第四章 线性方程组

选择题

1. 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 1& 3& -2\\ 0& 0& 0& 0& 6\end{array}\right],$$

则自由变量不能取成

A. $x_4,x_5$    B. $x_2,x_3$    C. $x_2,x_4$    D. $x_1,x_3$

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答案： （A）

解析： 由阶梯形矩阵可得方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+2x_3+3x_5=0,\\ x_3+3x_4-2x_5=0,\\ 6x_5=0.\end{array}$$

于是

$$x_5=0,x_3=-3x_4,x_1=x_2+6x_4.$$

令

$$x_2=s,x_4=t,$$

则通解为

$$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5{)}^T=(s+6t,s,-3t,t,0{)}^T.$$

因此解空间有两个自由参数。检验各组变量：

• $x_2,x_4$ 可以任意取值，是标准自由变量；
• $x_2,x_3$ 与参数 $s,t$ 一一对应，因为 $x_3=-3t$；
• $x_1,x_3$ 也与参数 $s,t$ 一一对应；
• $x_5$ 恒等于 $0$，不能作为可任意取值的自由变量。

故自由变量不能取成 $x_4,x_5$。

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2. 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则下列命题正确的是

A. 如 $m<n$，则 $Ax=b$ 有无穷多解    B. 如 $Ax=0$ 只有零解，则 $Ax=b$ 有唯一解

C. 如 $A$ 有 $n$ 阶子式不为零，则 $Ax=0$ 只有零解    D. $Ax=b$ 有唯一解的充要条件是 $r(A)=n$

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答案： （C）

解析： 若 $A$ 有一个 $n$ 阶子式不为零，则必有

$$r(A)=n.$$

齐次方程组 $Ax=0$ 的未知量个数为 $n$，其基础解系所含向量个数为

$$n-r(A)=0,$$

所以 $Ax=0$ 只有零解，故（C）正确。

错误选项分析：

• （A）$m<n$ 只能说明未知量多于方程数；若方程组不相容，则无解，并非必有无穷多解。
• （B）$Ax=0$ 只有零解说明 $r(A)=n$，但当 $m>n$ 时，$Ax=b$ 仍可能不相容。
• （D）$Ax=b$ 有唯一解的充要条件是

$$r(A)=r(A,b)=n,$$

仅有 $r(A)=n$ 还不能保证相容。

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3. 已知 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,{\eta }_4$ 是齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是

A. ${\eta }_1+{\eta }_2,{\eta }_2+{\eta }_3,{\eta }_3+{\eta }_4,{\eta }_4+{\eta }_1$

B. ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3+{\eta }_4,{\eta }_3-{\eta }_4$

C. ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,{\eta }_4$ 的一个等价向量组

D. ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,{\eta }_4$ 的一个等秩的向量组

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答案： （B）

解析： 基础解系必须同时满足：

1. 每个向量都是齐次方程组的解；

2. 向量组线性无关；

3. 能生成原齐次方程组的全部解。

选项（B）中的向量组相对于原基础解系的系数矩阵为

$$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right].$$

其行列式为

$$|P|=-2\ne 0.$$

故变换可逆，新向量组与原基础解系等价且线性无关，因此仍为基础解系。

错误选项分析：

• （A）有关系

$$({\eta }_1+{\eta }_2)-({\eta }_2+{\eta }_3)+({\eta }_3+{\eta }_4)-({\eta }_4+{\eta }_1)=0,$$

所以线性相关。

• （C）“等价向量组”只保证生成空间相同，不必保证向量个数为 $4$ 或线性无关。
• （D）“等秩”只保证秩相同，不保证新向量都是 $Ax=0$ 的解，也不保证生成同一解空间。

