第五章 大数定律和中心极限定理

选择题

1. 设随机变量 $X$ 的方差存在，并且满足不等式

$$P\{|X-EX|\ge 3\}\le \frac{2}{9},$$

则一定有

A. $DX=2$；    B. $P\{|X-EX|<3\}<\frac{7}{9}$；    C. $DX\ne 2$；    D. $P\{|X-EX|<3\}\ge \frac{7}{9}$。

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答案： D

解析： 由对立事件关系，

$$P\{|X-EX|<3\}=1-P\{|X-EX|\ge 3\}.$$

题设给出

$$P\{|X-EX|\ge 3\}\le \frac{2}{9},$$

因此

$$P\{|X-EX|<3\}\ge 1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}.$$

故（D）一定成立。

切比雪夫不等式只能给出

$$P\{|X-EX|\ge 3\}\le \frac{DX}{9},$$

但由事件概率不超过 $\frac{2}{9}$ 不能反推出 $DX=2$ 或 $DX\ne 2$，所以（A）、（C）均不一定成立；（B）与上面的结论相反。

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2. 设随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立，则根据辛钦大数定律，当 $n\to \infty$ 时

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

依概率收敛于其数学期望，只要 $\{X_n,n\ge 1\}$

A. 有相同的期望；    B. 有相同的方差；    C. 有相同的分布；    D. 服从同参数 $p$ 的0-1分布。

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答案： C

解析： 辛钦大数定律的常用表述为：若随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots$ 相互独立同分布，且数学期望

$$E{X}_i=\mu$$

存在，则

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu .$$

因此，在题目已说明数学期望存在的前提下，只需再要求这些随机变量同分布，即选择（C）。

（A）仅有相同期望，不能保证样本均值满足辛钦大数定律；（B）仅有相同方差也不够；（D）确实是辛钦大数定律的一个特殊情形，但它比（C）更强，不是该定律的一般条件。

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3. 设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立，记

$$Y_n=X_{2n}-X_{2n-1}(n\ge 1),$$

根据大数定律，当 $n\to \infty$ 时

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i$$

依概率收敛到零，只要 $\{X_n,n\ge 1\}$

A. 数学期望存在；    B. 有相同的数学期望与方差；

C. 服从同一离散型分布；    D. 服从同一连续型分布。

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答案： B

解析： 由于 $X_1,X_2,\cdots$ 相互独立，而各个 $Y_i$ 分别由互不重叠的随机变量对 $(X_{2i-1},X_{2i})$ 构成，所以 $Y_1,Y_2,\cdots$ 也相互独立。

若所有 $X_n$ 有相同的数学期望 $\mu$ 和相同的方差 ${\sigma }^2$，则

$$E{Y}_i=E{X}_{2i}-E{X}_{2i-1}=\mu -\mu =0,$$

并且

$$D{Y}_i=D{X}_{2i}+D{X}_{2i-1}=2{\sigma }^2.$$

于是

$$E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)=0,$$

且

$$D\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D{Y}_i=\frac{2{\sigma }^2}{n}\to 0.$$

由切比雪夫不等式，任取 $\epsilon >0$，

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{2{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}\to 0.$$

因此

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\stackrel{P}{\to }0.$$

故选（B）。

（A）不能保证各 $Y_i$ 的期望为零；（C）、（D）仅说明分布类型相同，未明确保证所需期望、方差存在。

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4. 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立且都服从参数为 $\lambda （\lambda >0）$ 的泊松分布，则当 $n\to \infty$ 时以 $\Phi (x)$ 为极限的是

A.

$$P\left\{\frac{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\lambda }{\sqrt{n}}\le x\right\};$$

B.

$$P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n}}\le x\right\};$$

C.

$$P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\};$$

D.

$$P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n}\lambda }\le x\right\}。$$

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答案： C

解析： 因为

$$X_i\sim P(\lambda ),$$

所以

$$E{X}_i=\lambda ,D{X}_i=\lambda .$$

根据独立同分布随机变量的中心极限定理，

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-nE{X}_i}{\sqrt{nD{X}_i}}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

因此，对任意实数 $x$，

$$P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\le x\right\}\to \Phi (x).$$

故选（C）。其余选项的标准化分母均不正确。

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5. 设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 $D{X}_i=1$，$i=1,\cdots ,n$，则对任意 $\epsilon >0$，根据切比雪夫不等式直接可得

A.

