第三章 多维随机变量及其分布

选择题

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且都服从区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是

A. $\displaystyle X^2$；

B. $\displaystyle X-Y$；

C. $\displaystyle X+Y$；

D. $\displaystyle (X,Y)$。

由于 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，且各自在 $\displaystyle (0,1)$ 上服从均匀分布，所以联合概率密度为

$$\displaystyle f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 1,&0<x<1,\ 0<y<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

因而 $\displaystyle (X,Y)$ 在单位正方形 $\displaystyle (0,1)\times(0,1)$ 上服从均匀分布。

对于错误选项：$\displaystyle X^2$ 的密度为

$$\displaystyle f_{X^2}(u)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}},\qquad 0<u<1,$$

不是均匀分布；$\displaystyle X-Y$ 与 $\displaystyle X+Y$ 的密度均为分段线性函数，也不是均匀分布。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，其分布函数分别为 $\displaystyle F_X(x)$ 与 $\displaystyle F_Y(y)$，则 $\displaystyle Z=\max\{X,Y\}$ 的分布函数 $\displaystyle F_Z(z)$ 是

A. $\displaystyle \max\{F_X(z),F_Y(z)\}$；

B. $\displaystyle F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z)F_Y(z)$；

C. $\displaystyle F_X(z)F_Y(z)$；

D. $\displaystyle \frac12[F_X(z)+F_Y(z)]$。

由最大值不超过 $\displaystyle z$ 等价于两个随机变量都不超过 $\displaystyle z$，有

$$\displaystyle \begin{aligned} F_Z(z) &=P\{Z\le z\}\\ &=P\{\max(X,Y)\le z\}\\ &=P\{X\le z,\,Y\le z\}. \end{aligned}$$

又因为 $\displaystyle X,Y$ 相互独立，所以

$$\displaystyle F_Z(z)=P\{X\le z\}P\{Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z).$$

选项 B 是 $\displaystyle \min\{X,Y\}$ 的分布函数。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_2$ 相互独立，其分布函数分别为

$$\displaystyle F_1(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\ \frac12,&0\le x<1,\\ 1,&x\ge1, \end{cases} \qquad f_2(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\quad -\infty<x<+\infty,$$

则 $\displaystyle X_1+X_2$ 的分布函数 $\displaystyle F(x)=$

A. $\displaystyle F_1(x)+F_2(x)$；

B. $\displaystyle \frac12F_1(x)+\frac12F_2(x)$；

C. $\displaystyle \frac12F_1(x)+\frac12F_2(x-1)$；

D. $\displaystyle \frac12F_2(x)+\frac12F_2(x-1)$。

由 $\displaystyle F_1(x)$ 可知

$$\displaystyle P\{X_1=0\}=\frac12,\qquad P\{X_1=1\}=\frac12.$$

记标准正态分布函数为 $\displaystyle F_2(x)$。利用全概率公式及 $\displaystyle X_1,X_2$ 的独立性，

$$\displaystyle \begin{aligned} F(x) &=P\{X_1+X_2\le x\}\\ &=\frac12P\{X_2\le x\mid X_1=0\} +\frac12P\{X_2\le x-1\mid X_1=1\}\\ &=\frac12F_2(x)+\frac12F_2(x-1). \end{aligned}$$

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 都服从正态分布，则

A. $\displaystyle X+Y$ 一定服从正态分布；

B. $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 不相关与独立等价；

C. $\displaystyle (X,Y)$ 一定服从正态分布；

D. $\displaystyle (X,-Y)$ 未必服从正态分布。

仅知道边缘随机变量 $\displaystyle X,Y$ 各自服从一维正态分布，并不能推出 $\displaystyle (X,Y)$ 服从二维正态分布。因此，$\displaystyle (X,-Y)$ 也未必服从二维正态分布，选项 D 正确。

对于错误选项：只有在 $\displaystyle X,Y$ 联合正态时，任意线性组合才必为正态分布，因此 A 不一定成立；一般随机变量中“不相关”不能推出“独立”，故 B 错误；边缘分布均为正态分布不能保证联合分布为二维正态分布，故 C 错误。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