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4. 设 $A$ 是 $5\times 4$ 矩阵，$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$，若

$${\eta }_1=(1,1,-2,1{)}^T,{\eta }_2=(0,1,0,1{)}^T$$

是 $Ax=0$ 的基础解系，则 $A$ 的列向量组的极大线性无关组可以是

A. ${\alpha }_1,{\alpha }_3$    B. ${\alpha }_2,{\alpha }_4$

C. ${\alpha }_2,{\alpha }_3$    D. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$

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答案： （C）

解析： 矩阵 $A$ 有 $4$ 个未知量，而基础解系含 $2$ 个向量，因此

$$4-r(A)=2,$$

从而

$$r(A)=2.$$

由 $A{\eta }_1=0$ 得

$${\alpha }_1+{\alpha }_2-2{\alpha }_3+{\alpha }_4=0.$$

由 $A{\eta }_2=0$ 得

$${\alpha }_2+{\alpha }_4=0,$$

即

$${\alpha }_4=-{\alpha }_2.$$

代入前式可得

$${\alpha }_1-2{\alpha }_3=0,$$

即

$${\alpha }_1=2{\alpha }_3.$$

所以

$${\alpha }_1,{\alpha }_3$$

线性相关，

$${\alpha }_2,{\alpha }_4$$

线性相关，而矩阵秩为 $2$，故 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 必线性无关，并构成列向量组的极大线性无关组。

选项（D）含三个向量，不可能成为秩为 $2$ 的向量组的极大线性无关组。

填空题

1. 已知方程组

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 0& 1& a-2\\ 3& a& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ a\\ 16\end{array}\right]$$

有无穷多解，则 $a=\underline{}$。

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答案：

$$a=-5.$$

解析： 系数矩阵为

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 0& 1& a-2\\ 3& a& 5\end{array}\right].$$

方程组有无穷多解，必须满足

$$r(A)=r(A,b)<3,$$

因此首先要求

$$|A|=0.$$

计算得

$$|A|=-(a-4)(a+5).$$

故候选值为

$$a=4\text{或}a=-5.$$

当 $a=4$ 时，增广矩阵为

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -1& -3& 2\\ 0& 1& 2& 4\\ 3& 4& 5& 16\end{array}\right].$$

系数部分第三行满足

$$R_3=3R_1+7R_2,$$

但常数项却有

$$16\ne 3\cdot 2+7\cdot 4=34,$$

故方程组无解。

当 $a=-5$ 时，

$$R_3=3R_1-2R_2$$

对系数与常数项均成立，因为

$$16=3\cdot 2-2(-5).$$

此时

$$r(A)=r(A,b)=2<3,$$

所以有无穷多解。

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2. 已知方程组

$$\{\begin{array}{l}2x_1+\lambda x_2-x_3=b_1,\\ \lambda x_1-x_2+x_3=b_2,\\ 4x_1+5x_2-5x_3=b_3\end{array}$$

总有解，则 $\lambda$ 应满足 $\underline{}$。

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答案：

$$\lambda \ne 1,\lambda \ne -\frac{4}{5}.$$

解析： “总有解”是指对任意常数项 $b_1,b_2,b_3$，方程组都有解。由于系数矩阵为三阶方阵，这等价于系数矩阵可逆。

设

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& \lambda & -1\\ \lambda & -1& 1\\ 4& 5& -5\end{array}\right].$$

计算行列式：

$$|A|=(\lambda -1)(5\lambda +4).$$

因此要求

$$|A|\ne 0,$$

即

$$\lambda \ne 1,5\lambda +4\ne 0.$$

故

$$\lambda \ne 1,\lambda \ne -\frac{4}{5}.$$

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3. 四元方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0,\\ x_2-x_4=0\end{array}$$

的一个基础解系是 $\underline{}$。

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答案：

$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}.$$

解析： 由方程组可得

$$x_1=-x_2,x_4=x_2.$$

令自由变量

$$x_2=s,x_3=t,$$

则

$$x=\left[\begin{array}{c}-s\\ s\\ t\\ s\end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right].$$

两个向量线性无关，且能够表示方程组的全部解，因此构成一个基础解系。

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4. 四元方程组 $Ax=b$ 的三个解是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$，其中

$${\alpha }_1=(1,1,1,1{)}^T,{\alpha }_2+{\alpha }_3=(2,3,4,5{)}^T,$$

如 $r(A)=3$，则方程组 $Ax=b$ 的通解是 $\underline{}$。

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答案：

$$x=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]+k\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right],k\in \mathbb{R}.$$

