第一章 行列式

选择题

1. 若

$$\displaystyle \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=m,$$

则

$$\displaystyle \begin{vmatrix} a_1 & 2c_1-5b_1 & 3b_1\\ a_2 & 2c_2-5b_2 & 3b_2\\ a_3 & 2c_3-5b_3 & 3b_3 \end{vmatrix}=$$

A. $\displaystyle 30m$    B. $\displaystyle -15m$    C. $\displaystyle 6m$    D. $\displaystyle -6m$

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答案： D

解析： 记

$$\displaystyle \boldsymbol a=(a_1,a_2,a_3)^T,\qquad \boldsymbol b=(b_1,b_2,b_3)^T,\qquad \boldsymbol c=(c_1,c_2,c_3)^T.$$

原行列式转置后仍为 $\displaystyle m$，即

$$\displaystyle |\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c|=m.$$

利用行列式对列的线性性质，所求行列式为

$$\displaystyle \begin{aligned} |\boldsymbol a,2\boldsymbol c-5\boldsymbol b,3\boldsymbol b| &=3|\boldsymbol a,2\boldsymbol c-5\boldsymbol b,\boldsymbol b|\\ &=6|\boldsymbol a,\boldsymbol c,\boldsymbol b| -15|\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol b|. \end{aligned}$$

其中，含有两个相同列的行列式为零，且交换第二、三列使行列式变号，所以

$$\displaystyle |\boldsymbol a,\boldsymbol c,\boldsymbol b|=-|\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c|=-m.$$

因此

$$\displaystyle |\boldsymbol a,2\boldsymbol c-5\boldsymbol b,3\boldsymbol b|=6(-m)=-6m.$$

故选 D。A、B、C 均未正确处理行列式的线性性质及交换两列产生的负号。

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2. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，则

$$\displaystyle \left|\,|A^\ast|A\,\right|=$$

A. $\displaystyle |A|^{n^2}$    B. $\displaystyle |A|^{n^2-n}$    C. $\displaystyle |A|^{n^2-n+1}$    D. $\displaystyle |A|^{n^2+n}$

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答案： C

解析： 对任意 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$，伴随矩阵满足

$$\displaystyle |A^\ast|=|A|^{n-1}.$$

又因为 $\displaystyle |A^\ast|$ 是一个数，而对数乘矩阵有

$$\displaystyle |kA|=k^n|A|,$$

所以

$$\displaystyle \begin{aligned} \left|\,|A^\ast|A\,\right| &=|A^\ast|^n|A|\\ &=\left(|A|^{n-1}\right)^n|A|\\ &=|A|^{n(n-1)+1}\\ &=|A|^{n^2-n+1}. \end{aligned}$$

故选 C。A、B、D 的指数均未同时考虑“数乘矩阵使行列式乘以该数的 $\displaystyle n$ 次方”以及 $\displaystyle |A^\ast|=|A|^{n-1}$ 两条性质。

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3. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，则

$$\displaystyle |(2A)^\ast|=$$

A. $\displaystyle 2^n|A^\ast|$    B. $\displaystyle 2^{n-1}|A^\ast|$    C. $\displaystyle 2^{n^2-n}|A^\ast|$    D. $\displaystyle 2^{n^2}|A^\ast|$

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答案： C

解析： 对于 $\displaystyle n$ 阶矩阵，伴随矩阵中的每个元素都是一个 $\displaystyle n-1$ 阶子式。将 $\displaystyle A$ 的所有元素乘以 $\displaystyle 2$ 后，每个 $\displaystyle n-1$ 阶子式均乘以 $\displaystyle 2^{n-1}$，故

$$\displaystyle (2A)^\ast=2^{n-1}A^\ast.$$

两边取行列式，注意 $\displaystyle A^\ast$ 仍是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，因此

$$\displaystyle |(2A)^\ast| =|2^{n-1}A^\ast| =\left(2^{n-1}\right)^n|A^\ast| =2^{n(n-1)}|A^\ast|.$$

