第二章 矩阵及其运算

选择题

1. 设 $\displaystyle n$ 维行向量

$$\displaystyle \alpha=\left(\frac12,0,\cdots,0,\frac12\right),$$

矩阵 $\displaystyle A=E-\alpha^T\alpha$，$\displaystyle B=E+2\alpha^T\alpha$，则 $\displaystyle AB=$

A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle E$    C. $\displaystyle -E$    D. $\displaystyle E+\alpha^T\alpha$

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答案： B

解析： 记

$$\displaystyle P=\alpha^T\alpha.$$

由于 $\displaystyle \alpha$ 是行向量，故

$$\displaystyle P^2=\alpha^T\alpha\alpha^T\alpha =\alpha^T(\alpha\alpha^T)\alpha.$$

而

$$\displaystyle \alpha\alpha^T =\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2 =\frac12,$$

所以

$$\displaystyle P^2=\frac12P.$$

于是

$$\displaystyle AB=(E-P)(E+2P) =E+P-2P^2 =E+P-2\cdot\frac12P =E.$$

因此选 B。

错误选项分析：A、C 均与直接计算结果不符；D 忽略了 $\displaystyle P^2=\dfrac12P$ 所产生的抵消项。

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2. 设 $\displaystyle A$ 是任一 $\displaystyle n$ 阶矩阵，下列交换错误的是

A. $\displaystyle A^\ast A=AA^\ast$    B. $\displaystyle A^mA^p=A^pA^m$    C. $\displaystyle A^TA=AA^T$    D. $\displaystyle (A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)$

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答案： C

解析： 由伴随矩阵的基本性质，

$$\displaystyle A^\ast A=AA^\ast=|A|E,$$

故 A 正确。

同一矩阵的幂满足

$$\displaystyle A^mA^p=A^{m+p}=A^pA^m,$$

故 B 正确。

一般情况下，矩阵与其转置不一定可交换，即通常有

$$\displaystyle A^TA\ne AA^T.$$

例如取

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix},$$

则

$$\displaystyle A^TA=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}, \qquad AA^T=\begin{bmatrix}2&0\\0&0\end{bmatrix},$$

二者不相等，故 C 错误。

又因为单位矩阵 $\displaystyle E$ 与任意矩阵可交换，

$$\displaystyle (A+E)(A-E)=A^2-E=(A-E)(A+E),$$

故 D 正确。

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3. 设 $\displaystyle A,B,A+B,A^{-1}+B^{-1}$ 均为 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵，则

$$\displaystyle (A^{-1}+B^{-1})^{-1}=$$

A. $\displaystyle A+B$    B. $\displaystyle A^{-1}+B^{-1}$    C. $\displaystyle A(A+B)^{-1}B$    D. $\displaystyle (A+B)^{-1}$

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答案： C

解析： 将 $\displaystyle A^{-1}+B^{-1}$ 分解为

$$\displaystyle A^{-1}+B^{-1} =A^{-1}(A+B)B^{-1}.$$

验证如下：

$$\displaystyle A^{-1}(A+B)B^{-1} =A^{-1}AB^{-1}+A^{-1}BB^{-1} =B^{-1}+A^{-1}.$$

因此

$$\displaystyle (A^{-1}+B^{-1})^{-1} =\left[A^{-1}(A+B)B^{-1}\right]^{-1} =B(A+B)^{-1}A.$$

另一方面，也可分解为

$$\displaystyle A^{-1}+B^{-1}=B^{-1}(A+B)A^{-1},$$

从而

$$\displaystyle (A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B.$$

故选 C。

注意：矩阵乘法通常不可交换，不能把该式直接类比成数的分式运算。A、B、D 均不满足与 $\displaystyle A^{-1}+B^{-1}$ 相乘得到单位矩阵的要求。

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4. 设 $\displaystyle A,B$ 均是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是