解析： 因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 都是非齐次方程组 $Ax=b$ 的解，所以

$$A{\alpha }_1=A{\alpha }_2=A{\alpha }_3=b.$$

于是

$$A({\alpha }_2+{\alpha }_3-2{\alpha }_1)=0.$$

计算得

$${\alpha }_2+{\alpha }_3-2{\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right].$$

该向量是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的非零解。

又因未知量个数为 $4$，且

$$r(A)=3,$$

所以齐次方程组基础解系只含

$$4-r(A)=1$$

个向量。因此

$$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

就是一个基础解向量。

非齐次方程组的通解为“一个特解加齐次方程组通解”，故

$$x={\alpha }_1+k\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right].$$

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5. 设 $A$ 为三阶非零矩阵，

$$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& t& 3\\ 3& -1& 1\end{array}\right],$$

且 $AB=0$，则 $Ax=0$ 的通解是 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$x=c_1\left[\begin{array}{c}11\\ 0\\ 5\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}0\\ 11\\ 7\end{array}\right],c_1,c_2\in \mathbb{R}.$$

解析： 由

$$AB=0$$

且 $A\ne 0$，可知 $B$ 不可逆，否则右乘 $B^{-1}$ 将得到 $A=0$，与题设矛盾。因此

$$|B|=0.$$

计算得

$$|B|=7(t+3),$$

所以

$$t=-3.$$

此时

$$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& -3& 3\\ 3& -1& 1\end{array}\right].$$

设 $A$ 的任一行向量为 ${\beta }^T$。由 $AB=0$ 可知

$${\beta }^{T}B=0,$$

即

$$B^T\beta =0.$$

求解

$$B^T\beta =0$$

得到

$$\beta =k(-5,-7,11{)}^T.$$

又因为 $A\ne 0$，故 $A$ 的行空间由非零向量

$$(-5,-7,11)$$

生成，从而方程组 $Ax=0$ 等价于

$$-5x_1-7x_2+11x_3=0.$$

令

$$x_1=11c_1,x_2=11c_2,$$

则

$$x_3=5c_1+7c_2.$$

所以通解为

$$x=c_1\left[\begin{array}{c}11\\ 0\\ 5\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}0\\ 11\\ 7\end{array}\right].$$

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6. 设

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right],$$

$A^{\ast }$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A^{\ast }x=0$ 的通解是 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$x=c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right],c_1,c_2\in \mathbb{R}.$$

解析： 先计算 $A$ 的伴随矩阵：

$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{array}\right].$$

矩阵的三行均为第一行的倍数，因此方程组 $A^{\ast }x=0$ 等价于

$$-3x_1+6x_2-3x_3=0,$$

即

$$x_1-2x_2+x_3=0.$$

令

$$x_2=c_1,x_3=c_2,$$

则

$$x_1=2c_1-c_2.$$

所以

$$x=\left[\begin{array}{c}2c_1-c_2\\ c_1\\ c_2\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right].$$

---

7. 已知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 都是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解，如果

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_t{\alpha }_t$$

仍是 $Ax=b$ 的解，则

$$c_1+c_2+\cdots +c_t=\underline{}。$$

查看答案与解析

答案：

$$c_1+c_2+\cdots +c_t=1.$$

解析： 因为每个 ${\alpha }_i$ 都是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解，所以

$$A{\alpha }_i=b,i=1,2,\cdots ,t.$$

又因为

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_t{\alpha }_t$$

仍是该方程组的解，故

$$A(c_1{\alpha }_1+\cdots +c_t{\alpha }_t)=b.$$

利用矩阵乘法的线性性，

$$c_{1}A{\alpha }_1+\cdots +c_{t}A{\alpha }_t=b,$$

从而

$$(c_1+c_2+\cdots +c_t)b=b.$$

题设为非齐次方程组，因此 $b\ne 0$，于是

$$c_1+c_2+\cdots +c_t=1.$$

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8. 已知方程组

$$\{\begin{array}{l}a{x}_1+x_2+b{x}_3+2x_4=c,\\ x_1+b{x}_2-x_3-2x_4=4,\\ -2x_1+x_2-x_3-5x_4=1\end{array}$$