即

$$\displaystyle |(2A)^\ast|=2^{n^2-n}|A^\ast|.$$

故选 C。B 只计算了伴随矩阵本身的数乘倍数，未再对其取行列式；A、D 的指数也不符合上述缩放规律。

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4. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m$ 阶矩阵，$\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle |A|=a,|B|=b$，若

$$\displaystyle C=\begin{bmatrix} 0 & 3A\\ -B & 0 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle |C|=$

A. $\displaystyle -3ab$    B. $\displaystyle 3^mab$    C. $\displaystyle (-1)^{mn}3^mab$    D. $\displaystyle (-1)^{(m+1)n}3^mab$

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答案： D

解析： 矩阵 $\displaystyle C$ 的两个列块宽度分别为 $\displaystyle n$ 和 $\displaystyle m$。将前 $\displaystyle n$ 列与后 $\displaystyle m$ 列整体交换，需要进行 $\displaystyle mn$ 次相邻列交换，因此行列式乘以

$$\displaystyle (-1)^{mn}.$$

交换后得到分块对角矩阵

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 3A&0\\ 0&-B \end{bmatrix}.$$

于是

$$\displaystyle (-1)^{mn}|C| =|3A|\,|-B|.$$

分别计算

$$\displaystyle |3A|=3^m|A|=3^ma, \qquad |-B|=(-1)^n|B|=(-1)^nb.$$

所以

$$\displaystyle (-1)^{mn}|C|=(-1)^n3^mab,$$

从而

$$\displaystyle |C|=(-1)^{mn+n}3^mab =(-1)^{(m+1)n}3^mab.$$

故选 D。A、B 忽略了矩阵阶数对数乘行列式的影响；C 忽略了块 $\displaystyle -B$ 额外产生的因子 $\displaystyle (-1)^n$。

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5. $\displaystyle x=-2$ 是

$$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & x & x^2\\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix}=0$$

的

A. 充分必要条件    B. 充分而非必要条件    C. 必要而非充分条件    D. 既不充分也非必要条件

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答案： B

解析： 该行列式是以 $\displaystyle 1,x,-2$ 为参数的三阶范德蒙德行列式。按范德蒙德行列式公式，

$$\displaystyle \begin{aligned} D &=\begin{vmatrix} 1&1&1^2\\ 1&x&x^2\\ 1&-2&(-2)^2 \end{vmatrix}\\ &=(x-1)(-2-1)(-2-x)\\ &=3(x-1)(x+2). \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle D=0\iff x=1\quad\text{或}\quad x=-2.$$

当 $\displaystyle x=-2$ 时，第二行与第三行相同，行列式必为零，所以“$\displaystyle x=-2$”是行列式等于零的充分条件；但行列式等于零时还可能有 $\displaystyle x=1$，故它不是必要条件。

因此，$\displaystyle x=-2$ 是充分而非必要条件，选 B。A 错在忽略了另一根 $\displaystyle x=1$；C、D 均与 $\displaystyle x=-2$ 确实能推出行列式为零相矛盾。

填空题

1. 若

$$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ x & 3 & 1\\ 4 & x & 5 \end{vmatrix}$$

的代数余子式 $\displaystyle A_{12}=-1$，则代数余子式 $\displaystyle A_{21}=\underline{\qquad}$。

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答案： $\displaystyle 2$

解析： 由代数余子式的定义，

$$\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} x&1\\ 4&5 \end{vmatrix} =-(5x-4)=4-5x.$$

由题设 $\displaystyle A_{12}=-1$，得

$$\displaystyle 4-5x=-1,$$

所以

$$\displaystyle x=1.$$

再计算

$$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0&2\\ x&5 \end{vmatrix} =-(-2x)=2x.$$

代入 $\displaystyle x=1$，得到

$$\displaystyle A_{21}=2.$$

相关知识点：计算代数余子式时，既要删去对应的行、列，又要乘符号因子 $\displaystyle (-1)^{i+j}$。

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2. 若

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix}(4,5,6),$$

则 $\displaystyle |A|=\underline{\qquad}$。

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答案： $\displaystyle 0$

解析： 矩阵 $\displaystyle A$ 是一个列向量与一个行向量的乘积，即

$$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 4&5&6\\ 8&10&12\\ -12&-15&-18 \end{bmatrix}.$$

