$，即

$$\displaystyle \dim N(A+E)=2.$$

因此

$$\displaystyle r(A+E)=3-2=1.$$

由于第一行非零，秩为 $\displaystyle 1$ 的条件是第二行必须为第一行的 $\displaystyle -1$ 倍。比较第三个元素，得

$$\displaystyle a=-1.$$

当 $\displaystyle a=-1$ 时，确有

$$\displaystyle \begin{bmatrix} -2&-2&-1 \end{bmatrix} =- \begin{bmatrix} 2&2&1 \end{bmatrix},$$

所以 $\displaystyle r(A+E)=1$，特征子空间维数为 $\displaystyle 2$。故

$$\displaystyle \boxed{a=-1}.$$

计算题与证明题

1. 已知

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&2&1\\ -2&-3&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix},$$

求 $\displaystyle A$ 的特征值、特征向量，并判断 $\displaystyle A$ 能否相似对角化，说明理由。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle \lambda_1=2,\qquad \lambda_2=\lambda_3=-1.$$

属于 $\displaystyle \lambda=2$ 的全部特征向量为

$$\displaystyle k_1(-5,2,-9)^T,\qquad k_1\ne0;$$

属于 $\displaystyle \lambda=-1$ 的全部特征向量为

$$\displaystyle k_2(1,-1,0)^T,\qquad k_2\ne0.$$

矩阵 $\displaystyle A$ 不能相似对角化。

解析： 由特征方程

$$\displaystyle |\lambda E-A|=0$$

得

$$\displaystyle \begin{aligned} |\lambda E-A| &= \begin{vmatrix} \lambda-1&-2&-1\\ 2&\lambda+3&0\\ 0&0&\lambda-2 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda-1&-2\\ 2&\lambda+3 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)\bigl[(\lambda-1)(\lambda+3)+4\bigr]\\ &=(\lambda-2)(\lambda+1)^2. \end{aligned}$$

因此 $\displaystyle A$ 的特征值为

$$\displaystyle \lambda=2,\qquad \lambda=-1,$$

其中 $\displaystyle -1$ 是二重特征值。

当 $\displaystyle \lambda=2$ 时，解齐次方程组

$$\displaystyle (A-2E)X=0,$$

即

$$\displaystyle \begin{bmatrix} -1&2&1\\ -2&-5&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=0.$$

由第二个方程得

$$\displaystyle 2x_1+5x_2=0.$$

令 $\displaystyle x_2=2k_1$，则

$$\displaystyle x_1=-5k_1.$$

代入第一个方程，得到

$$\displaystyle x_3=-9k_1.$$

故属于 $\displaystyle \lambda=2$ 的全部特征向量为

$$\displaystyle X=k_1(-5,2,-9)^T, \qquad k_1\ne0.$$

当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，解

$$\displaystyle (A+E)X=0,$$

即

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 2&2&1\\ -2&-2&0\\ 0&0&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}=0.$$

由第三个方程得 $\displaystyle x_3=0$，再由前两个方程得

$$\displaystyle x_1+x_2=0.$$

故属于 $\displaystyle \lambda=-1$ 的全部特征向量为

$$\displaystyle X=k_2(1,-1,0)^T, \qquad k_2\ne0.$$

特征值 $\displaystyle -1$ 的代数重数为 $\displaystyle 2$，但其特征子空间只有一维，即只有一个线性无关的特征向量。因此矩阵 $\displaystyle A$ 总共只有两个线性无关的特征向量，少于矩阵的阶数 $\displaystyle 3$，所以

$$\displaystyle \boxed{A\text{ 不能相似对角化}}.$$

---

2. 已知

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{bmatrix},$$

$\displaystyle A^\ast$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵，求 $\displaystyle A^\ast$ 的特征值与特征向量。

查看答案与解析

答案： $\displaystyle A^\ast$ 的特征值为

$$\displaystyle 1,-5,-5.$$

属于特征值 $\displaystyle 1$ 的全部特征向量为

$$\displaystyle k_1(1,1,1)^T, \qquad k_1\ne0;$$

属于特征值 $\displaystyle -5$ 的全部特征向量为

$$\displaystyle k_2(1,-1,0)^T+k_3(1,0,-1)^T, \qquad (k_2,k_3)\ne(0,0).$$

解析： 矩阵 $\displaystyle A$ 可以写成

$$\displaystyle A=2J-E,$$

其中 $\displaystyle J$ 是三阶全 $\displaystyle 1$ 矩阵。

取

$$\displaystyle \alpha_1=(1,1,1)^T,$$

则

$$\displaystyle A\alpha_1=5\alpha_1,$$

所以 $\displaystyle 5$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值，$\displaystyle \alpha_1$ 是相应特征向量。