的通解是

$$(1,2,-1,0{)}^T+k(-1,2,-1,1{)}^T,$$

则 $a=\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$a=3.$$

解析： 通解写成

$$x=x^{(0)}+k\eta ,$$

其中

$$x^{(0)}=(1,2,-1,0{)}^T,\eta =(-1,2,-1,1{)}^T.$$

特解 $x^{(0)}$ 应满足原非齐次方程组，而方向向量 $\eta$ 应满足对应齐次方程组。

先将 $x^{(0)}$ 代入第二个方程：

$$1+2b+1=4,$$

所以

$$b=1.$$

再将 $\eta$ 代入第一个方程对应的齐次方程：

$$-a+2-b+2=0.$$

代入 $b=1$，得

$$-a+3=0,$$

因此

$$a=3.$$

校验第二、三个齐次方程：

$$-1+2b+1-2=0,$$

当 $b=1$ 时成立；且

$$2+2+1-5=0.$$

故结果正确。

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9. 已知 ${\xi }_1=(-3,2,0{)}^T,{\xi }_2=(-1,0,-2{)}^T$ 是方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3=a_4,\\ x_1+2x_2-x_3=1,\\ 2x_1+x_2+x_3=-4\end{array}$$

的两个解，则此方程组的通解是 $\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$x=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right]+k\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right],k\in \mathbb{R}.$$

解析： 两个非齐次方程组的解之差是对应齐次方程组的解，因此

$${\xi }_1-{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$

是对应齐次方程组的非零解。

原方程组后两个方程的系数向量

$$(1,2,-1),(2,1,1)$$

不成比例，故系数矩阵的秩至少为 $2$。

另一方面，原方程组存在两个不同的解，故其对应齐次方程组存在非零解，从而三元方程组的系数矩阵秩小于 $3$。因此

$$r(A)=2,$$

齐次方程组的基础解系只含一个向量，可以取

$$(-1,1,1{)}^T.$$

以 ${\xi }_2$ 为一个特解，原非齐次方程组的通解为

$$x={\xi }_2+k\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right]+k\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$$

计算题与证明题

1. 求齐次方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ 3x_1+2x_2+a{x}_3-3x_4=0,\\ 5x_1+4x_2+3x_3-x_4=0\end{array}$$

的基础解系。

查看答案与解析

答案： 当 $a\ne 1$ 时，一个基础解系为

$$\left\{\left[\begin{array}{c}5\\ -6\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}.$$

当 $a=1$ 时，一个基础解系为

$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}5\\ -6\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}.$$

解析： 方程组的系数矩阵为

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 3& 2& a& -3\\ 5& 4& 3& -1\end{array}\right].$$

进行初等行变换：

$$R_2\leftarrow R_2-3R_1,R_3\leftarrow R_3-5R_1,$$

得

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& a-3& -6\\ 0& -1& -2& -6\end{array}\right].$$

再令

$$R_3\leftarrow R_3-R_2,$$

得

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& a-3& -6\\ 0& 0& 1-a& 0\end{array}\right].$$

情形一：$a\ne 1$

由第三行得

$$x_3=0.$$

第二行给出

$$-x_2-6x_4=0,$$

故

$$x_2=-6x_4.$$

第一行给出

$$x_1+x_2+x_4=0,$$

所以

$$x_1=5x_4.$$

令

$$x_4=k,$$

则

$$x=k\left[\begin{array}{c}5\\ -6\\ 0\\ 1\end{array}\right].$$

因此基础解系为

$$\left\{\left[\begin{array}{c}5\\ -6\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}.$$

情形二：$a=1$

此时阶梯形矩阵为

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& -2& -6\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$$

由第二行得

$$x_2=-2x_3-6x_4.$$

再由第一行得

$$x_1=x_3+5x_4.$$

令

$$x_3=s,x_4=t,$$

则

$$x=s\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}5\\ -6\\ 0\\ 1\end{array}\right].$$

故基础解系为

$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}5\\ -6\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}.$$

