第四章 随机变量的数字特征

选择题

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设二维随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 满足 $\displaystyle E(XY)=EXEY$，则 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$

A. 相关；

B. 不相关；

C. 独立；

D. 不独立。

随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的协方差为

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-EX\,EY.$$

由题设

$$\displaystyle E(XY)=EX\,EY,$$

可得

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=0.$$

因此，$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 不相关，故选 B。

需要注意：独立一定推出不相关，但不相关一般不能推出独立，所以 C、D 均不能由题设确定；A 与协方差为零矛盾。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

将一枚硬币重复掷 $\displaystyle n$ 次，以 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的相关系数等于

A. $\displaystyle -1$；

B. $\displaystyle 0$；

C. $\displaystyle \frac12$；

D. $\displaystyle 1$。

每次投掷不是正面就是反面，因此

$$\displaystyle X+Y=n,$$

即

$$\displaystyle Y=n-X.$$

于是

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y) =\operatorname{Cov}(X,n-X) =-DX.$$

同时

$$\displaystyle DY=D(n-X)=DX.$$

所以相关系数为

$$\displaystyle \rho_{XY} =\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\,DY}} =\dfrac{-DX}{DX} =-1.$$

这说明 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 存在完全负线性相关关系，故选 A。B、C、D 均与关系 $\displaystyle Y=n-X$ 不符。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

对于任意二维随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$，与命题“$\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 不相关”不等价的是

A. $\displaystyle EXY=EXEY$；

B. $\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=0$；

C. $\displaystyle DXY=DXDY$；

D. $\displaystyle D(X+Y)=DX+DY$。

“$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 不相关”的定义是

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=0.$$

又因为

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-EX\,EY,$$

故

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=0 \iff E(XY)=EX\,EY.$$

因此 A、B 与“不相关”等价。

另一方面，

$$\displaystyle D(X+Y)=DX+DY+2\operatorname{Cov}(X,Y),$$

所以

$$\displaystyle D(X+Y)=DX+DY \iff \operatorname{Cov}(X,Y)=0.$$

故 D 也与“不相关”等价。

而 $\displaystyle D(XY)=DX\,DY$ 涉及随机变量乘积 $\displaystyle XY$ 的方差及更高阶矩，不能刻画 $\displaystyle X,Y$ 的协方差是否为零。比如令 $\displaystyle X\sim N(0,1)$，$\displaystyle Y=X^2-1$，则

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=E(X^3-X)=0,$$

但

$$\displaystyle D(XY)=E\left[X^2(X^2-1)^2\right]=10,$$

而

$$\displaystyle DX\,DY=1\times2=2.$$

因此 C 与“不相关”不等价，故选 C。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

假设随机变量 $\displaystyle X$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上均匀分布，则 $\displaystyle U=\arcsin X$ 和 $\displaystyle V=\arccos X$ 的相关系数等于

A. $\displaystyle -1$；

B. $\displaystyle 0$；

C. $\displaystyle 0.5$；

D. $\displaystyle 1$。

对任意 $\displaystyle x\in[-1,1]$，恒有

$$\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}.$$

因此

$$\displaystyle V=\dfrac{\pi}{2}-U.$$

这表明 $\displaystyle U$ 与 $\displaystyle V$ 之间存在斜率为 $\displaystyle -1$ 的严格线性关系。由于 $\displaystyle X$ 不是常量，$\displaystyle U$ 的方差大于零，于是

$$\displaystyle \rho_{UV}=-1.$$

故选 A。D 对应完全正相关，B、C 则不符合二者的确定性负线性关系。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n\,(n>1)$ 独立同分布，且方差 $\displaystyle \sigma^2>0$，记 $\displaystyle \bar X=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i$，则 $\displaystyle X_1-\bar X$ 与 $\displaystyle \bar X$ 的相关系数为

A. $\displaystyle -1$；

B. $\displaystyle 0$；

C. $\displaystyle \frac12$；

D. $\displaystyle 1$。

首先，

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X_1,\bar X) =\operatorname{Cov}\left(X_1,\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i\right).$$

由于 $\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_n$ 相互独立，故

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X_1,X_i)=0\quad(i\ne1),$$

从而

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X_1,\bar X) =\frac1nDX_1 =\dfrac{\sigma^2}{n}.$$

又有

$$\displaystyle D\bar X=\dfrac{\sigma^2}{n}.$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X_1-\bar X,\bar X) &=\operatorname{Cov}(X_1,\bar X)-D\bar X\\ &=\dfrac{\sigma^2}{n}-\dfrac{\sigma^2}{n}\\ &=0. \end{aligned}$$

并且

$$\displaystyle D(X_1-\bar X) =\sigma^2-\dfrac{\sigma^2}{n} =\sigma^2\left(1-\frac1n\right)>0,$$