若向量 $\displaystyle X=(x_1,x_2,x_3)^T$ 满足

$$\displaystyle x_1+x_2+x_3=0,$$

则 $\displaystyle JX=0$，从而

$$\displaystyle AX=(2J-E)X=-X.$$

因此 $\displaystyle -1$ 是 $\displaystyle A$ 的二重特征值，其特征子空间为

$$\displaystyle V_{-1}=\{X\mid x_1+x_2+x_3=0\}.$$

可取一组基为

$$\displaystyle \alpha_2=(1,-1,0)^T, \qquad \alpha_3=(1,0,-1)^T.$$

于是 $\displaystyle A$ 的特征值为

$$\displaystyle 5,-1,-1,$$

故

$$\displaystyle |A|=5\cdot(-1)\cdot(-1)=5\ne0.$$

因为 $\displaystyle A$ 可逆，所以

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1}=5A^{-1}.$$

若

$$\displaystyle A\alpha=\lambda\alpha,$$

则

$$\displaystyle A^{-1}\alpha=\frac1\lambda\alpha,$$

进而

$$\displaystyle A^\ast\alpha=5A^{-1}\alpha=\frac5\lambda\alpha.$$

所以 $\displaystyle A^\ast$ 与 $\displaystyle A$ 有相同的特征向量，特征值由 $\displaystyle \lambda$ 变为 $\displaystyle 5/\lambda$。因此：

• 当 $\displaystyle \lambda=5$ 时，$\displaystyle A^\ast$ 的相应特征值为 $\displaystyle 1$；
• 当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，$\displaystyle A^\ast$ 的相应特征值为 $\displaystyle -5$。

故 $\displaystyle A^\ast$ 的特征值为

$$\displaystyle \boxed{1,-5,-5},$$

相应特征向量分别为

$$\displaystyle \boxed{k_1(1,1,1)^T}, \qquad k_1\ne0,$$

以及

$$\displaystyle \boxed{k_2(1,-1,0)^T+k_3(1,0,-1)^T}, \qquad (k_2,k_3)\ne(0,0).$$

---

3. 已知

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} -4&-10&0\\ 1&3&0\\ 3&x&1 \end{bmatrix}$$

可对角化，求可逆矩阵 $\displaystyle P$ 及对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$，使 $\displaystyle P^{-1}AP=\Lambda$。

查看答案与解析

答案： 由可对角化条件得

$$\displaystyle x=6.$$

可取

$$\displaystyle P= \begin{bmatrix} -5&-2&0\\ 1&1&0\\ 3&0&1 \end{bmatrix}, \qquad \Lambda= \begin{bmatrix} -2&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}.$$

此时

$$\displaystyle P^{-1}AP=\Lambda.$$

解析： 矩阵 $\displaystyle A$ 为分块下三角矩阵，因此

$$\displaystyle \begin{aligned} |\lambda E-A| &=(\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda+4&10\\ -1&\lambda-3 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-1)\bigl[(\lambda+4)(\lambda-3)+10\bigr]\\ &=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2)\\ &=(\lambda-1)^2(\lambda+2). \end{aligned}$$