A. $\displaystyle AB=0\Longleftrightarrow A=0$ 或 $\displaystyle B=0$    B. $\displaystyle AB\ne0\Longleftrightarrow A\ne0$ 且 $\displaystyle B\ne0$

C. $\displaystyle AB=0\Longrightarrow |A|=0$ 或 $\displaystyle |B|=0$    D. $\displaystyle AB\ne0\Longrightarrow |A|\ne0$ 且 $\displaystyle |B|\ne0$

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答案： C

解析： 若

$$\displaystyle AB=0,$$

则取行列式得

$$\displaystyle |AB|=|A||B|=0.$$

因此必有

$$\displaystyle |A|=0\quad\text{或}\quad |B|=0,$$

故 C 正确。

A 错误：矩阵存在非零零因子。例如

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle A\ne0$、$\displaystyle B\ne0$，但 $\displaystyle AB=0$。

B 错误：由 $\displaystyle AB\ne0$ 可以推出 $\displaystyle A\ne0$、$\displaystyle B\ne0$，但反过来不成立，上述反例即说明两个非零矩阵的乘积仍可能为零。

D 错误：$\displaystyle AB\ne0$ 并不能保证 $\displaystyle A,B$ 均可逆。例如

$$\displaystyle A=B=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle AB=A\ne0$，但 $\displaystyle |A|=|B|=0$。

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5. 设

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} a_{13}&a_{12}&a_{11}+a_{12}\\ a_{23}&a_{22}&a_{21}+a_{22}\\ a_{33}&a_{32}&a_{31}+a_{32} \end{bmatrix},$$ $$\displaystyle P_1=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, \qquad P_2=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, \qquad P_3=\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle B=$

A. $\displaystyle AP_1P_2$    B. $\displaystyle AP_1P_3$    C. $\displaystyle AP_3P_1$    D. $\displaystyle AP_2P_3$

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答案： B

解析： 设 $\displaystyle A$ 的三个列向量依次为

$$\displaystyle A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3).$$

矩阵右乘初等矩阵对应对列实施初等变换。先计算

$$\displaystyle AP_1 =(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3),$$

因为 $\displaystyle P_1$ 的第一列为 $\displaystyle (1,1,0)^T$，故第一列变为 $\displaystyle \alpha_1+\alpha_2$，其余两列不变。

再右乘 $\displaystyle P_3$，即交换第 1、3 列，得到

$$\displaystyle AP_1P_3 =(\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2).$$

这正是题中矩阵 $\displaystyle B$ 的三列，因此

$$\displaystyle B=AP_1P_3.$$

故选 B。

错误选项分析：A、C、D 所对应的列交换、列相加顺序不同，均不能得到列向量组

$$\displaystyle (\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2).$$

填空题

1. 若

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 2&0&0\\ 0&3&0 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle A^2=\underline{\qquad}$，$\displaystyle A^3=\underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle A^2=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 6&0&0 \end{bmatrix}, \qquad A^3=0.$$

解析： 直接作矩阵乘法。矩阵 $\displaystyle A$ 中只有 $\displaystyle a_{21}=2$、$\displaystyle a_{32}=3$ 非零，因此 $\displaystyle A^2$ 中只有第 $\displaystyle (3,1)$ 个元素可能非零，且

$$\displaystyle (A^2)_{31}=a_{32}a_{21}=3\times2=6.$$

所以

$$\displaystyle A^2=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 6&0&0 \end{bmatrix}.$$

再乘一次 $\displaystyle A$，由于 $\displaystyle A^2$ 的非零元素在第 $\displaystyle 1$ 列，而 $\displaystyle A$ 的第 $\displaystyle 1$ 行全为零，故

$$\displaystyle A^3=A^2A=0.$$

这说明 $\displaystyle A$ 是幂零指数不超过 $\displaystyle 3$ 的幂零矩阵。

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2. 若

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle A^\ast=\underline{\qquad}$，$\displaystyle (A^\ast)^\ast=\underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle A^\ast= \begin{bmatrix} -3&6&-3\\ 6&-12&6\\ -3&6&-3 \end{bmatrix}, \qquad (A^\ast)^\ast=0.$$