已知随机变量 $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_2$ 相互独立且有相同的分布：$\displaystyle P\{X_i=-1\}=P\{X_i=1\}=\frac12\,(i=1,2)$，则

A. $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_1X_2$ 独立且有相同的分布；

B. $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_1X_2$ 独立且有不同的分布；

C. $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_1X_2$ 不独立且有相同的分布；

D. $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_1X_2$ 不独立且有不同的分布。

令 $\displaystyle W=X_1X_2$。由于 $\displaystyle X_1,X_2$ 均只取 $\displaystyle \pm1$，故 $\displaystyle W$ 也只取 $\displaystyle \pm1$，且

$$\displaystyle P\{W=1\}=P\{X_1=X_2\}=\frac12, \qquad P\{W=-1\}=\frac12.$$

因而 $\displaystyle W$ 与 $\displaystyle X_1$ 同分布。进一步，对任意 $\displaystyle a,b\in\{-1,1\}$，事件 $\displaystyle X_1=a,W=b$ 唯一确定 $\displaystyle X_2=ab$，所以

$$\displaystyle P\{X_1=a,W=b\}=P\{X_1=a,X_2=ab\}=\frac14.$$

同时

$$\displaystyle P\{X_1=a\}P\{W=b\}=\frac12\cdot\frac12=\frac14.$$

因此 $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_1X_2$ 相互独立且同分布。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

已知随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\{(x,y)\mid -1<x<1,-1<y<1\}$ 上服从均匀分布，则

A. $\displaystyle P\{X+Y\ge0\}=\frac14$；

B. $\displaystyle P\{X-Y\ge0\}=\frac14$；

C. $\displaystyle P\{\max(X,Y)\ge0\}=\frac14$；

D. $\displaystyle P\{\min(X,Y)\ge0\}=\frac14$。

$\displaystyle (X,Y)$ 在边长为 $\displaystyle 2$ 的正方形上均匀分布，因此概率等于相应区域面积与正方形总面积之比，总面积为 $\displaystyle 4$。

事件 $\displaystyle \min(X,Y)\ge0$ 等价于 $\displaystyle X\ge0,Y\ge0$，对应第一象限内的单位正方形，面积为 $\displaystyle 1$，故

$$\displaystyle P\{\min(X,Y)\ge0\}=\frac14.$$

另外，由对称性，

$$\displaystyle P\{X+Y\ge0\}=P\{X-Y\ge0\}=\frac12,$$

且

$$\displaystyle P\{\max(X,Y)\ge0\} =1-P\{X<0,Y<0\} =1-\frac14 =\frac34.$$

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的联合概率分布服从 $\displaystyle G=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le r^2\}$ 上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是

A. 随机变量 $\displaystyle X$；

B. 随机变量 $\displaystyle X+Y$；

C. 随机变量 $\displaystyle Y$；

D. $\displaystyle Y$ 关于 $\displaystyle X=1$ 的条件分布。

圆域上的联合密度为常数

$$\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=\frac1{\pi r^2},\qquad x^2+y^2\le r^2.$$

对固定的 $\displaystyle X=1$，在题意默认 $\displaystyle r>1$ 时，$\displaystyle Y$ 的可取范围为

$$\displaystyle -\sqrt{r^2-1}\le Y\le\sqrt{r^2-1}.$$

在该线段上，联合密度关于 $\displaystyle y$ 为常数，因此条件密度为

$$\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid1) =\frac1{2\sqrt{r^2-1}}, \qquad |y|<\sqrt{r^2-1},$$

即服从相应区间上的均匀分布。

而 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的边缘密度分别与圆的竖直、水平弦长成正比，例如

$$\displaystyle f_X(x)=\dfrac{2\sqrt{r^2-x^2}}{\pi r^2},\qquad |x|<r,$$

并非常数；$\displaystyle X+Y$ 的密度也不是均匀密度。

填空题

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立同分布，且都服从 $\displaystyle p=\frac23$ 的0-1分布，则随机变量 $\displaystyle Z=\max\{X,Y\}$ 的分布律为 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