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2. 求线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+2x_3+x_4=1,\\ 2x_1-x_2+x_3+2x_4=3,\\ x_1-x_3+x_4=2,\\ 3x_1-x_2+3x_4=5\end{array}$$

的通解，并求满足条件 $x_1^2=x_2^2$ 的所有解。

查看答案与解析

答案： 方程组的通解为

$$x=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right],s,t\in \mathbb{R}.$$

满足 $x_1^2=x_2^2$ 的所有解为下列两族：

$$x=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\\ -2\end{array}\right],s\in \mathbb{R},$$

或

$$x=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 3\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 1\\ 4\end{array}\right],s\in \mathbb{R}.$$

解析： 对增广矩阵作高斯消元：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 1\\ 2& -1& 1& 2& 3\\ 1& 0& -1& 1& 2\\ 3& -1& 0& 3& 5\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 1& 2\\ 0& 1& -3& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$$

因此

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_3+x_4=2,\\ x_2-3x_3=1.\end{array}$$

令

$$x_3=s,x_4=t,$$

则

$$x_1=2+s-t,x_2=1+3s.$$

所以通解为

$$x=\left[\begin{array}{c}2+s-t\\ 1+3s\\ s\\ t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$$

由

$$x_1^2=x_2^2$$

可分为

$$x_1=x_2$$

与

$$x_1=-x_2$$

两种情形。

情形一：$x_1=x_2$

有

$$2+s-t=1+3s,$$

所以

$$t=1-2s.$$

代回通解得

$$x=\left[\begin{array}{c}1+3s\\ 1+3s\\ s\\ 1-2s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\\ -2\end{array}\right].$$

情形二：$x_1=-x_2$

有

$$2+s-t=-(1+3s),$$

所以

$$t=3+4s.$$

代回通解得

$$x=\left[\begin{array}{c}-1-3s\\ 1+3s\\ s\\ 3+4s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 3\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 1\\ 4\end{array}\right].$$

以上两族即为全部满足条件 $x_1^2=x_2^2$ 的解。

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3. 当 $a,b$ 取何值时，方程组

$$\{\begin{array}{l}a{x}_1+2x_2+3x_3=4,\\ 2x_2+b{x}_3=2,\\ 2a{x}_1+2x_2+3x_3=6\end{array}$$

有唯一解、无解、有无穷多解？当方程组有解时，求其解。

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答案： 1. 当

$$a\ne 0,b\ne 3$$

时，方程组有唯一解

$$x_1=\frac{2}{a},x_2=1,x_3=0.$$

2. 当

$$a=0$$

时，无论 $b$ 取何值，方程组均无解。

3. 当

$$a\ne 0,b=3$$

时，方程组有无穷多解，其通解为

$$x_1=\frac{2}{a},x_2=1-\frac{3}{2}t,x_3=t,t\in \mathbb{R}.$$

解析： 将第三个方程减去第一个方程，得

$$a{x}_1=2.$$

情形一：$a=0$

此时上式变成

$$0=2,$$

产生矛盾，所以方程组无解。该结论与 $b$ 的取值无关。

情形二：$a\ne 0$

由

$$a{x}_1=2$$

可得

$$x_1=\frac{2}{a}.$$

代入第一个方程：

$$2+2x_2+3x_3=4,$$

即

$$2x_2+3x_3=2.$$

原方程组的第二个方程为

$$2x_2+b{x}_3=2.$$

两式相减，得

$$(b-3)x_3=0.$$

当 $b\ne 3$ 时，

$$x_3=0,$$

进而

$$x_2=1.$$

三个未知量均被唯一确定，故唯一解为

$${\left(\frac{2}{a},1,0\right)}^T.$$

当 $b=3$ 时，后两个关于 $x_2,x_3$ 的方程完全相同。令

$$x_3=t,$$

则

$$2x_2+3t=2,$$

所以

$$x_2=1-\frac{3}{2}t.$$

因此有无穷多解：

$$x=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{a}\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}0\\ -\frac{3}{2}\\ 1\end{array}\right],t\in \mathbb{R}.$$