解析： 按代数余子式计算得

$$\displaystyle A^\ast= \begin{bmatrix} -3&6&-3\\ 6&-12&6\\ -3&6&-3 \end{bmatrix}.$$

也可以先观察到

$$\displaystyle R_3-2R_2+R_1=0,$$

故 $\displaystyle |A|=0$。又 $\displaystyle A$ 存在非零二阶子式，例如

$$\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}=-3\ne0,$$

所以

$$\displaystyle r(A)=2.$$

对于三阶矩阵，当 $\displaystyle r(A)=2$ 时，伴随矩阵满足

$$\displaystyle r(A^\ast)=1.$$

因此 $\displaystyle A^\ast$ 的所有二阶子式均为零，从而其伴随矩阵为零矩阵：

$$\displaystyle (A^\ast)^\ast=0.$$

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3. 设

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 0&0&1&2\\ 0&0&3&5\\ 2&-1&0&0\\ -5&3&0&0 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle A^{-1}=\underline{\qquad}$。

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答案：

$$\displaystyle A^{-1}= \begin{bmatrix} 0&0&3&1\\ 0&0&5&2\\ -5&2&0&0\\ 3&-1&0&0 \end{bmatrix}.$$

解析： 将 $\displaystyle A$ 写成二阶分块矩阵

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 0&C\\ D&0 \end{bmatrix}, \qquad C=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}, \qquad D=\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\end{bmatrix}.$$

计算得

$$\displaystyle C^{-1}=\begin{bmatrix}-5&2\\3&-1\end{bmatrix}, \qquad D^{-1}=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}.$$

对于这种分块形式，若 $\displaystyle C,D$ 均可逆，则

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 0&C\\D&0 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 0&D^{-1}\\C^{-1}&0 \end{bmatrix}.$$

代入即得

$$\displaystyle A^{-1}= \begin{bmatrix} 0&0&3&1\\ 0&0&5&2\\ -5&2&0&0\\ 3&-1&0&0 \end{bmatrix}.$$

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4. 设矩阵

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix}-1&3\\3&2\end{bmatrix}, \qquad B=A^2+5A+6E,$$

则

$$\displaystyle \left(\frac15B\right)^{-1}=\underline{\qquad}.$$

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle \left(\frac15B\right)^{-1} = \begin{bmatrix} -29&18\\ 18&-11 \end{bmatrix}.$$

解析： 先计算

$$\displaystyle A^2= \begin{bmatrix} 10&3\\ 3&13 \end{bmatrix}.$$

于是

$$\displaystyle B=A^2+5A+6E = \begin{bmatrix} 11&18\\ 18&29 \end{bmatrix},$$

从而

$$\displaystyle \frac15B=\frac15 \begin{bmatrix} 11&18\\ 18&29 \end{bmatrix}.$$

因为

$$\displaystyle \begin{vmatrix} 11&18\\18&29 \end{vmatrix} =319-324=-5,$$

所以

$$\displaystyle B^{-1}=-\frac15 \begin{bmatrix} 29&-18\\ -18&11 \end{bmatrix}.$$

利用 $\displaystyle (cB)^{-1}=c^{-1}B^{-1}$，有

$$\displaystyle \left(\frac15B\right)^{-1}=5B^{-1} = \begin{bmatrix} -29&18\\ 18&-11 \end{bmatrix}.$$

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5. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，满足 $\displaystyle A^2-2A+E=0$，则

$$\displaystyle (A+2E)^{-1}=\underline{\qquad}.$$

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle (A+2E)^{-1}=\frac19(4E-A).$$