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-n\right|<\epsilon \right\}\ge 1-\frac{1}{{\epsilon }^2};$$

B.

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-n\right|<\epsilon \right\}\ge 1-\frac{1}{n{\epsilon }^2};$$

C.

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right|<\epsilon \right\}\ge 1-\frac{1}{n{\epsilon }^2};$$

D.

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right|<\epsilon \right\}\ge 1-\frac{1}{{\epsilon }^2}。$$

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答案： C

解析： 密度函数为偶函数，因此随机变量关于原点对称，从而

$$E{X}_i=0.$$

令

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

由独立性及 $D{X}_i=1$，有

$$E\overline{X}=0,$$

以及

$$D\overline{X}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D{X}_i=\frac{1}{n}.$$

由切比雪夫不等式，

$$P\{|\overline{X}-E\overline{X}|\ge \epsilon \}\le \frac{D\overline{X}}{{\epsilon }^2}=\frac{1}{n{\epsilon }^2}.$$

因此

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right|<\epsilon \right\}\ge 1-\frac{1}{n{\epsilon }^2}.$$

故选（C）。

填空题

1. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且

$$X\sim B(5,0.8),Y\sim N(1,1),$$

则

$$P\{0<X+Y<10\}\ge \underline{}。$$

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答案： $\frac{116}{125}$

解析： 令

$$Z=X+Y.$$

由

$$X\sim B(5,0.8)$$

可得

$$EX=5\times 0.8=4,DX=5\times 0.8\times 0.2=\mathrm{0.8.}$$

又因为

$$Y\sim N(1,1),$$

所以

$$EY=1,DY=1.$$

由于 $X,Y$ 相互独立，故

$$EZ=EX+EY=5,$$$$DZ=DX+DY=1.8=\frac{9}{5}.$$

注意到

$$0<Z<10⟺|Z-5|<5.$$

由切比雪夫不等式，

$$P\{|Z-5|<5\}\ge 1-\frac{DZ}{5^2}=1-\frac{\frac{9}{5}}{25}=1-\frac{9}{125}=\frac{116}{125}.$$

因此所求下界为

$$\frac{116}{125}.$$

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2. 设随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立，

$$E{X}_i={\mu }_i,D{X}_i=2,i=1,2,\cdots ,$$

则当 $n\to \infty$ 时，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)$$

依概率收敛于 $\underline{}$。

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答案： $0$

解析： 令

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i).$$

则

$$E{Y}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(E{X}_i-{\mu }_i)=0.$$

由各随机变量相互独立，

$$D{Y}_n=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D{X}_i=\frac{1}{n^2}\cdot 2n=\frac{2}{n}.$$

任取 $\epsilon >0$，由切比雪夫不等式，

$$P\{|Y_n|\ge \epsilon \}\le \frac{D{Y}_n}{{\epsilon }^2}=\frac{2}{n{\epsilon }^2}\to 0.$$

因此

$$Y_n\stackrel{P}{\to }0,$$

即所求依概率极限为 $0$。

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3. 随机从数集 $\{1,2,3,4,5\}$ 中有放回地取出 $n$ 个数 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$，则当 $n\to \infty$ 时