由0-1分布知

$$\displaystyle P\{X=1\}=P\{Y=1\}=\frac23, \qquad P\{X=0\}=P\{Y=0\}=\frac13.$$

因为 $\displaystyle Z=0$ 当且仅当 $\displaystyle X=0,Y=0$，由独立性得

$$\displaystyle P\{Z=0\}=\frac13\cdot\frac13=\frac19.$$

因此

$$\displaystyle P\{Z=1\}=1-P\{Z=0\}=\frac89.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

假设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且 $\displaystyle P\{X=k\}=\dfrac ak$，$\displaystyle P\{Y=-k\}=\dfrac b{k^2}\,(k=1,2,3)$，则 $\displaystyle a=\underline{\qquad}$，$\displaystyle b=\underline{\qquad}$，$\displaystyle Z=X+Y$ 的分布律为 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

由概率总和为 $\displaystyle 1$，

$$\displaystyle a\left(1+\frac12+\frac13\right)=1,$$

故

$$\displaystyle a=\frac6{11}.$$

同理，

$$\displaystyle b\left(1+\frac14+\frac19\right)=1,$$

所以

$$\displaystyle b=\dfrac{36}{49}.$$

因而

$$\displaystyle \begin{array}{c|ccc} X&1&2&3\\ \hline P&\dfrac6{11}&\dfrac3{11}&\dfrac2{11} \end{array}, \qquad \begin{array}{c|ccc} Y&-1&-2&-3\\ \hline P&\dfrac{36}{49}&\dfrac9{49}&\dfrac4{49} \end{array}.$$

利用独立性逐项卷积：

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{Z=-2\}&=P\{X=1,Y=-3\}=\dfrac{24}{539},\\ P\{Z=-1\}&=P\{1,-2\}+P\{2,-3\}=\dfrac{66}{539},\\ P\{Z=0\}&=P\{1,-1\}+P\{2,-2\}+P\{3,-3\}=\dfrac{251}{539},\\ P\{Z=1\}&=P\{2,-1\}+P\{3,-2\}=\dfrac{126}{539},\\ P\{Z=2\}&=P\{3,-1\}=\dfrac{72}{539}. \end{aligned}$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

从数 $\displaystyle 1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $\displaystyle X$，再从 $\displaystyle 1,\cdots,X$ 中任取一个数，记为 $\displaystyle Y$，则 $\displaystyle P\{Y=2\}=\underline{\qquad}$。

第一次从 $\displaystyle 1,2,3,4$ 中等可能选取，因此

$$\displaystyle P\{X=k\}=\frac14,\qquad k=1,2,3,4.$$

当 $\displaystyle X=1$ 时，$\displaystyle Y$ 不可能取 $\displaystyle 2$；当 $\displaystyle X=k\ge2$ 时，$\displaystyle Y$ 在 $\displaystyle 1,2,\ldots,k$ 中等可能取值，所以

$$\displaystyle P\{Y=2\mid X=k\}=\frac1k.$$

由全概率公式，

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{Y=2\} &=\sum_{k=2}^{4}P\{X=k\}P\{Y=2\mid X=k\}\\ &=\frac14\left(\frac12+\frac13+\frac14\right)\\ &=\dfrac{13}{48}. \end{aligned}$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的联合分布函数为

$$\displaystyle F(x,y)=\begin{cases} 0,&\min\{x,y\}<0,\\ \min\{x,y\},&0\le \min\{x,y\}<1,\\ 1,&\min\{x,y\}\ge1, \end{cases}$$

则随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数 $\displaystyle F_X(x)$ 为 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

随机变量 $\displaystyle X$ 的边缘分布函数由联合分布函数令另一个变量趋于正无穷得到，即

$$\displaystyle F_X(x)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y).$$

当 $\displaystyle y\to+\infty$ 时，$\displaystyle \min\{x,y\}=x$，于是

$$\displaystyle F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ x,&0\le x<1,\\ 1,&x\ge1. \end{cases}$$

同理可得 $\displaystyle F_Y(y)$ 也具有相同形式。事实上，该联合分布对应于 $\displaystyle X=Y$，且二者均服从 $\displaystyle (0,1)$ 上的均匀分布。

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设 $\displaystyle (X,Y)\sim N(\mu,\mu;\sigma^2,\sigma^2;0)$，则 $\displaystyle P\{X<Y\}=\underline{\qquad}$。