解析： 由已知条件

$$\displaystyle A^2-2A+E=0$$

可得

$$\displaystyle A^2=2A-E.$$

设所求逆矩阵为 $\displaystyle xA+yE$。计算

$$\displaystyle (A+2E)(4E-A) =4A-A^2+8E-2A =2A-A^2+8E.$$

代入 $\displaystyle A^2=2A-E$，得

$$\displaystyle (A+2E)(4E-A)=9E.$$

矩阵 $\displaystyle A+2E$ 与 $\displaystyle 4E-A$ 都是 $\displaystyle A$ 的多项式，故二者可交换，于是

$$\displaystyle (A+2E)^{-1}=\frac19(4E-A).$$

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6. 若

$$\displaystyle A=\frac12\begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&0&1\\ 0&3&0 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle (A^\ast)^{-1}=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle (A^\ast)^{-1} = \begin{bmatrix} -\dfrac43&0&0\\[2mm] 0&0&-\dfrac23\\[2mm] 0&-2&0 \end{bmatrix}.$$

解析： 三阶可逆矩阵满足

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1},$$

因此

$$\displaystyle (A^\ast)^{-1}=\frac1{|A|}A.$$

先求行列式。令

$$\displaystyle M=\begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&0&1\\ 0&3&0 \end{bmatrix}, \qquad A=\frac12M.$$

则

$$\displaystyle |M|=-6, \qquad |A|=\left(\frac12\right)^3|M|=-\frac34.$$

所以

$$\displaystyle (A^\ast)^{-1}=-\frac43A =-\frac23M = \begin{bmatrix} -\dfrac43&0&0\\[2mm] 0&0&-\dfrac23\\[2mm] 0&-2&0 \end{bmatrix}.$$

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7. 若

$$\displaystyle A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&-2&2\\ 2&2&1\\ -2&1&2 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle (3A)^\ast=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle (3A)^\ast= \begin{bmatrix} \dfrac13&-\dfrac23&\dfrac23\\[2mm] \dfrac23&\dfrac23&\dfrac13\\[2mm] -\dfrac23&\dfrac13&\dfrac23 \end{bmatrix}.$$

解析： 记

$$\displaystyle M=A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&-2&2\\ 2&2&1\\ -2&1&2 \end{bmatrix}.$$

计算得

$$\displaystyle |M|=27,$$

所以

$$\displaystyle |A|=\frac1{|A^{-1}|}=\frac1{27}.$$

三阶矩阵满足

$$\displaystyle (3A)^\ast=3^{3-1}A^\ast=9A^\ast,$$

又

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1}=\frac1{27}M.$$

故

$$\displaystyle (3A)^\ast=\frac13M = \begin{bmatrix} \dfrac13&-\dfrac23&\dfrac23\\[2mm] \dfrac23&\dfrac23&\dfrac13\\[2mm] -\dfrac23&\dfrac13&\dfrac23 \end{bmatrix}.$$

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8. 设

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} -8&2&-2\\ 2&x&-4\\ -2&-4&x \end{bmatrix}$$

不可逆，则 $\displaystyle x=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle x=4\quad\text{或}\quad x=-5.$$

解析： 矩阵不可逆的充要条件是

$$\displaystyle |A|=0.$$

按第一行展开，或直接作行列式计算，得

$$\displaystyle |A| =-8x^2-8x+160 =-8(x-4)(x+5).$$

令 $\displaystyle |A|=0$，得到

$$\displaystyle (x-4)(x+5)=0.$$

因此

$$\displaystyle x=4\quad\text{或}\quad x=-5.$$

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9. 设 $\displaystyle A,B$ 均为 $\displaystyle 3$ 阶矩阵，且满足 $\displaystyle AB=2A+B$，其中

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&2&0\\ 2&1&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle |B-2E|=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle |B-2E|=-2.$$

解析： 由

$$\displaystyle AB=2A+B$$

移项得

$$\displaystyle (A-E)B=2A.$$

先计算

$$\displaystyle |A-E| = \begin{vmatrix} 0&2&0\\ 2&0&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix} =-4\ne0,$$