故相关系数存在且为

$$\displaystyle \rho_{X_1-\bar X,\bar X}=0.$$

所以选 B。需要注意，相关系数为零只说明二者不相关，并不能在一般分布下进一步断定二者独立。

填空题

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才（立即）停止射击。如果第 $\displaystyle i$ 名射手每次命中的概率为 $\displaystyle p_i\,(0<p_i<1;i=1,2)$，则两名射手均停止射击时脱靶（未命中）总数的数学期望为 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

设第 $\displaystyle i$ 名射手在首次命中前的脱靶次数为 $\displaystyle X_i$。由于每次射击相互独立，且每次命中的概率为 $\displaystyle p_i$，故 $\displaystyle X_i$ 服从“首次成功前失败次数”的几何分布：

$$\displaystyle P\{X_i=k\}=(1-p_i)^k p_i,\qquad k=0,1,2,\ldots$$

其数学期望为

$$\displaystyle EX_i=\dfrac{1-p_i}{p_i}.$$

两名射手均停止射击时的脱靶总数为

$$\displaystyle X=X_1+X_2.$$

由数学期望的线性性质，不论是否利用二者独立性，均有

$$\displaystyle EX=EX_1+EX_2 =\dfrac{1-p_1}{p_1}+\dfrac{1-p_2}{p_2}.$$

因此应填

$$\displaystyle \boxed{\dfrac{1-p_1}{p_1}+\dfrac{1-p_2}{p_2}}.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

将长度为 $\displaystyle L$ 的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

设折断点到棒的一端的距离为 $\displaystyle X$。随机折断意味着

$$\displaystyle X\sim U(0,L).$$

两段长度分别为 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle L-X$，故较短段长度为

$$\displaystyle Y=\min\{X,L-X\}.$$

当 $\displaystyle 0<X\le \dfrac L2$ 时，$\displaystyle Y=X$；当 $\displaystyle \dfrac L2<X<L$ 时，$\displaystyle Y=L-X$。因此

$$\displaystyle \begin{aligned} EY &=\frac1L\left(\int_0^{L/2}x\,dx+ \int_{L/2}^{L}(L-x)\,dx\right)\\ &=\frac2L\int_0^{L/2}x\,dx\\ &=\frac2L\cdot\frac12\left(\dfrac L2\right)^2\\ &=\dfrac L4. \end{aligned}$$

所以较短段的数学期望为

$$\displaystyle \boxed{\dfrac L4}.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的相关系数为 $\displaystyle 0.9$，若 $\displaystyle Z=2X-1$，则 $\displaystyle Y$ 与 $\displaystyle Z$ 的相关系数为 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

由

$$\displaystyle Z=2X-1$$

可得

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(Y,Z) =\operatorname{Cov}(Y,2X-1) =2\operatorname{Cov}(Y,X).$$

同时

$$\displaystyle DZ=D(2X-1)=4DX,$$

故

$$\displaystyle \sqrt{DY\,DZ}=2\sqrt{DX\,DY}.$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} \rho_{YZ} &=\dfrac{\operatorname{Cov}(Y,Z)}{\sqrt{DY\,DZ}}\\ &=\dfrac{2\operatorname{Cov}(X,Y)}{2\sqrt{DX\,DY}}\\ &=\rho_{XY}\\ &=0.9. \end{aligned}$$

正比例线性变换不会改变相关系数；若比例系数为负，则相关系数会变号。本题比例系数为 $\displaystyle 2>0$，所以应填

$$\displaystyle \boxed{0.9}.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的相关系数为 $\displaystyle 0.5$，$\displaystyle EX=EY=0$，$\displaystyle EX^2=EY^2=2$，则 $\displaystyle E(X+Y)^2=\underline{\qquad}$。

因为

$$\displaystyle EX=EY=0,$$

所以

$$\displaystyle DX=EX^2-(EX)^2=2, \qquad DY=EY^2-(EY)^2=2.$$

由相关系数定义

$$\displaystyle \rho_{XY} =\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\,DY}} =0.5,$$

可得

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y) =0.5\sqrt{2\times2}=1.$$

又由于

$$\displaystyle E(X+Y)=EX+EY=0,$$

故

$$\displaystyle E(X+Y)^2=D(X+Y).$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} E(X+Y)^2 &=DX+DY+2\operatorname{Cov}(X,Y)\\ &=2+2+2\times1\\ &=6. \end{aligned}$$

因此应填

$$\displaystyle \boxed{6}.$$

计算题与应用题

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设某网络服务器首次失效时间服从 $\displaystyle E(\lambda)$，现随机购得4台，求下列事件的概率：

（Ⅰ）事件 $\displaystyle A$：至少有一台的寿命（首次失效时间）等于此类服务器期望寿命；

（Ⅱ）事件 $\displaystyle B$：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命。

设每台服务器的寿命为 $\displaystyle T$，则

$$\displaystyle T\sim E(\lambda),$$

其概率密度为

$$\displaystyle f_T(t)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t},&t>0,\\ 0,&t\le 0. \end{cases}$$