由题意，$\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 的均值、方差相同，且相关系数为 $\displaystyle 0$。由于 $\displaystyle (X,Y)$ 服从二维正态分布，零相关等价于相互独立，因此 $\displaystyle X,Y$ 独立同分布。

令

$$\displaystyle Z=X-Y.$$

则

$$\displaystyle Z\sim N(0,2\sigma^2).$$

该正态分布关于原点对称，且连续型随机变量满足 $\displaystyle P\{Z=0\}=0$，故

$$\displaystyle P\{X<Y\}=P\{X-Y<0\}=P\{Z<0\}=\frac12.$$

计算题与应用题

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

袋中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 $\displaystyle X,Y$ 如下：

$$\displaystyle X=\begin{cases} 1,&\text{第一次抽到红球},\\ 0,&\text{第一次抽到白球}, \end{cases} \qquad Y=\begin{cases} 1,&\text{第二次抽到红球},\\ 0,&\text{第二次抽到白球}。 \end{cases}$$

试就放回与不放回两种情形，求出 $\displaystyle (X,Y)$ 的联合分布律。

（1）放回抽样

每次抽球后将球放回，所以两次抽取相互独立，且每次抽到红球、白球的概率分别为

$$\displaystyle P\{\text{红}\}=\frac6{10}=\frac35, \qquad P\{\text{白}\}=\frac4{10}=\frac25.$$

因而

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X=1,Y=1\}&=\frac35\cdot\frac35=\frac9{25},\\ P\{X=1,Y=0\}&=\frac35\cdot\frac25=\frac6{25},\\ P\{X=0,Y=1\}&=\frac25\cdot\frac35=\frac6{25},\\ P\{X=0,Y=0\}&=\frac25\cdot\frac25=\frac4{25}. \end{aligned}$$

（2）不放回抽样

此时第二次抽球的概率受第一次抽球结果影响。由乘法公式，

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X=1,Y=1\} &=\frac6{10}\cdot\frac5{9}=\frac13,\\ P\{X=1,Y=0\} &=\frac6{10}\cdot\frac4{9}=\frac4{15},\\ P\{X=0,Y=1\} &=\frac4{10}\cdot\frac6{9}=\frac4{15},\\ P\{X=0,Y=0\} &=\frac4{10}\cdot\frac3{9}=\frac2{15}. \end{aligned}$$

四个概率之和均为 $\displaystyle 1$，所得联合分布律正确。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 的联合分布为

$\displaystyle X\backslash Y$	1	2	3
$\displaystyle -1$	$\displaystyle 0.1$	$\displaystyle a$	$\displaystyle 0.2$
$\displaystyle 0$	$\displaystyle b$	$\displaystyle 0.2$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0.1$	$\displaystyle c$

其中 $\displaystyle a,b,c$ 为常数，且 $\displaystyle E(XY)=-0.1$，$\displaystyle P\{X\le0\mid Y\ge2\}=\dfrac58$，记 $\displaystyle Z=X+Y$。求：（Ⅰ）$\displaystyle a,b,c$ 之值；（Ⅱ）$\displaystyle Z$ 的概率分布；（Ⅲ）$\displaystyle P\{Z=X\}$ 与 $\displaystyle P\{Z=Y\}$。

（Ⅰ）求 $\displaystyle a,b,c$

由联合分布律中全部概率之和为 $\displaystyle 1$，有

$$\displaystyle 0.1+a+0.2+b+0.2+0.1+c=1,$$

即

$$\displaystyle a+b+c=0.4.\tag{1}$$

根据数学期望定义，

$$\displaystyle \begin{aligned} E(XY) &=(-1)\cdot1\cdot0.1+(-1)\cdot2\cdot a +(-1)\cdot3\cdot0.2\\ &\quad+1\cdot2\cdot0.1+1\cdot3\cdot c\\ &=-0.5-2a+3c. \end{aligned}$$

由 $\displaystyle E(XY)=-0.1$，得

$$\displaystyle -2a+3c=0.4.\tag{2}$$

又

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X\le0,Y\ge2\}&=a+0.2+0.2=a+0.4,\\ P\{Y\ge2\}&=a+0.2+0.1+0.2+c=a+c+0.5. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle \dfrac{a+0.4}{a+c+0.5}=\frac58,$$