故 $\displaystyle A-E$ 可逆。于是

$$\displaystyle B=2(A-E)^{-1}A.$$

因为 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle A-E$ 可交换，所以

$$\displaystyle \begin{aligned} B-2E &=2(A-E)^{-1}A-2E\\ &=2(A-E)^{-1}\bigl[A-(A-E)\bigr]\\ &=2(A-E)^{-1}. \end{aligned}$$

取行列式：

$$\displaystyle |B-2E| =|2(A-E)^{-1}| =2^3\frac1{|A-E|} =\frac8{-4}=-2.$$

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10. 设 $\displaystyle A^2-BA=E$，其中

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle B=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle B= \begin{bmatrix} 0&-2&-1\\ 0&0&-2\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.$$

解析： 由

$$\displaystyle A^2-BA=E$$

可得

$$\displaystyle (A-B)A=E.$$

因此 $\displaystyle A-B=A^{-1}$，即

$$\displaystyle B=A-A^{-1}.$$

矩阵 $\displaystyle A$ 是上三角矩阵，且

$$\displaystyle A^{-1}= \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix}.$$

于是

$$\displaystyle B= \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-2&-1\\ 0&0&-2\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.$$

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11. 设 $\displaystyle XA=A^T+X$，其中

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 2&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&3 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle X=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle X=\begin{bmatrix} 6&-4&-3\\ -1&1&1\\ -1&2&2 \end{bmatrix}.$$

解析： 由

$$\displaystyle XA=A^T+X$$

移项得

$$\displaystyle X(A-E)=A^T.$$

计算

$$\displaystyle A-E= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&2 \end{bmatrix}, \qquad |A-E|=-1\ne0,$$

故 $\displaystyle A-E$ 可逆，并且

$$\displaystyle (A-E)^{-1}= \begin{bmatrix} 2&-1&-1\\ 2&-2&-1\\ -1&1&1 \end{bmatrix}.$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} X &=A^T(A-E)^{-1}\\ &= \begin{bmatrix} 2&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&-1&-1\\ 2&-2&-1\\ -1&1&1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 6&-4&-3\\ -1&1&1\\ -1&2&2 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

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12. 已知

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&1&-1\\ -1&1&1\\ 1&-1&1 \end{bmatrix},$$

矩阵 $\displaystyle X$ 满足 $\displaystyle A^\ast X=A^{-1}+2X$，其中 $\displaystyle A^\ast$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵，则 $\displaystyle X=\underline{\qquad}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle X=\frac14 \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1 \end{bmatrix}.$$

解析： 先计算

$$\displaystyle |A|=4, \qquad A^{-1}=\frac12 \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{bmatrix}.$$

由

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1}$$

得

$$\displaystyle A^\ast= \begin{bmatrix} 2&0&2\\ 2&2&0\\ 0&2&2 \end{bmatrix}.$$

原方程可改写为

$$\displaystyle (A^\ast-2E)X=A^{-1}.$$

而

$$\displaystyle A^\ast-2E= \begin{bmatrix} 0&0&2\\ 2&0&0\\ 0&2&0 \end{bmatrix}, \qquad (A^\ast-2E)^{-1} =\frac12 \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{bmatrix}.$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} X &=(A^\ast-2E)^{-1}A^{-1}\\ &=\frac12 \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{bmatrix} \cdot\frac12 \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{bmatrix}\\ &=\frac14 \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

计算题与证明题

1. 设

$$\displaystyle A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&3 \end{bmatrix},$$

求 $\displaystyle (A^\ast)^{-1}$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle (A^\ast)^{-1}= \begin{bmatrix} 5&-2&-1\\ -2&2&0\\ -1&0&1 \end{bmatrix}.$$

解析： 记

$$\displaystyle M=A^{-1}= \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&3 \end{bmatrix}.$$