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

依概率收敛于 $\underline{}$；

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

依概率收敛于 $\underline{}$。

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答案： $3$；$11$

解析： 因为是有放回抽取，所以 $X_1,X_2,\cdots$ 相互独立同分布，并且

$$P\{X_i=k\}=\frac{1}{5},k=1,2,3,4,5.$$

于是

$$E{X}_i=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3.$$

由辛钦大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }E{X}_i=3.$$

再令

$$Y_i=X_i^2.$$

则 $Y_1,Y_2,\cdots$ 仍相互独立同分布，且

$$E{Y}_i=E{X}_i^2=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{5}=\frac{55}{5}=11.$$

再次应用辛钦大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\stackrel{P}{\to }11.$$

因此两空依次为 $3$ 和 $11$。

计算题与应用题

1. 假设随机变量 $X_1,\cdots ,X_n$ 相互独立，服从同参数 $\lambda$ 的泊松分布。记

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i+n,$$

当 $n$ 充分大时，求 $S_n$ 的近似分布。

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答案：

$$S_n\text{近似服从}N(n(\lambda +1),n\lambda ).$$

解析： 因为

$$X_i\sim P(\lambda ),$$

所以

$$E{X}_i=\lambda ,D{X}_i=\lambda .$$

令

$$T_n=\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

由泊松分布的可加性，实际上有

$$T_n\sim P(n\lambda ),$$

从而

$$E{T}_n=n\lambda ,D{T}_n=n\lambda .$$

当 $n$ 充分大时，由中心极限定理，

$$\frac{T_n-n\lambda }{\sqrt{n\lambda }}\stackrel{d}{\to }N(0,1),$$

故

$$T_n\approx N(n\lambda ,n\lambda ).$$

又因为

$$S_n=T_n+n,$$

加上常数只改变数学期望而不改变方差，因此

$$E{S}_n=n\lambda +n=n(\lambda +1),D{S}_n=n\lambda .$$

所以

$$S_n\approx N(n(\lambda +1),n\lambda ).$$

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2. 假设排球运动员的平均身高（单位：厘米）为 $\mu$，标准差为4。求100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在 $(-1,1)$ 内的概率。

查看答案与解析

答案：

$$P\{|\overline{X}-\mu |<1\}\approx 2\Phi (2.5)-1\approx \mathrm{0.9876.}$$

解析： 设抽取的100名排球运动员的身高为

$$X_1,X_2,\cdots ,X_{100},$$

其总体均值与标准差分别为

$$E{X}_i=\mu ,\sqrt{D{X}_i}=4.$$

样本均值为

$$\overline{X}=\frac{1}{100}\sum _{i=1}^{100}{X}_i.$$

由中心极限定理，$\overline{X}$ 近似服从正态分布

$$\overline{X}\approx N\left(\mu ,\frac{4^2}{100}\right)=N(\mu ,0.16).$$

因此

$$\frac{\overline{X}-\mu }{4/\sqrt{100}}=\frac{\overline{X}-\mu }{0.4}\approx N(0,1).$$

于是

$$\begin{array}{rl}P\{|\overline{X}-\mu |<1\}& =P\left\{\left|\frac{\overline{X}-\mu }{0.4}\right|<\frac{1}{0.4}\right\}\\ & \approx P\{|Z|<2.5\}\\ & =\Phi (2.5)-\Phi (-2.5)\\ & =2\Phi (2.5)-1.\end{array}$$

查标准正态分布表，

$$\Phi (2.5)\approx 0.9938,$$

故

$$P\{|\overline{X}-\mu |<1\}\approx 2\times 0.9938-1=\mathrm{0.9876.}$$

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3. 一大袋麦种的发芽率为 $80\%$，从中任意取出500粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 $2\%$ 的概率。