化简得

$$\displaystyle 3a-5c=-0.7.\tag{3}$$

联立（2）（3）可得

$$\displaystyle a=0.1, \qquad c=0.2.$$

再代入（1），得到

$$\displaystyle b=0.1.$$

（Ⅱ）求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的分布律

按照相同的 $\displaystyle X+Y$ 值合并联合分布表中的概率：

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{Z=0\}&=P\{X=-1,Y=1\}=0.1,\\ P\{Z=1\}&=P\{-1,2\}+P\{0,1\}=0.1+0.1=0.2,\\ P\{Z=2\}&=P\{-1,3\}+P\{0,2\}+P\{1,1\}=0.2+0.2+0=0.4,\\ P\{Z=3\}&=P\{0,3\}+P\{1,2\}=0+0.1=0.1,\\ P\{Z=4\}&=P\{1,3\}=0.2. \end{aligned}$$

（Ⅲ）求两个事件的概率

因为

$$\displaystyle Z=X\iff X+Y=X\iff Y=0,$$

而 $\displaystyle Y$ 只能取 $\displaystyle 1,2,3$，所以

$$\displaystyle P\{Z=X\}=0.$$

同理，

$$\displaystyle Z=Y\iff X=0.$$

故

$$\displaystyle P\{Z=Y\}=P\{X=0\}=b+0.2+0=0.3.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

假设二维随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 在矩形区域

$$\displaystyle G=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\ 0\le y\le1\}$$

上服从均匀分布。记

$$\displaystyle U=\begin{cases} 0,&X\le Y,\\ 1,&X>Y, \end{cases} \qquad V=\begin{cases} 0,&X\le2Y,\\ 1,&X>2Y。 \end{cases}$$

（Ⅰ）求 $\displaystyle U$ 和 $\displaystyle V$ 的联合分布；（Ⅱ）求 $\displaystyle U$ 和 $\displaystyle V$ 的相关系数 $\displaystyle \rho$。

矩形 $\displaystyle G$ 的面积为

$$\displaystyle S_G=2,$$

因此联合密度为

$$\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=\frac12, \qquad (x,y)\in G.$$

由于在 $\displaystyle y\ge0$ 时，$\displaystyle x\le y$ 必然推出 $\displaystyle x\le2y$，所以事件 $\displaystyle \{U=0,V=1\}$ 不可能发生，即

$$\displaystyle P\{U=0,V=1\}=0.$$

对于 $\displaystyle U=0,V=0$，对应区域为

$$\displaystyle 0\le x\le y\le1,$$

其面积为

$$\displaystyle \int_0^1y\,dy=\frac12,$$

故

$$\displaystyle P\{U=0,V=0\}=\dfrac{1/2}{2}=\frac14.$$

对于 $\displaystyle U=1,V=0$，对应

$$\displaystyle y<x\le2y, \qquad 0\le y\le1.$$

其面积为

$$\displaystyle \int_0^1(2y-y)\,dy=\frac12,$$

因而

$$\displaystyle P\{U=1,V=0\}=\frac14.$$

剩余部分即为 $\displaystyle U=1,V=1$，故

$$\displaystyle P\{U=1,V=1\}=1-\frac14-\frac14=\frac12.$$

由于 $\displaystyle U,V$ 均为0-1型随机变量，

$$\displaystyle EU=P\{U=1\}=\frac34, \qquad EV=P\{V=1\}=\frac12,$$

且

$$\displaystyle E(UV)=P\{U=1,V=1\}=\frac12.$$

所以

$$\displaystyle \operatorname{Cov}(U,V) =E(UV)-EU\,EV =\frac12-\frac34\cdot\frac12 =\frac18.$$

又

$$\displaystyle D(U)=\frac34\left(1-\frac34\right)=\frac3{16}, \qquad D(V)=\frac12\left(1-\frac12\right)=\frac14.$$