计算得

$$\displaystyle |M|=2.$$

由于

$$\displaystyle |A^{-1}|=\frac1{|A|},$$

故

$$\displaystyle |A|=\frac12.$$

又因

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1},$$

所以

$$\displaystyle A^\ast=\frac12M, \qquad (A^\ast)^{-1}=2M^{-1}.$$

对 $\displaystyle M$ 求逆：

$$\displaystyle M^{-1}= \begin{bmatrix} \dfrac52&-1&-\dfrac12\\ -1&1&0\\ -\dfrac12&0&\dfrac12 \end{bmatrix}.$$

因此

$$\displaystyle (A^\ast)^{-1} =2M^{-1} = \begin{bmatrix} 5&-2&-1\\ -2&2&0\\ -1&0&1 \end{bmatrix}.$$

---

2. 设

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&1&1 \end{bmatrix},$$

求 $\displaystyle A^n$。

查看答案与解析

答案： 当 $\displaystyle n\ge1$ 时，

$$\displaystyle A^n= \begin{bmatrix} 2^{n-1}&2^{n-1}&0&0\\ 2^{n-1}&2^{n-1}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&n&1 \end{bmatrix}.$$

解析： 将 $\displaystyle A$ 写成分块对角矩阵

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} B&0\\ 0&C \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}, \qquad C=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}.$$

于是

$$\displaystyle A^n= \begin{bmatrix} B^n&0\\ 0&C^n \end{bmatrix}.$$

对于矩阵 $\displaystyle B$，有

$$\displaystyle B^2=2B,$$

故由归纳法可得

$$\displaystyle B^n=2^{n-1}B =\begin{bmatrix} 2^{n-1}&2^{n-1}\\ 2^{n-1}&2^{n-1} \end{bmatrix}.$$

对于矩阵 $\displaystyle C$，令

$$\displaystyle N=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},$$

则

$$\displaystyle C=E_2+N, \qquad N^2=0.$$

由二项式展开

$$\displaystyle C^n=(E_2+N)^n=E_2+nN =\begin{bmatrix}1&0\\n&1\end{bmatrix}.$$

因此

$$\displaystyle A^n= \begin{bmatrix} 2^{n-1}&2^{n-1}&0&0\\ 2^{n-1}&2^{n-1}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&n&1 \end{bmatrix}.$$

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3. 设 $\displaystyle A,B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle E+AB$ 可逆，化简

$$\displaystyle (E+BA)\left[E-B(E+AB)^{-1}A\right].$$

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle E.$$

解析： 记

$$\displaystyle M=(E+AB)^{-1}.$$

展开原式：

$$\displaystyle \begin{aligned} &(E+BA)\left[E-BMA\right]\\ &=E+BA-(E+BA)BMA. \end{aligned}$$

注意到

$$\displaystyle (E+BA)B=B+BAB=B(E+AB),$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} (E+BA)BMA &=B(E+AB)(E+AB)^{-1}A\\ &=BA. \end{aligned}$$

所以原式为

$$\displaystyle E+BA-BA=E.$$

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4. 设 $\displaystyle A,B,C$ 均为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，其中 $\displaystyle C$ 可逆，且 $\displaystyle ABA=C^{-1}$，证明 $\displaystyle BAC=CAB$。

查看答案与解析

答案： 结论成立，即

$$\displaystyle BAC=CAB.$$

解析： 由 $\displaystyle C$ 可逆可知 $\displaystyle C^{-1}$ 可逆。又

$$\displaystyle ABA=C^{-1},$$

所以矩阵 $\displaystyle ABA$ 可逆。取行列式得

$$\displaystyle |A|^2|B|=|C^{-1}|\ne0,$$

从而

$$\displaystyle |A|\ne0,\qquad |B|\ne0.$$

因此 $\displaystyle A,B$ 均可逆。

对等式 $\displaystyle ABA=C^{-1}$ 两边取逆，得

$$\displaystyle C=(ABA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}A^{-1}.$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} BAC &=BA\left(A^{-1}B^{-1}A^{-1}\right)\\ &=BB^{-1}A^{-1}\\ &=A^{-1}, \end{aligned}$$