指数分布的数学期望为

$$\displaystyle ET=\frac1\lambda.$$

设4台服务器的寿命相互独立。

（Ⅰ）由于指数分布是连续型分布，对任意确定的常数 $\displaystyle t_0$，均有

$$\displaystyle P\{T=t_0\}=0.$$

因此每台服务器寿命恰好等于 $\displaystyle 1/\lambda$ 的概率均为0，从而至少有一台寿命等于期望寿命的概率也是0，即

$$\displaystyle \boxed{P(A)=0}.$$

需要注意，连续型随机变量在某个单点处取值的概率为0，并不表示该点不可能作为取值出现，而是表示其概率测度为0。

（Ⅱ）一台服务器寿命小于期望寿命的概率为

$$\displaystyle \begin{aligned} p &=P\left\{T<\frac1\lambda\right\}\\ &=\int_0^{1/\lambda}\lambda e^{-\lambda t}\,dt\\ &=1-e^{-1}. \end{aligned}$$

相应地，寿命不小于期望寿命的概率为

$$\displaystyle 1-p=e^{-1}.$$

4台服务器中有且仅有1台寿命小于期望寿命，服从二项计数模型，因此

$$\displaystyle \begin{aligned} P(B) &=\binom41p(1-p)^3\\ &=4(1-e^{-1})(e^{-1})^3\\ &=4(1-e^{-1})e^{-3}\\ &=4(e^{-3}-e^{-4}). \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \boxed{P(B)=4(1-e^{-1})e^{-3}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从 $\displaystyle (0,1)$ 上的均匀分布，求下列 $\displaystyle Y_i\,(i=1,2,3,4)$ 的数学期望和方差：

（Ⅰ）$\displaystyle Y_1=e^X$；（Ⅱ）$\displaystyle Y_2=-2\ln X$；（Ⅲ）$\displaystyle Y_3=\frac1X$；（Ⅳ）$\displaystyle Y_4=X^2$。

由于

$$\displaystyle X\sim U(0,1),$$

所以其概率密度为

$$\displaystyle f_X(x)= \begin{cases} 1,&0<x<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

（Ⅰ）对 $\displaystyle Y_1=e^X$，有

$$\displaystyle EY_1=E(e^X)=\int_0^1e^x\,dx=e-1.$$

又

$$\displaystyle E(Y_1^2)=E(e^{2X})=\int_0^1e^{2x}\,dx=\dfrac{e^2-1}{2}.$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} DY_1 &=E(Y_1^2)-(EY_1)^2\\ &=\dfrac{e^2-1}{2}-(e-1)^2\\ &=\dfrac{-e^2+4e-3}{2}\\ &=\dfrac{(e-1)(3-e)}2. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \boxed{EY_1=e-1, \qquad DY_1=\dfrac{(e-1)(3-e)}2}.$$

（Ⅱ）对 $\displaystyle Y_2=-2\ln X$，先计算

$$\displaystyle E(-\ln X)=\int_0^1(-\ln x)\,dx=1,$$

以及

$$\displaystyle E[(-\ln X)^2]=\int_0^1(\ln x)^2\,dx=2.$$

因此

$$\displaystyle EY_2=2E(-\ln X)=2,$$

且

$$\displaystyle \begin{aligned} DY_2 &=4D(-\ln X)\\ &=4\left(E[(-\ln X)^2]-[E(-\ln X)]^2\right)\\ &=4(2-1)\\ &=4. \end{aligned}$$

也可注意到 $\displaystyle -\ln X\sim E(1)$，从而直接得到上述结论。故

$$\displaystyle \boxed{EY_2=2, \qquad DY_2=4}.$$

（Ⅲ）对 $\displaystyle Y_3=1/X$，有

$$\displaystyle EY_3=\int_0^1\frac1x\,dx=+\infty.$$

该反常积分发散，所以 $\displaystyle Y_3$ 不存在有限的数学期望。方差的定义要求数学期望存在且二阶矩有限，因此 $\displaystyle DY_3$ 也不存在。

故

$$\displaystyle \boxed{EY_3\text{ 发散，}DY_3\text{ 不存在}}.$$

（Ⅳ）对 $\displaystyle Y_4=X^2$，有

$$\displaystyle EY_4=EX^2=\int_0^1x^2\,dx=\frac13.$$

又

$$\displaystyle E(Y_4^2)=EX^4=\int_0^1x^4\,dx=\frac15.$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} DY_4 &=E(Y_4^2)-(EY_4)^2\\ &=\frac15-\frac19\\ &=\frac4{45}. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \boxed{EY_4=\frac13, \qquad DY_4=\frac4{45}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

$$\displaystyle f_X(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x>0,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases} \qquad f_Y(y)=\begin{cases} \mu e^{-\mu y},&y>0,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \lambda>0,\mu>0$ 是常数，引入随机变量

$$\displaystyle Z=\begin{cases} 1,&2X\le Y,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