因此相关系数为

$$\displaystyle \rho_{UV} =\dfrac{\operatorname{Cov}(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} =\dfrac{1/8}{\sqrt{(3/16)(1/4)}} =\frac1{\sqrt3}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 在区域

$$\displaystyle D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\ y\le x\le y+1\}$$

内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 $\displaystyle X,Y$ 的独立性。

区域 $\displaystyle D$ 可写成

$$\displaystyle 0\le y\le1, \qquad y\le x\le y+1.$$

它是一个面积为

$$\displaystyle S_D=\int_0^1[(y+1)-y]dy=1$$

的平行四边形，因此联合密度为

$$\displaystyle f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 1,&(x,y)\in D,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

对固定的 $\displaystyle x$，由

$$\displaystyle 0\le y\le1, \qquad x-1\le y\le x$$

可知

$$\displaystyle \max\{0,x-1\}\le y\le\min\{1,x\}.$$

因而

$$\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)dy = \begin{cases} x,&0\le x\le1,\\ 2-x,&1<x\le2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

对固定的 $\displaystyle y\in[0,1]$，变量 $\displaystyle x$ 的取值区间长度为

$$\displaystyle (y+1)-y=1,$$

所以

$$\displaystyle f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)dx = \begin{cases} 1,&0\le y\le1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

若 $\displaystyle X,Y$ 独立，则应在所有点上满足

$$\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y).$$

例如取 $\displaystyle (x,y)=\left(\dfrac14,\dfrac34\right)$，该点不属于 $\displaystyle D$，故

$$\displaystyle f_{X,Y}\left(\frac14,\frac34\right)=0,$$

但

$$\displaystyle f_X\left(\frac14\right)f_Y\left(\frac34\right) =\frac14\ne0.$$

因此 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 不独立。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设随机变量 $\displaystyle X$ 和 $\displaystyle Y$ 的联合密度为

$$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases} \dfrac67\left(x^2+\dfrac{xy}{2}\right),&0<x<1,\ 0<y<2,\\ 0,&\text{若不然}。 \end{cases}$$

（Ⅰ）试求 $\displaystyle X$ 的概率密度 $\displaystyle f_X(x)$；（Ⅱ）试求事件“$\displaystyle X$ 大于 $\displaystyle Y$”的概率 $\displaystyle P\{X>Y\}$；（Ⅲ）求条件概率 $\displaystyle P\{Y>1\mid X<0.5\}$。

（Ⅰ）对 $\displaystyle y$ 积分可得 $\displaystyle X$ 的边缘密度：

$$\displaystyle \begin{aligned} f_X(x) &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy\\ &=\int_0^2\frac67\left(x^2+\dfrac{xy}{2}\right)dy\\ &=\frac67\left(2x^2+x\right),\qquad 0<x<1. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle f_X(x)=\begin{cases} \dfrac67(2x^2+x),&0<x<1,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

（Ⅱ）在联合密度的支撑区域内，事件 $\displaystyle X>Y$ 对应于

$$\displaystyle 0<x<1,\qquad 0<y<x.$$

故

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X>Y\} &=\int_0^1\int_0^x\frac67\left(x^2+\dfrac{xy}{2}\right)dy\,dx\\ &=\frac67\int_0^1\left(x^3+\dfrac{x^3}{4}\right)dx\\ &=\frac67\cdot\frac54\cdot\frac14\\ &=\dfrac{15}{56}. \end{aligned}$$

（Ⅲ）由条件概率公式，

$$\displaystyle P\{Y>1\mid X<0.5\} =\dfrac{P\{Y>1,\ X<0.5\}}{P\{X<0.5\}}.$$

分母为

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X<0.5\} &=\int_0^{1/2}f_X(x)\,dx\\ &=\frac67\int_0^{1/2}(2x^2+x)dx\\ &=\frac67\left(\frac1{12}+\frac18\right)\\ &=\frac5{28}. \end{aligned}$$

分子为

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{Y>1,\ X<0.5\} &=\int_0^{1/2}\int_1^2\frac67\left(x^2+\dfrac{xy}{2}\right)dy\,dx\\ &=\frac67\int_0^{1/2}\left(x^2+\dfrac{3x}{4}\right)dx\\ &=\frac67\left(\frac1{24}+\frac3{32}\right)\\ &=\dfrac{13}{112}. \end{aligned}$$