查看答案与解析

答案：

$$P\{|\hat{p}-0.8|\le 0.02\}\approx 2\Phi (1.12)-1\approx \mathrm{0.7372.}$$

解析： 设500粒麦种中发芽的粒数为 $X$，则

$$X\sim B(500,0.8).$$

样本发芽率为

$$\hat{p}=\frac{X}{500}.$$

由二项分布的数学期望与方差，

$$E\hat{p}=0.8,$$$$D\hat{p}=\frac{0.8\times 0.2}{500}=\frac{0.16}{500}.$$

当样本容量较大时，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，

$$\frac{\hat{p}-0.8}{\sqrt{0.8\times 0.2/500}}\approx N(0,1).$$

因此

$$\begin{array}{rl}P\{|\hat{p}-0.8|\le 0.02\}& \approx P\left\{|Z|\le \frac{0.02}{\sqrt{0.8\times 0.2/500}}\right\}\\ & =P\{|Z|\le 1.118\}\\ & \approx P\{|Z|\le 1.12\}\\ & =2\Phi (1.12)-1.\end{array}$$

查表得

$$\Phi (1.12)\approx 0.8686,$$

所以

$$P\{|\hat{p}-0.8|\le 0.02\}\approx 2\times 0.8686-1=\mathrm{0.7372.}$$

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4. 有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的。规定选择正确得1分，选择错误得0分。假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选择，并且没有不选的情况，计算他能够超过40分的概率。

查看答案与解析

答案：

$$P\{X>40\}\approx 1-\Phi (3.46)\approx 2.7\times 10^{-4}.$$

解析： 设答对的题数为 $X$。每道题随机猜对的概率为

$$p=\frac{1}{4},$$

且各题的作答可视为相互独立，因此

$$X\sim B\left(100,\frac{1}{4}\right).$$

其数学期望和方差分别为

$$EX=np=100\times \frac{1}{4}=25,$$$$DX=np(1-p)=100\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{75}{4}.$$

故标准差为

$$\sqrt{DX}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{4.330.}$$

由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，

$$\frac{X-25}{\sqrt{75/4}}\approx N(0,1).$$

超过40分即 $X>40$，于是

$$\begin{array}{rl}P\{X>40\}& \approx P\left\{Z>\frac{40-25}{\sqrt{75/4}}\right\}\\ & =P\{Z>2\sqrt{3}\}\\ & \approx P\{Z>3.46\}\\ & =1-\Phi (3.46).\end{array}$$

由标准正态分布表或数值计算，

$$1-\Phi (3.46)\approx 2.7\times 10^{-4}.$$

因此，无知者超过40分的概率极小，约为

$$\mathrm{0.00027.}$$

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5. 设某种商品的合格率为 $90\%$，某单位要想给100名职工每人一件这种商品。试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 $97.5\%$ 的概率保证每人都可以得到一件合格品？

查看答案与解析

答案： 至少购买 $119$ 件。

解析： 设购买 $n$ 件商品，其中合格品的件数为 $X$，则

$$X\sim B(n,0.9).$$

要保证100名职工每人得到一件合格品，需要

$$X\ge 100.$$

由二项分布的数学期望和方差，

$$EX=0.9n,DX=0.9n\times 0.1=0.09n.$$

当 $n$ 较大时，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，

$$\frac{X-0.9n}{0.3\sqrt{n}}\approx N(0,1).$$

所以

$$\begin{array}{rl}P\{X\ge 100\}& \approx P\left\{Z\ge \frac{100-0.9n}{0.3\sqrt{n}}\right\}.\end{array}$$

要求该概率不小于 $0.975$。由于

$$P\{Z\ge -1.96\}=\Phi (1.96)\approx 0.975,$$

故只需满足

$$\frac{100-0.9n}{0.3\sqrt{n}}\le -\mathrm{1.96.}$$

即

$$0.9n-100\ge 0.588\sqrt{n}.$$

令

$$t=\sqrt{n}>0,$$

则

$$0.9t^2-0.588t-100\ge 0.$$

其正根为

$$t_0=\frac{0.588+\sqrt{0.588^2+4\times 0.9\times 100}}{1.8}\approx \mathrm{10.873.}$$

因此

$$n=t^2\ge t_0^2\approx \mathrm{118.21.}$$

由于 $n$ 必须为整数，故至少应取

$$n=119.$$

所以该单位至少购买 $119$ 件商品。