求 $\displaystyle E(Z)$ 和 $\displaystyle D(Z)$。

随机变量 $\displaystyle Z$ 是事件 $\displaystyle \{2X\le Y\}$ 的示性变量，即

$$\displaystyle Z=I_{\{2X\le Y\}}.$$

因此 $\displaystyle Z$ 服从参数

$$\displaystyle p=P\{2X\le Y\}$$

的0-1分布，并且

$$\displaystyle EZ=p, \qquad DZ=p(1-p).$$

下面计算 $\displaystyle p$。利用 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，对于给定的 $\displaystyle X=x$，有

$$\displaystyle P\{Y\ge2x\}=\int_{2x}^{+\infty}\mu e^{-\mu y}\,dy=e^{-2\mu x}.$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} p &=\int_0^{+\infty}P\{Y\ge2x\}f_X(x)\,dx\\ &=\int_0^{+\infty}e^{-2\mu x}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\ &=\lambda\int_0^{+\infty}e^{-(\lambda+2\mu)x}\,dx\\ &=\dfrac{\lambda}{\lambda+2\mu}. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{EZ=\dfrac{\lambda}{\lambda+2\mu}}.$$

又

$$\displaystyle 1-p=\dfrac{2\mu}{\lambda+2\mu},$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} DZ &=p(1-p)\\ &=\dfrac{\lambda}{\lambda+2\mu} \cdot\dfrac{2\mu}{\lambda+2\mu}\\ &=\dfrac{2\lambda\mu}{(\lambda+2\mu)^2}. \end{aligned}$$

所以

$$\displaystyle \boxed{DZ=\dfrac{2\lambda\mu}{(\lambda+2\mu)^2}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设随机变量 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，已知 $\displaystyle X$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上服从均匀分布，$\displaystyle Y$ 服从参数为1的指数分布。求（Ⅰ）随机变量 $\displaystyle Z=2X+Y$ 的密度函数；（Ⅱ）$\displaystyle \operatorname{Cov}(Y,Z)$，并判断 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Z$ 的独立性。

（Ⅰ）令

$$\displaystyle U=2X.$$

因为 $\displaystyle X\sim U(0,1)$，所以

$$\displaystyle U\sim U(0,2),$$

其密度为

$$\displaystyle f_U(u)= \begin{cases} \dfrac12,&0<u<2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

又因为 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 独立，所以 $\displaystyle U$ 与 $\displaystyle Y$ 也独立。由

$$\displaystyle Z=U+Y$$

可用卷积公式求密度：

$$\displaystyle f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_U(u)f_Y(z-u)\,du.$$

由于 $\displaystyle 0<u<2$，且指数密度要求 $\displaystyle z-u>0$，所以积分范围为

$$\displaystyle 0<u<\min\{2,z\}.$$

当 $\displaystyle z\le0$ 时，积分区间为空，故

$$\displaystyle f_Z(z)=0.$$

当 $\displaystyle 0<z<2$ 时，

$$\displaystyle \begin{aligned} f_Z(z) &=\frac12\int_0^ze^{-(z-u)}\,du\\ &=\frac12e^{-z}\int_0^ze^u\,du\\ &=\frac12e^{-z}(e^z-1)\\ &=\frac12(1-e^{-z}). \end{aligned}$$

当 $\displaystyle z\ge2$ 时，

$$\displaystyle \begin{aligned} f_Z(z) &=\frac12\int_0^2e^{-(z-u)}\,du\\ &=\frac12e^{-z}\int_0^2e^u\,du\\ &=\frac12(e^2-1)e^{-z}. \end{aligned}$$

综上，

$$\displaystyle \boxed{ f_Z(z)= \begin{cases} 0,&z\le0,\\[1mm] \dfrac12(1-e^{-z}),&0<z<2,\\[2mm] \dfrac12(e^2-1)e^{-z},&z\ge2. \end{cases}}$$

（Ⅱ）由协方差的线性性质，

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(Y,Z) &=\operatorname{Cov}(Y,2X+Y)\\ &=2\operatorname{Cov}(Y,X)+\operatorname{Cov}(Y,Y). \end{aligned}$$

因为 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，所以

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=0.$$

又因为 $\displaystyle Y\sim E(1)$，故

$$\displaystyle DY=1.$$

因此

$$\displaystyle \boxed{\operatorname{Cov}(Y,Z)=1}.$$

下面判断 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Z$ 是否独立。若二者独立，则必有协方差为0。但

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,Z) &=\operatorname{Cov}(X,2X+Y)\\ &=2DX+\operatorname{Cov}(X,Y). \end{aligned}$$

由于

$$\displaystyle DX=\frac1{12}, \qquad \operatorname{Cov}(X,Y)=0,$$

所以

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Z)=2\cdot\frac1{12}=\frac16\ne0.$$

因此 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Z$ 不相关的必要条件不成立，从而二者不可能独立。故

$$\displaystyle \boxed{X\text{ 与 }Z\text{ 不独立}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维随机变量 $\displaystyle (U,V)\sim N\left(2,2;4,1;\frac12\right)$，记 $\displaystyle X=U-bV,Y=V$。