故 $\displaystyle A$ 的特征值为

$$\displaystyle \lambda=-2, \qquad \lambda=1,$$

其中 $\displaystyle 1$ 是二重特征值。

由于 $\displaystyle A$ 可对角化，因此二重特征值 $\displaystyle \lambda=1$ 必须有两个线性无关的特征向量，即

$$\displaystyle \dim N(A-E)=2.$$

而

$$\displaystyle A-E= \begin{bmatrix} -5&-10&0\\ 1&2&0\\ 3&x&0 \end{bmatrix}.$$

要使零空间维数为 $\displaystyle 2$，必须有

$$\displaystyle r(A-E)=1.$$

前两行已经成比例，因此第三行也必须与第二行成比例。由

$$\displaystyle (3,x)=3(1,2)$$

得到

$$\displaystyle \boxed{x=6}.$$

下面求特征向量。

当 $\displaystyle \lambda=-2$ 时，解

$$\displaystyle (A+2E)X=0.$$

在 $\displaystyle x=6$ 时，

$$\displaystyle A+2E= \begin{bmatrix} -2&-10&0\\ 1&5&0\\ 3&6&3 \end{bmatrix}.$$

由方程组得

$$\displaystyle x_1=-5x_2, \qquad x_3=3x_2.$$

故可取属于 $\displaystyle \lambda=-2$ 的特征向量

$$\displaystyle \alpha_1=(-5,1,3)^T.$$

当 $\displaystyle \lambda=1$ 时，

$$\displaystyle A-E= \begin{bmatrix} -5&-10&0\\ 1&2&0\\ 3&6&0 \end{bmatrix},$$

其方程等价于

$$\displaystyle x_1+2x_2=0,$$

而 $\displaystyle x_3$ 为自由变量。因此可取两个线性无关的特征向量

$$\displaystyle \alpha_2=(-2,1,0)^T, \qquad \alpha_3=(0,0,1)^T.$$

以这三个特征向量为列构造矩阵

$$\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = \begin{bmatrix} -5&-2&0\\ 1&1&0\\ 3&0&1 \end{bmatrix}.$$

由于

$$\displaystyle |P|=-3\ne0,$$

故 $\displaystyle P$ 可逆。按列向量对应的特征值排列，取

$$\displaystyle \Lambda=\operatorname{diag}(-2,1,1).$$

于是

$$\displaystyle \boxed{P^{-1}AP=\Lambda}.$$

---

4. 已知 $\displaystyle A$ 是三阶不可逆矩阵，$\displaystyle -1$ 和 $\displaystyle 2$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值，$\displaystyle B=A^2-A-2E$，求 $\displaystyle B$ 的特征值，并问 $\displaystyle B$ 能否相似对角化，并说明理由。

查看答案与解析

答案： $\displaystyle B$ 的特征值为

$$\displaystyle \boxed{0,0,-2}.$$

矩阵 $\displaystyle B$ 可以相似对角化。

解析： 由于 $\displaystyle A$ 是三阶不可逆矩阵，所以

$$\displaystyle |A|=0,$$

从而 $\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值。已知另外两个特征值为 $\displaystyle -1$ 和 $\displaystyle 2$，故 $\displaystyle A$ 的三个特征值为

$$\displaystyle -1,\quad 2,\quad 0.$$

令

$$\displaystyle p(t)=t^2-t-2=(t-2)(t+1),$$

则

$$\displaystyle B=p(A).$$

由矩阵多项式的特征值性质，若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值，则 $\displaystyle p(\lambda)$ 是 $\displaystyle p(A)$ 的相应特征值。因此

$$\displaystyle \begin{aligned} p(-1)&=(-1)^2-(-1)-2=0,\\ p(2)&=2^2-2-2=0,\\ p(0)&=0^2-0-2=-2. \end{aligned}$$

所以 $\displaystyle B$ 的特征值为

$$\displaystyle \boxed{0,0,-2}.$$

下面判断 $\displaystyle B$ 是否可相似对角化。

因为 $\displaystyle A$ 有三个互不相同的特征值 $\displaystyle -1,2,0$，所以 $\displaystyle A$ 必可相似对角化。设

$$\displaystyle P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,2,0),$$

则

$$\displaystyle \begin{aligned} P^{-1}BP &=P^{-1}(A^2-A-2E)P\\ &=(P^{-1}AP)^2-P^{-1}AP-2E\\ &=\operatorname{diag}(0,0,-2). \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{B\text{ 可以相似对角化}}.$$

也可以从特征向量角度说明：$\displaystyle A$ 分别属于特征值 $\displaystyle -1,2,0$ 的三个特征向量线性无关，其中前两个均成为 $\displaystyle B$ 属于特征值 $\displaystyle 0$ 的特征向量，第三个成为 $\displaystyle B$ 属于特征值 $\displaystyle -2$ 的特征向量，故 $\displaystyle B$ 仍有三个线性无关的特征向量。

---

5. 设三阶实对称矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle 2$，$\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $\displaystyle A$ 的二重特征值，若

$$\displaystyle \alpha_1=(1,1,0)^T,\qquad \alpha_2=(2,1,1)^T,\qquad \alpha_3=(-1,2,-3)^T$$

都是 $\displaystyle A$ 属于 $\displaystyle \lambda=6$ 的特征向量，求矩阵 $\displaystyle A$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle \boxed{ A= \begin{bmatrix} 4&2&2\\ 2&4&-2\\ 2&-2&4 \end{bmatrix}}$$

解析： 由于 $\displaystyle A$ 是三阶矩阵且

$$\displaystyle r(A)=2,$$

所以 $\displaystyle A$ 不可逆，$\displaystyle 0$ 是 $\displaystyle A$ 的一个特征值。又已知 $\displaystyle 6$ 是二重特征值，因此 $\displaystyle A$ 的全部特征值为

$$\displaystyle 6,\quad 6,\quad 0.$$

先考察给出的三个属于 $\displaystyle \lambda=6$ 的特征向量。容易验证

$$\displaystyle -5\alpha_1+3\alpha_2+\alpha_3=0,$$

且 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，所以属于特征值 $\displaystyle 6$ 的特征子空间为

$$\displaystyle V_6=\operatorname{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}.$$