而

$$\displaystyle \begin{aligned} CAB &=\left(A^{-1}B^{-1}A^{-1}\right)AB\\ &=A^{-1}B^{-1}B\\ &=A^{-1}. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle BAC=CAB.$$

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5. 若 $\displaystyle A$ 是对称矩阵，$\displaystyle B$ 是反对称矩阵，则 $\displaystyle AB$ 是反对称矩阵的充要条件是 $\displaystyle AB=BA$。

查看答案与解析

答案：

$$\displaystyle AB\text{ 为反对称矩阵}\Longleftrightarrow AB=BA.$$

解析： 因为 $\displaystyle A$ 是对称矩阵、$\displaystyle B$ 是反对称矩阵，所以

$$\displaystyle A^T=A,\qquad B^T=-B.$$

**必要性：**若 $\displaystyle AB$ 是反对称矩阵，则

$$\displaystyle (AB)^T=-AB.$$

另一方面，

$$\displaystyle (AB)^T=B^TA^T=(-B)A=-BA.$$

故

$$\displaystyle -BA=-AB,$$

即

$$\displaystyle AB=BA.$$

**充分性：**若 $\displaystyle AB=BA$，则

$$\displaystyle (AB)^T=B^TA^T=-BA=-AB.$$

因此 $\displaystyle AB$ 是反对称矩阵。

综上，

$$\displaystyle AB\text{ 为反对称矩阵}\Longleftrightarrow AB=BA.$$

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6. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A^m=0$，证明 $\displaystyle E-A$ 可逆。

查看答案与解析

答案： $\displaystyle E-A$ 可逆，且

$$\displaystyle (E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{m-1}.$$

解析： 利用有限等比恒等式，

$$\displaystyle \begin{aligned} (E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{m-1}) &=E-A^m\\ &=E. \end{aligned}$$

同理，由于 $\displaystyle E+A+\cdots+A^{m-1}$ 是 $\displaystyle A$ 的多项式，它与 $\displaystyle A$ 可交换，因此

$$\displaystyle (E+A+A^2+\cdots+A^{m-1})(E-A) =E-A^m =E.$$

所以 $\displaystyle E+A+A^2+\cdots+A^{m-1}$ 同时是 $\displaystyle E-A$ 的左逆和右逆，从而

$$\displaystyle E-A$$

可逆，并且

$$\displaystyle (E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{m-1}.$$

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7. 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $\displaystyle n$ 维列向量，$\displaystyle b$ 为常数，记分块矩阵

$$\displaystyle P=\begin{bmatrix} E&0\\ -\alpha^TA^\ast&|A| \end{bmatrix}, \qquad Q=\begin{bmatrix} A&\alpha\\ \alpha^T&b \end{bmatrix},$$

其中 $\displaystyle A^\ast$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。

（Ⅰ）计算并化简 $\displaystyle PQ$；

（Ⅱ）证明矩阵 $\displaystyle Q$ 可逆的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^TA^{-1}\alpha\ne b$。

查看答案与解析

答案： （Ⅰ）

$$\displaystyle PQ= \begin{bmatrix} A&\alpha\\ 0&|A|\left(b-\alpha^TA^{-1}\alpha\right) \end{bmatrix}.$$

（Ⅱ）

$$\displaystyle Q\text{ 可逆} \Longleftrightarrow \alpha^TA^{-1}\alpha\ne b.$$

解析： （Ⅰ）按分块矩阵乘法，

$$\displaystyle \begin{aligned} PQ &= \begin{bmatrix} E&0\\ -\alpha^TA^\ast&|A| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A&\alpha\\ \alpha^T&b \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} A&\alpha\\ -\alpha^TA^\ast A+|A|\alpha^T& -\alpha^TA^\ast\alpha+|A|b \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