（Ⅰ）问当常数 $\displaystyle b$ 为何值时，$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 独立？

（Ⅱ）求 $\displaystyle (X,Y)$ 的密度函数 $\displaystyle f(x,y)$。

由题意，二维正态随机变量 $\displaystyle (U,V)$ 的数字特征为

$$\displaystyle EU=2,\qquad EV=2,$$$$\displaystyle DU=4,\qquad DV=1,$$

且相关系数为

$$\displaystyle \rho_{UV}=\frac12.$$

因此

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(U,V) =\rho_{UV}\sqrt{DU}\sqrt{DV} =\frac12\cdot2\cdot1=1.$$

（Ⅰ）因为

$$\displaystyle X=U-bV,\qquad Y=V,$$

所以

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,Y) &=\operatorname{Cov}(U-bV,V)\\ &=\operatorname{Cov}(U,V)-bDV\\ &=1-b. \end{aligned}$$

又因为 $\displaystyle (X,Y)$ 是 $\displaystyle (U,V)$ 的线性变换，所以 $\displaystyle (X,Y)$ 仍服从二维正态分布。二维正态随机变量相互独立的充分必要条件是协方差为零，故

$$\displaystyle 1-b=0,$$

从而

$$\displaystyle \boxed{b=1}.$$

（Ⅱ）当 $\displaystyle b=1$ 时，

$$\displaystyle X=U-V,\qquad Y=V.$$

先计算均值：

$$\displaystyle EX=EU-EV=2-2=0,$$$$\displaystyle EY=EV=2.$$

再计算方差：

$$\displaystyle \begin{aligned} DX &=D(U-V)\\ &=DU+DV-2\operatorname{Cov}(U,V)\\ &=4+1-2=3, \end{aligned}$$

而

$$\displaystyle DY=DV=1.$$

由第（Ⅰ）问可知

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=0,$$

故 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 独立，并且

$$\displaystyle X\sim N(0,3),\qquad Y\sim N(2,1).$$

于是联合密度等于两个边缘密度之积：

$$\displaystyle \begin{aligned} f(x,y) &=f_X(x)f_Y(y)\\ &=\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-\frac{x^2}{6}} \cdot\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y-2)^2}{2}}\\ &=\frac1{2\pi\sqrt3} \exp\left[-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{(y-2)^2}{2}\right]. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{ f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi\sqrt3} \exp\left[-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{(y-2)^2}{2}\right], \qquad -\infty<x,y<+\infty.}$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 的联合密度函数为

$$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases} 8xy,&0<y<x,\ 0<x<1,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

试求：（Ⅰ）数学期望 $\displaystyle EX,EY$；（Ⅱ）方差 $\displaystyle DX,DY$；（Ⅲ）协方差 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)$，$\displaystyle D(5X-3Y)$。

随机变量的取值区域为

$$\displaystyle 0<x<1,\qquad 0<y<x.$$

先验证密度归一化：

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1\int_0^x8xy\,dy\,dx &=\int_0^1 8x\left[\dfrac{y^2}{2}\right]_0^x dx\\ &=\int_0^1 4x^3\,dx=1. \end{aligned}$$

（Ⅰ）计算数学期望。

$$\displaystyle \begin{aligned} EX &=\int_0^1\int_0^x x\cdot8xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 8x^2\left[\dfrac{y^2}{2}\right]_0^x dx\\ &=\int_0^1 4x^4\,dx\\ &=\frac45. \end{aligned}$$

同理，

$$\displaystyle \begin{aligned} EY &=\int_0^1\int_0^x y\cdot8xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 8x\left[\dfrac{y^3}{3}\right]_0^x dx\\ &=\frac83\int_0^1x^4\,dx\\ &=\frac8{15}. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{EX=\frac45,\qquad EY=\frac8{15}}.$$

（Ⅱ）先计算二阶原点矩。

$$\displaystyle \begin{aligned} EX^2 &=\int_0^1\int_0^x x^2\cdot8xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 8x^3\left[\dfrac{y^2}{2}\right]_0^x dx\\ &=4\int_0^1x^5\,dx\\ &=\frac23. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} DX &=EX^2-(EX)^2\\ &=\frac23-\left(\frac45\right)^2\\ &=\frac2{75}. \end{aligned}$$

再计算

$$\displaystyle \begin{aligned} EY^2 &=\int_0^1\int_0^x y^2\cdot8xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 8x\left[\dfrac{y^4}{4}\right]_0^x dx\\ &=2\int_0^1x^5\,dx\\ &=\frac13. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} DY &=EY^2-(EY)^2\\ &=\frac13-\left(\frac8{15}\right)^2\\ &=\dfrac{11}{225}. \end{aligned}$$