因为 $\displaystyle A$ 是实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交。设属于特征值 $\displaystyle 0$ 的特征向量为

$$\displaystyle \beta=(x,y,z)^T,$$

则应满足

$$\displaystyle \beta^T\alpha_1=0, \qquad \beta^T\alpha_2=0.$$

即

$$\displaystyle \begin{cases} x+y=0,\\ 2x+y+z=0. \end{cases}$$

解得

$$\displaystyle y=-x, \qquad z=-x.$$

故可取

$$\displaystyle \beta=(1,-1,-1)^T.$$

于是

$$\displaystyle V_6=\beta^\perp.$$

矩阵 $\displaystyle A$ 在平面 $\displaystyle \beta^\perp$ 上的作用是乘以 $\displaystyle 6$，在方向 $\displaystyle \beta$ 上的作用是乘以 $\displaystyle 0$。因此

$$\displaystyle A=6\left(E-\dfrac{\beta\beta^T}{\beta^T\beta}\right).$$

由于

$$\displaystyle \beta^T\beta=1^2+(-1)^2+(-1)^2=3,$$

且

$$\displaystyle \beta\beta^T= \begin{bmatrix} 1&-1&-1\\ -1&1&1\\ -1&1&1 \end{bmatrix},$$

所以

$$\displaystyle \begin{aligned} A &=6E-2\beta\beta^T\\ &= \begin{bmatrix} 6&0&0\\ 0&6&0\\ 0&0&6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2&-2&-2\\ -2&2&2\\ -2&2&2 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 4&2&2\\ 2&4&-2\\ 2&-2&4 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

检验可得

$$\displaystyle A\alpha_i=6\alpha_i\quad(i=1,2,3), \qquad A\beta=0,$$

且 $\displaystyle A$ 为实对称矩阵、秩为 $\displaystyle 2$，满足题设全部条件。

---

6. 已知 $\displaystyle A\sim B$，$\displaystyle A^2=A$，证明 $\displaystyle B^2=B$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle \boxed{B^2=B}.$$

解析： 由 $\displaystyle A\sim B$，存在可逆矩阵 $\displaystyle P$，使得

$$\displaystyle B=P^{-1}AP.$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} B^2 &=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\\ &=P^{-1}A(PP^{-1})AP\\ &=P^{-1}A^2P. \end{aligned}$$

由题设 $\displaystyle A^2=A$，故

$$\displaystyle B^2=P^{-1}AP=B.$$

因此

$$\displaystyle \boxed{B^2=B}.$$

本题说明：矩阵多项式关系在相似变换下保持不变。更一般地，若 $\displaystyle A\sim B$，则对任意多项式 $\displaystyle f(t)$，都有

$$\displaystyle f(B)=P^{-1}f(A)P.$$

因此 $\displaystyle f(A)=0$ 必推出 $\displaystyle f(B)=0$。

---

7. 已知 $\displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值，$\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是相应的特征向量且线性无关，如 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 仍是 $\displaystyle A$ 的特征向量，则 $\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle \boxed{\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3}.$$

解析： 因为 $\displaystyle \alpha_i$ 是属于特征值 $\displaystyle \lambda_i$ 的特征向量，所以

$$\displaystyle A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i, \qquad i=1,2,3.$$

又因为

$$\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$$

仍是 $\displaystyle A$ 的特征向量，所以存在特征值 $\displaystyle \lambda$，使得

$$\displaystyle A(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3) =\lambda(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3).$$

一方面，由矩阵乘法的线性性，

$$\displaystyle \begin{aligned} A(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3) &=A\alpha_1+A\alpha_2+A\alpha_3\\ &=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\lambda_3\alpha_3. \end{aligned}$$

另一方面，

$$\displaystyle \lambda(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3) =\lambda\alpha_1+\lambda\alpha_2+\lambda\alpha_3.$$

两式相减得

$$\displaystyle (\lambda_1-\lambda)\alpha_1 +(\lambda_2-\lambda)\alpha_2 +(\lambda_3-\lambda)\alpha_3=0.$$

由于 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以各系数必须全为零，即

$$\displaystyle \lambda_1-\lambda=0, \qquad \lambda_2-\lambda=0, \qquad \lambda_3-\lambda=0.$$

因此

$$\displaystyle \boxed{\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda}.$$