其第二行是第一行的 $\displaystyle 2$ 倍，第三行是第一行的 $\displaystyle -3$ 倍，因此各行线性相关，矩阵的秩满足

$$\displaystyle r(A)=1<3.$$

所以

$$\displaystyle |A|=0.$$

也可直接利用外积矩阵 $\displaystyle uv^T$ 的秩不超过 $\displaystyle 1$ 得出结论。

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3. 设

$$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 4 & 8 \end{bmatrix},$$

则 $\displaystyle |-2A^{-1}|=\underline{\qquad}$。

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答案： $\displaystyle -\dfrac47$

解析： 先计算 $\displaystyle |A|$。按第二行展开，得到

$$\displaystyle |A|= \begin{vmatrix} 1&3\\ -2&8 \end{vmatrix} =8+6=14.$$

因此 $\displaystyle A$ 可逆，并且

$$\displaystyle |A^{-1}|=\frac1{|A|}=\frac1{14}.$$

由于 $\displaystyle -2A^{-1}$ 是三阶矩阵，数乘矩阵的行列式满足

$$\displaystyle |-2A^{-1}|=(-2)^3|A^{-1}|.$$

故

$$\displaystyle |-2A^{-1}|=-8\cdot\frac1{14}=-\frac47.$$

易错点：对三阶矩阵整体乘以 $\displaystyle -2$，行列式应乘以 $\displaystyle (-2)^3$，而不是只乘 $\displaystyle -2$。

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4. 设 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ 都是 $\displaystyle 4$ 维列向量，且

$$\displaystyle |A|=|\alpha,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3|=4, \qquad |B|=|\beta,2\gamma_1,3\gamma_2,\gamma_3|=21,$$

则 $\displaystyle |A+B|=\underline{\qquad}$。

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答案： $\displaystyle 180$

解析： 由题意，

$$\displaystyle A=(\alpha,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3), \qquad B=(\beta,2\gamma_1,3\gamma_2,\gamma_3).$$

因此

$$\displaystyle A+B=(\alpha+\beta,3\gamma_1,4\gamma_2,2\gamma_3).$$

先由 $\displaystyle |B|=21$ 求出

$$\displaystyle |\beta,2\gamma_1,3\gamma_2,\gamma_3| =6|\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3|=21,$$

所以

$$\displaystyle |\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3|=\frac72.$$

再利用行列式对第一列的线性性质，

$$\displaystyle \begin{aligned} |A+B| &=|\alpha+\beta,3\gamma_1,4\gamma_2,2\gamma_3|\\ &=24|\alpha+\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3|\\ &=24\left( |\alpha,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3| +|\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3| \right)\\ &=24\left(4+\frac72\right)\\ &=180. \end{aligned}$$

相关知识点：矩阵相加是对应列相加；行列式对任意一列具有线性性质。

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5. 已知

$$\displaystyle D_n= \begin{vmatrix} a_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ -1 & a_2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & -1 & a_3 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & a_n \end{vmatrix},$$

若 $\displaystyle D_n=a_nD_{n-1}+kD_{n-2}$，则 $\displaystyle k=\underline{\qquad}$。

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答案： $\displaystyle 1$

解析： 按行列式 $\displaystyle D_n$ 的最后一行展开。最后一行只有第 $\displaystyle n-1$ 列的元素 $\displaystyle -1$ 和第 $\displaystyle n$ 列的元素 $\displaystyle a_n$ 非零。

元素 $\displaystyle a_n$ 对应的余子式正是 $\displaystyle D_{n-1}$，故产生

$$\displaystyle a_nD_{n-1}.$$

元素 $\displaystyle -1$ 对应项为

$$\displaystyle (-1)(-1)^{n+(n-1)}M_{n,n-1}=M_{n,n-1}.$$

在余子式 $\displaystyle M_{n,n-1}$ 中，最后一列仅有一个非零元素 $\displaystyle 1$，再沿最后一列展开，即得到 $\displaystyle D_{n-2}$。因此

$$\displaystyle D_n=a_nD_{n-1}+D_{n-2}.$$

故

$$\displaystyle k=1.$$

证明题

1. 若行列式的某个元素 $\displaystyle a_{ij}$ 加 $\displaystyle 1$，则行列式的值增加 $\displaystyle A_{ij}$。