所以

$$\displaystyle \boxed{DX=\frac2{75},\qquad DY=\dfrac{11}{225}}.$$

（Ⅲ）先计算混合矩：

$$\displaystyle \begin{aligned} E(XY) &=\int_0^1\int_0^xxy\cdot8xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 8x^2\left[\dfrac{y^3}{3}\right]_0^x dx\\ &=\frac83\int_0^1x^5\,dx\\ &=\frac49. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,Y) &=E(XY)-EXEY\\ &=\frac49-\frac45\cdot\frac8{15}\\ &=\frac4{225}. \end{aligned}$$

利用线性组合方差公式，

$$\displaystyle D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY+2ab\operatorname{Cov}(X,Y),$$

得到

$$\displaystyle \begin{aligned} D(5X-3Y) &=25DX+9DY-30\operatorname{Cov}(X,Y)\\ &=25\cdot\frac2{75} +9\cdot\dfrac{11}{225} -30\cdot\frac4{225}\\ &=\dfrac{43}{75}. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac4{225}}, \qquad \boxed{D(5X-3Y)=\dfrac{43}{75}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,0\le y\le2\}$ 上服从均匀分布，令 $\displaystyle Z=\min(X,Y)$，求 $\displaystyle EZ$ 与 $\displaystyle DZ$。

区域 $\displaystyle D$ 的面积为

$$\displaystyle S_D=1\times2=2,$$

故 $\displaystyle (X,Y)$ 的联合密度为

$$\displaystyle f(x,y)=\frac12, \qquad 0\le x\le1,\ 0\le y\le2.$$

由于联合密度可分解为边缘密度的乘积，也可知 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，其中

$$\displaystyle X\sim U(0,1), \qquad Y\sim U(0,2).$$

由

$$\displaystyle Z=\min(X,Y),$$

可知 $\displaystyle 0\le Z\le1$。对于 $\displaystyle 0\le z\le1$，

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{Z>z\} &=P\{X>z,Y>z\}\\ &=P\{X>z\}P\{Y>z\}\\ &=(1-z)\dfrac{2-z}{2}. \end{aligned}$$

利用非负随机变量的尾积分公式

$$\displaystyle EZ=\int_0^{+\infty}P\{Z>z\}\,dz,$$

得到

$$\displaystyle \begin{aligned} EZ &=\int_0^1\dfrac{(1-z)(2-z)}2\,dz\\ &=\frac12\int_0^1(2-3z+z^2)\,dz\\ &=\frac12\left(2-\frac32+\frac13\right)\\ &=\frac5{12}. \end{aligned}$$

再利用

$$\displaystyle EZ^2=2\int_0^{+\infty}zP\{Z>z\}\,dz,$$

可得

$$\displaystyle \begin{aligned} EZ^2 &=2\int_0^1z\dfrac{(1-z)(2-z)}2\,dz\\ &=\int_0^1z(2-3z+z^2)\,dz\\ &=\int_0^1(2z-3z^2+z^3)\,dz\\ &=1-1+\frac14\\ &=\frac14. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} DZ &=EZ^2-(EZ)^2\\ &=\frac14-\left(\frac5{12}\right)^2\\ &=\dfrac{11}{144}. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \boxed{EZ=\frac5{12}}, \qquad \boxed{DZ=\dfrac{11}{144}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_{12}$ 是取自总体 $\displaystyle X$ 的一个简单随机样本，$\displaystyle EX=\mu,DX=\sigma$。记 $\displaystyle Y_1=X_1+\cdots+X_8$，$\displaystyle Y_2=X_5+\cdots+X_{12}$，求 $\displaystyle Y_1$ 与 $\displaystyle Y_2$ 的相关系数。

由于 $\displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_{12}$ 是简单随机样本，所以各随机变量相互独立且同分布。题中 $\displaystyle DX=\sigma$ 表示总体方差；无论将其记为 $\displaystyle \sigma$ 还是通常记作 $\displaystyle \sigma^2$，最终相关系数均相同。

有

$$\displaystyle Y_1=X_1+X_2+\cdots+X_8,$$$$\displaystyle Y_2=X_5+X_6+\cdots+X_{12}.$$

两个和式中共同包含的随机变量是

$$\displaystyle X_5,X_6,X_7,X_8,$$

共4个。由独立性，只有相同下标项之间的协方差不为零，因此

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(Y_1,Y_2) &=\operatorname{Cov} \left(\sum_{i=1}^{8}X_i, \sum_{j=5}^{12}X_j\right)\\ &=\sum_{i=5}^{8}DX_i\\ &=4\sigma. \end{aligned}$$

另一方面，

$$\displaystyle DY_1=\sum_{i=1}^{8}DX_i=8\sigma,$$$$\displaystyle DY_2=\sum_{i=5}^{12}DX_i=8\sigma.$$

故相关系数为

$$\displaystyle \begin{aligned} \rho_{Y_1Y_2} &=\dfrac{\operatorname{Cov}(Y_1,Y_2)} {\sqrt{DY_1}\sqrt{DY_2}}\\ &=\dfrac{4\sigma}{\sqrt{8\sigma}\sqrt{8\sigma}}\\ &=\frac12. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{\rho_{Y_1Y_2}=\frac12}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