所以

$$\displaystyle P\{Y>1\mid X<0.5\} =\dfrac{13/112}{5/28} =\dfrac{13}{20}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维连续型随机变量 $\displaystyle (X,Y)$ 在区域 $\displaystyle D$ 上服从均匀分布，其中

$$\displaystyle D=\{(x,y)\mid |x+y|\le1,\ |x-y|\le1\},$$

求 $\displaystyle X$ 的边缘密度 $\displaystyle f_X(x)$ 与在 $\displaystyle X=0$ 条件下，关于 $\displaystyle Y$ 的条件密度 $\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid0)$。

区域 $\displaystyle D$ 由两组不等式

$$\displaystyle -1\le x+y\le1, \qquad -1\le x-y\le1$$

确定，是以

$$\displaystyle (1,0),\quad(0,1),\quad(-1,0),\quad(0,-1)$$

为顶点的菱形，面积为

$$\displaystyle S_D=\dfrac{2\times2}{2}=2.$$

因而联合密度为

$$\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases} \dfrac12,&(x,y)\in D,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

对固定的 $\displaystyle x$，由原不等式可得

$$\displaystyle -1-x\le y\le1-x, \qquad x-1\le y\le x+1.$$

因此，当 $\displaystyle -1\le x<0$ 时，

$$\displaystyle -1-x\le y\le x+1,$$

截线长度为

$$\displaystyle 2(1+x).$$

当 $\displaystyle 0\le x\le1$ 时，

$$\displaystyle x-1\le y\le1-x,$$

截线长度为

$$\displaystyle 2(1-x).$$

所以

$$\displaystyle f_X(x)=\begin{cases} 1+x,&-1\le x<0,\\ 1-x,&0\le x\le1,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$

即

$$\displaystyle f_X(x)=\begin{cases} 1-|x|,&|x|\le1,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

当 $\displaystyle X=0$ 时，区域截线为

$$\displaystyle -1\le y\le1.$$

又

$$\displaystyle f_X(0)=1,$$

故条件密度为

$$\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid0) =\dfrac{f_{X,Y}(0,y)}{f_X(0)} =\begin{cases} \dfrac12,&|y|\le1,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

已知 $\displaystyle (X,Y)$ 的概率分布为

$\displaystyle X\backslash Y$	$\displaystyle -1$	1
$\displaystyle -1$	$\displaystyle \frac16$	$\displaystyle \frac16$
$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac26$	$\displaystyle \frac16$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac16$

（Ⅰ）求 $\displaystyle Z=X-Y$ 的概率分布；（Ⅱ）记 $\displaystyle U_1=XY,V_1=\dfrac XY$，求 $\displaystyle (U_1,V_1)$ 的概率分布；（Ⅲ）记 $\displaystyle U_2=\max(X,Y),V_2=\min(X,Y)$，求 $\displaystyle (U_2,V_2)$ 的概率分布及 $\displaystyle U_2V_2$ 的概率分布。

逐一列出 $\displaystyle (X,Y)$ 的所有可能取值及其变换结果：

$\displaystyle (X,Y)$	概率	$\displaystyle X-Y$	$\displaystyle (XY,X/Y)$	$\displaystyle (\max(X,Y),\min(X,Y))$
$\displaystyle (-1,-1)$	$\displaystyle \frac16$	0	$\displaystyle (1,1)$	$\displaystyle (-1,-1)$
$\displaystyle (-1,1)$	$\displaystyle \frac16$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle (-1,-1)$	$\displaystyle (1,-1)$
$\displaystyle (0,-1)$	$\displaystyle \frac26$	1	$\displaystyle (0,0)$	$\displaystyle (0,-1)$
$\displaystyle (0,1)$	$\displaystyle \frac16$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle (0,0)$	$\displaystyle (1,0)$
$\displaystyle (1,1)$	$\displaystyle \frac16$	0	$\displaystyle (1,1)$	$\displaystyle (1,1)$

（Ⅰ）将产生相同 $\displaystyle Z=X-Y$ 值的概率相加，得到

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{Z=-2\}&=\frac16,\\ P\{Z=-1\}&=\frac16,\\ P\{Z=0\}&=\frac16+\frac16=\frac13,\\ P\{Z=1\}&=\frac26=\frac13. \end{aligned}$$