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答案： 行列式值增加 $\displaystyle A_{ij}$。

解析： 设原行列式为 $\displaystyle D$，把第 $\displaystyle i$ 行展开，有

$$\displaystyle D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{ij}A_{ij}+\cdots+a_{in}A_{in}.$$

各代数余子式 $\displaystyle A_{i1},A_{i2},\ldots,A_{in}$ 都不含第 $\displaystyle i$ 行的元素，因此把 $\displaystyle a_{ij}$ 改为 $\displaystyle a_{ij}+1$ 后，这些代数余子式均不改变。

设改变后的行列式为 $\displaystyle D'$，则

$$\displaystyle \begin{aligned} D' &=a_{i1}A_{i1}+\cdots+(a_{ij}+1)A_{ij}+\cdots+a_{in}A_{in}\\ &=D+A_{ij}. \end{aligned}$$

所以行列式值的增量为

$$\displaystyle D'-D=A_{ij}.$$

命题得证。

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2. 若行列式的第 $\displaystyle j$ 列的每个元素都加 $\displaystyle 1$，则行列式的值增加

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}A_{ij}.$$

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答案： 行列式值增加 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}A_{ij}$。

解析： 设原行列式的各列依次为

$$\displaystyle C_1,C_2,\ldots,C_j,\ldots,C_n,$$

并记

$$\displaystyle e=(1,1,\ldots,1)^T.$$

第 $\displaystyle j$ 列每个元素都加 $\displaystyle 1$，相当于把第 $\displaystyle j$ 列变为 $\displaystyle C_j+e$。由行列式对一列的线性性质，改变后的行列式为

$$\displaystyle \begin{aligned} D' &=|C_1,\ldots,C_j+e,\ldots,C_n|\\ &=|C_1,\ldots,C_j,\ldots,C_n| +|C_1,\ldots,e,\ldots,C_n|\\ &=D+|C_1,\ldots,e,\ldots,C_n|. \end{aligned}$$

将第二个行列式按第 $\displaystyle j$ 列展开。由于该列所有元素均为 $\displaystyle 1$，并且对应的代数余子式与原行列式的 $\displaystyle A_{ij}$ 相同，故

$$\displaystyle |C_1,\ldots,e,\ldots,C_n| =\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.$$

因此

$$\displaystyle D'-D=\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.$$

命题得证。

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3. 若行列式的每个元素都加 $\displaystyle 1$，则行列式值的增量为所有代数余子式之和。

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答案： 行列式值的增量为

$$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.$$

解析： 设原行列式为

$$\displaystyle D=|C_1,C_2,\ldots,C_n|,$$

其中 $\displaystyle C_j$ 为第 $\displaystyle j$ 列，并记

$$\displaystyle e=(1,1,\ldots,1)^T.$$

将每个元素都加 $\displaystyle 1$，相当于将每一列 $\displaystyle C_j$ 都替换为 $\displaystyle C_j+e$。于是新行列式为

$$\displaystyle D'=|C_1+e,C_2+e,\ldots,C_n+e|.$$

利用行列式对各列的多重线性展开。展开式中：

• 不选择任何 $\displaystyle e$ 的项为原行列式 $\displaystyle D$；
• 恰有一列选择 $\displaystyle e$ 的项共有 $\displaystyle n$ 项；
• 选择两个或两个以上 $\displaystyle e$ 的项，因至少有两列相同，行列式均为零。

因此

$$\displaystyle D'=D+\sum_{j=1}^{n}|C_1,\ldots,C_{j-1},e,C_{j+1},\ldots,C_n|.$$

对第 $\displaystyle j$ 个附加行列式按第 $\displaystyle j$ 列展开，有

$$\displaystyle |C_1,\ldots,e,\ldots,C_n| =\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.$$

所以

$$\displaystyle D'-D =\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A_{ij},$$

即行列式值的增量等于原行列式所有代数余子式之和。命题得证。