写了 $\displaystyle n$ 封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 $\displaystyle Y$ 表示地址恰好写对的信的数目，求 $\displaystyle EY$ 及 $\displaystyle DY$。

设

$$\displaystyle I_i=\begin{cases} 1,&\text{第 }i\text{ 封信的地址恰好写对},\\ 0,&\text{第 }i\text{ 封信的地址没有写对}, \end{cases} \qquad i=1,2,\ldots,n.$$

则

$$\displaystyle Y=I_1+I_2+\cdots+I_n.$$

由于所有地址的排列等可能，第 $\displaystyle i$ 个地址写到正确的第 $\displaystyle i$ 个信封上的概率为

$$\displaystyle P(I_i=1)=\frac1n.$$

因此

$$\displaystyle EI_i=\frac1n,$$

从而

$$\displaystyle EY=\sum_{i=1}^{n}EI_i =n\cdot\frac1n=1.$$

下面计算方差。因为 $\displaystyle I_i$ 是参数为 $\displaystyle \frac1n$ 的伯努利随机变量，所以

$$\displaystyle DI_i=\frac1n\left(1-\frac1n\right).$$

对于 $\displaystyle i\ne j$，第 $\displaystyle i$、$\displaystyle j$ 两封信的地址同时写对的概率为

$$\displaystyle P(I_i=1,I_j=1) =\dfrac{(n-2)!}{n!} =\frac1{n(n-1)}.$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(I_i,I_j) &=E(I_iI_j)-EI_iEI_j\\ &=\frac1{n(n-1)}-\frac1{n^2}\\ &=\frac1{n^2(n-1)}. \end{aligned}$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} DY &=\sum_{i=1}^{n}DI_i +2\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{Cov}(I_i,I_j)\\ &=n\cdot\frac1n\left(1-\frac1n\right) +n(n-1)\cdot\frac1{n^2(n-1)}\\ &=1-\frac1n+\frac1n\\ &=1. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{EY=1}, \qquad \boxed{DY=1}.$$

当 $\displaystyle n=1$ 时，显然 $\displaystyle Y\equiv1$，此时 $\displaystyle EY=1,DY=0$。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 独立，并且都服从正态分布 $\displaystyle N(\mu,\sigma^2)$，求随机变量 $\displaystyle Z=\min(X,Y)$ 的数学期望。

利用恒等式

$$\displaystyle \min(X,Y)=\dfrac{X+Y-|X-Y|}{2},$$

可得

$$\displaystyle EZ=\dfrac{EX+EY-E|X-Y|}{2}.$$

因为

$$\displaystyle EX=EY=\mu,$$

且 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，所以

$$\displaystyle X-Y\sim N(0,2\sigma^2).$$

若 $\displaystyle W\sim N(0,\tau^2)$，则

$$\displaystyle E|W|=\tau\sqrt{\frac2\pi}.$$

本题中 $\displaystyle \tau=\sqrt2\sigma$，故

$$\displaystyle E|X-Y| =\sqrt2\sigma\sqrt{\frac2\pi} =\dfrac{2\sigma}{\sqrt\pi}.$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} EZ &=\dfrac{2\mu-\dfrac{2\sigma}{\sqrt\pi}}2\\ &=\mu-\dfrac{\sigma}{\sqrt\pi}. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \boxed{EZ=\mu-\dfrac{\sigma}{\sqrt\pi}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

将一颗骰子重复投掷 $\displaystyle n$ 次，随机变量 $\displaystyle X$ 表示出现点数小于3的次数，$\displaystyle Y$ 表示出现点数不小于3的次数。求 $\displaystyle 3X+Y$ 与 $\displaystyle X-3Y$ 的相关系数。

每次投掷的点数或者小于3，或者不小于3，因此

$$\displaystyle X+Y=n, \qquad Y=n-X.$$

于是

$$\displaystyle 3X+Y=3X+n-X=n+2X,$$

以及

$$\displaystyle X-3Y=X-3(n-X)=4X-3n.$$

记

$$\displaystyle U=3X+Y=n+2X, \qquad V=X-3Y=4X-3n.$$

由于 $\displaystyle n$ 为常数，且 $\displaystyle n>0$ 时 $\displaystyle X\sim B\left(n,\frac13\right)$，故 $\displaystyle DX>0$。由线性变换的协方差和方差公式，

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(U,V) =2\cdot4\,DX=8DX,$$$$\displaystyle DU=2^2DX=4DX, \qquad DV=4^2DX=16DX.$$

所以

$$\displaystyle \begin{aligned} \rho_{UV} &=\dfrac{\operatorname{Cov}(U,V)}{\sqrt{DU}\sqrt{DV}}\\ &=\dfrac{8DX}{\sqrt{4DX}\sqrt{16DX}}\\ &=1. \end{aligned}$$