由伴随矩阵的性质

$$\displaystyle A^\ast A=|A|E,$$

可得左下角分块

$$\displaystyle -\alpha^TA^\ast A+|A|\alpha^T =-|A|\alpha^T+|A|\alpha^T =0.$$

又因为 $\displaystyle A$ 可逆，

$$\displaystyle A^\ast=|A|A^{-1},$$

所以右下角分块为

$$\displaystyle \begin{aligned} -\alpha^TA^\ast\alpha+|A|b &=-|A|\alpha^TA^{-1}\alpha+|A|b\\ &=|A|\left(b-\alpha^TA^{-1}\alpha\right). \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle PQ= \begin{bmatrix} A&\alpha\\ 0&|A|\left(b-\alpha^TA^{-1}\alpha\right) \end{bmatrix}.$$

（Ⅱ）矩阵 $\displaystyle P$ 是分块下三角矩阵，故

$$\displaystyle |P|=|E|\cdot|A|=|A|\ne0.$$

因此 $\displaystyle P$ 可逆，从而

$$\displaystyle Q\text{ 可逆}\Longleftrightarrow PQ\text{ 可逆}.$$

由（Ⅰ），$\displaystyle PQ$ 是分块上三角矩阵，其行列式为

$$\displaystyle \begin{aligned} |PQ| &=|A|\cdot |A|\left(b-\alpha^TA^{-1}\alpha\right)\\ &=|A|^2\left(b-\alpha^TA^{-1}\alpha\right). \end{aligned}$$

因为 $\displaystyle |A|\ne0$，所以

$$\displaystyle |PQ|\ne0 \Longleftrightarrow b-\alpha^TA^{-1}\alpha\ne0.$$

即

$$\displaystyle Q\text{ 可逆} \Longleftrightarrow \alpha^TA^{-1}\alpha\ne b.$$

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8. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实反对称矩阵，证明 $\displaystyle (E-A)(E+A)^{-1}$ 是正交矩阵。

查看答案与解析

答案： 矩阵

$$\displaystyle R=(E-A)(E+A)^{-1}$$

是正交矩阵。

解析： 首先证明 $\displaystyle E+A$ 可逆。若

$$\displaystyle (E+A)x=0,$$

则

$$\displaystyle x=-Ax.$$

左乘 $\displaystyle x^T$，得到

$$\displaystyle x^Tx=-x^TAx.$$

由于 $\displaystyle A$ 是实反对称矩阵，

$$\displaystyle A^T=-A,$$

而标量 $\displaystyle x^TAx$ 满足

$$\displaystyle x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx=-x^TAx,$$

故

$$\displaystyle x^TAx=0.$$

于是

$$\displaystyle x^Tx=0,$$

从而 $\displaystyle x=0$。因此齐次方程 $\displaystyle (E+A)x=0$ 只有零解，故 $\displaystyle E+A$ 可逆。

令

$$\displaystyle R=(E-A)(E+A)^{-1}.$$

则

$$\displaystyle \begin{aligned} R^T &=\left[(E+A)^{-1}\right]^T(E-A)^T\\ &=\left[(E+A)^T\right]^{-1}(E-A)^T\\ &=(E-A)^{-1}(E+A). \end{aligned}$$

又因为 $\displaystyle E+A$ 与 $\displaystyle E-A$ 都是 $\displaystyle A$ 的多项式，所以二者可交换。于是

$$\displaystyle \begin{aligned} R^TR &=(E-A)^{-1}(E+A)(E-A)(E+A)^{-1}\\ &=(E-A)^{-1}(E-A)(E+A)(E+A)^{-1}\\ &=E. \end{aligned}$$

因此 $\displaystyle R$ 满足

$$\displaystyle R^TR=E,$$

故 $\displaystyle R=(E-A)(E+A)^{-1}$ 是正交矩阵。