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4. 已知 $a,b,c$ 不全为零，证明方程组

$$\{\begin{array}{l}a{x}_2+b{x}_3+c{x}_4=0,\\ a{x}_1+x_2=0,\\ b{x}_1+x_3=0,\\ c{x}_1+x_4=0\end{array}$$

只有零解。

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答案： 该齐次线性方程组只有零解

$$x_1=x_2=x_3=x_4=0.$$

解析： 由后三个方程依次得到

$$x_2=-a{x}_1,x_3=-b{x}_1,x_4=-c{x}_1.$$

将其代入第一个方程：

$$a(-a{x}_1)+b(-b{x}_1)+c(-c{x}_1)=0,$$

即

$$-(a^2+b^2+c^2)x_1=0.$$

因为 $a,b,c$ 不全为零，所以

$$a^2+b^2+c^2>0.$$

因此

$$x_1=0.$$

再由

$$x_2=-a{x}_1,x_3=-b{x}_1,x_4=-c{x}_1$$

可得

$$x_2=x_3=x_4=0.$$

故该方程组只有零解。

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5. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，证明方程组 $Ax=b$ 对任何 $b$ 都有解的充分必要条件是 $|A|\ne 0$。

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答案： 方程组

$$Ax=b$$

对任意 $n$ 维列向量 $b$ 都有解的充分必要条件为

$$|A|\ne 0.$$

解析： 下面分别证明充分性和必要性。

充分性

若

$$|A|\ne 0,$$

则矩阵 $A$ 可逆。对任意 $n$ 维列向量 $b$，取

$$x=A^{-1}b,$$

便有

$$Ax=A{A}^{-1}b=b.$$

因此 $Ax=b$ 对任意 $b$ 都有解；事实上，此时解还是唯一的。

必要性

反过来，设 $Ax=b$ 对任意 $n$ 维列向量 $b$ 都有解。

特别地，对标准单位向量

$$e_1,e_2,\dots ,e_n$$

中的每一个 $e_i$，方程

$$Ax=e_i$$

都有解。分别取一个解 $x_i$，即

$$A{x}_i=e_i,i=1,2,\dots ,n.$$

令

$$X=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$$

则

$$AX=(A{x}_1,A{x}_2,\dots ,A{x}_n)=(e_1,e_2,\dots ,e_n)=E.$$

两边取行列式：

$$|A||X|=|E|=1.$$

所以

$$|A|\ne 0.$$

综上，

$$Ax=b\text{ 对任意 }b\text{ 都有解}⟺|A|\ne 0.$$

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6. 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。

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答案： 命题成立。

解析： 设齐次线性方程组

$$Ax=0$$

的一个基础解系为

$${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s.$$

另有线性无关向量组

$${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_t,$$

且该向量组与

$${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s$$

等价。

所谓两个向量组等价，是指它们可以相互线性表示，因此二者生成同一个向量空间：

$$\mathrm{span}\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_t\}=\mathrm{span}\{{\eta }_1,\dots ,{\eta }_s\}.$$

因为 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_s$ 是基础解系，所以它们均为 $Ax=0$ 的解，并且其线性组合构成 $Ax=0$ 的全部解。

由于每个 ${\xi }_i$ 都可由 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_s$ 线性表示，而齐次方程组解的线性组合仍是解，所以

$$A{\xi }_i=0,i=1,2,\dots ,t.$$

也就是说，${\xi }_1,\dots ,{\xi }_t$ 都是齐次方程组的解。

另一方面，对 $Ax=0$ 的任意解 $x$，因为 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_s$ 是基础解系，所以

$$x\in \mathrm{span}\{{\eta }_1,\dots ,{\eta }_s\}.$$

由两个向量组等价，

$$x\in \mathrm{span}\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_t\}.$$

因此 ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_t$ 能线性表示齐次方程组的全部解。

题设又已说明 ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_t$ 线性无关，所以该向量组同时满足：

1. 每个向量都是 $Ax=0$ 的解；

2. 向量组线性无关；

3. 能表示 $Ax=0$ 的全部解。

故

$${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_t$$

也是方程组 $Ax=0$ 的基础解系。