从本质上看，$\displaystyle V$ 是 $\displaystyle U$ 的正线性函数：

$$\displaystyle V=2U-5n,$$

故二者完全正相关。因此

$$\displaystyle \boxed{\rho_{3X+Y,\,X-3Y}=1}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设随机变量 $\displaystyle U$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(2,\frac12\right)$，随机变量

$$\displaystyle X=\begin{cases} -1,&U\le0,\\ 1,&U>0, \end{cases} \qquad Y=\begin{cases} -1,&U<2,\\ 1,&U\ge2. \end{cases}$$

求随机变量 $\displaystyle X-Y$ 与 $\displaystyle X+Y$ 的方差和 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的协方差。

由于

$$\displaystyle U\sim B\left(2,\frac12\right),$$

故

$$\displaystyle P(U=0)=\frac14, \qquad P(U=1)=\frac12, \qquad P(U=2)=\frac14.$$

列出 $\displaystyle X,Y,X-Y,X+Y$ 的取值：

$$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c} U&P(U)&X&Y&X-Y&X+Y\\ \hline 0&\frac14&-1&-1&0&-2\\ 1&\frac12&1&-1&2&0\\ 2&\frac14&1&1&0&2 \end{array}$$

先求 $\displaystyle X-Y$ 的方差。由上表，

$$\displaystyle E(X-Y) =0\cdot\frac14+2\cdot\frac12+0\cdot\frac14=1,$$$$\displaystyle E(X-Y)^2 =0^2\cdot\frac14+2^2\cdot\frac12+0^2\cdot\frac14=2.$$

故

$$\displaystyle D(X-Y)=E(X-Y)^2-[E(X-Y)]^2=2-1=1.$$

再求 $\displaystyle X+Y$ 的方差：

$$\displaystyle E(X+Y) =-2\cdot\frac14+0\cdot\frac12+2\cdot\frac14=0,$$$$\displaystyle E(X+Y)^2 =(-2)^2\cdot\frac14+0^2\cdot\frac12+2^2\cdot\frac14=2.$$

因此

$$\displaystyle D(X+Y)=2-0^2=2.$$

最后求协方差。由上表，

$$\displaystyle EX =-1\cdot\frac14+1\cdot\frac12+1\cdot\frac14 =\frac12,$$$$\displaystyle EY =-1\cdot\frac14-1\cdot\frac12+1\cdot\frac14 =-\frac12,$$

而

$$\displaystyle \begin{aligned} E(XY) &=1\cdot\frac14+(-1)\cdot\frac12+1\cdot\frac14\\ &=0. \end{aligned}$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,Y) &=E(XY)-EXEY\\ &=0-\frac12\left(-\frac12\right)\\ &=\frac14. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \boxed{D(X-Y)=1}, \qquad \boxed{D(X+Y)=2}, \qquad \boxed{\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac14}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维连续型随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}$ 上服从均匀分布。

（Ⅰ）问 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 是否相互独立；

（Ⅱ）求 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的相关系数。

单位圆域的面积为 $\displaystyle \pi$，所以联合密度为

$$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases} \dfrac1\pi,&x^2+y^2\le1,\\[2mm] 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

（Ⅰ）判断独立性

对 $\displaystyle -1<x<1$，$\displaystyle X$ 的边缘密度为

$$\displaystyle \begin{aligned} f_X(x) &=\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac1\pi\,dy\\ &=\dfrac{2\sqrt{1-x^2}}\pi. \end{aligned}$$

类似地，

$$\displaystyle f_Y(y)=\dfrac{2\sqrt{1-y^2}}\pi, \qquad -1<y<1.$$

若 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，则应有

$$\displaystyle f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

在相应范围内成立。但例如取

$$\displaystyle x=y=\frac34,$$

则

$$\displaystyle x^2+y^2=\frac98>1,$$

因而

$$\displaystyle f\left(\frac34,\frac34\right)=0,$$

而

$$\displaystyle f_X\left(\frac34\right)f_Y\left(\frac34\right)>0.$$

两者不相等，所以 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 不独立。

（Ⅱ）求相关系数

由圆域关于两坐标轴对称，且联合密度为常数，有

$$\displaystyle EX=EY=0.$$

同理，被积函数 $\displaystyle xy$ 关于 $\displaystyle x$ 或 $\displaystyle y$ 均为奇函数，因此

$$\displaystyle E(XY) =\frac1\pi\iint_{x^2+y^2\le1}xy\,dxdy =0.$$

所以

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y) =E(XY)-EXEY=0.$$

为确认相关系数的分母非零，可计算

$$\displaystyle \begin{aligned} DX=EX^2 &=\frac1\pi\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2\cos^2\theta\,r\,drd\theta\\ &=\frac1\pi\left(\int_0^1r^3\,dr\right) \left(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\right)\\ &=\frac1\pi\cdot\frac14\cdot\pi\\ &=\frac14. \end{aligned}$$

同理

$$\displaystyle DY=\frac14.$$

于是

$$\displaystyle \rho_{XY} =\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} =0.$$

因此，$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 虽然不独立，但不相关，即

$$\displaystyle \boxed{\rho_{XY}=0}.$$