（Ⅱ）因为 $\displaystyle Y$ 只取 $\displaystyle \pm1$，所以比值 $\displaystyle X/Y$ 始终有定义。合并相同取值后，

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{(U_1,V_1)=(-1,-1)\}&=\frac16,\\ P\{(U_1,V_1)=(0,0)\}&=\frac26+\frac16=\frac12,\\ P\{(U_1,V_1)=(1,1)\}&=\frac16+\frac16=\frac13. \end{aligned}$$

（Ⅲ）由上表可直接得到 $\displaystyle (U_2,V_2)$ 的联合分布。又由于

$$\displaystyle U_2V_2=\max(X,Y)\min(X,Y)=XY,$$

因而

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{U_2V_2=-1\}&=\frac16,\\ P\{U_2V_2=0\}&=\frac26+\frac16=\frac12,\\ P\{U_2V_2=1\}&=\frac16+\frac16=\frac13. \end{aligned}$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设随机变量 $\displaystyle X$ 与 $\displaystyle Y$ 相互独立，且都在 $\displaystyle [0,1]$ 上服从均匀分布，试求：（Ⅰ）$\displaystyle U=XY$ 的概率密度 $\displaystyle f_U(u)$；（Ⅱ）$\displaystyle V=|X-Y|$ 的概率密度 $\displaystyle f_V(v)$。

由于 $\displaystyle X,Y$ 独立且均服从 $\displaystyle [0,1]$ 上的均匀分布，故 $\displaystyle (X,Y)$ 在单位正方形上均匀分布，联合密度为1。

（Ⅰ）显然 $\displaystyle 0\le U=XY\le1$。当 $\displaystyle 0<u<1$ 时，

$$\displaystyle F_U(u)=P\{XY\le u\}.$$

在单位正方形内，对 $\displaystyle 0<x\le u$，恒有 $\displaystyle xy\le u$；对 $\displaystyle u<x\le1$，需有 $\displaystyle 0<y\le u/x$。所以

$$\displaystyle \begin{aligned} F_U(u) &=\int_0^u1\,dx+\int_u^1\dfrac ux\,dx\\ &=u+u\int_u^1\dfrac{dx}{x}\\ &=u-u\ln u. \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle f_U(u)=F_U'(u)=-\ln u, \qquad 0<u<1.$$

从而

$$\displaystyle f_U(u)=\begin{cases} -\ln u,&0<u<1,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

（Ⅱ）显然 $\displaystyle 0\le V=|X-Y|\le1$。当 $\displaystyle 0\le v\le1$ 时，事件

$$\displaystyle |X-Y|>v$$

对应于单位正方形中直线 $\displaystyle y=x+v$ 上方和直线 $\displaystyle y=x-v$ 下方的两个全等直角三角形，每个三角形的直角边长为 $\displaystyle 1-v$。故

$$\displaystyle P\{|X-Y|>v\}=(1-v)^2.$$

因此

$$\displaystyle F_V(v)=P\{|X-Y|\le v\}=1-(1-v)^2=2v-v^2.$$

于是

$$\displaystyle f_V(v)=F_V'(v)=2(1-v), \qquad 0<v<1.$$

即

$$\displaystyle f_V(v)=\begin{cases} 2(1-v),&0<v<1,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计计算题与应用题

设二维随机变量 $\displaystyle (X_1,Y_1)$ 与 $\displaystyle (X_2,Y_2)$ 的联合概率密度分别为

$$\displaystyle f_1(x,y)=\begin{cases} k_1e^{-(x+y)},&x>0,y>0,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases} \qquad f_2(x,y)=\begin{cases} k_2e^{-(x+y)},&x>y>0,\\ 0,&\text{其他}。 \end{cases}$$

求：（Ⅰ）常数 $\displaystyle k_1,k_2$ 的值；（Ⅱ）$\displaystyle X_i,Y_i\,(i=1,2)$ 的边缘概率密度；（Ⅲ）$\displaystyle P\{X_i>2Y_i\}\,(i=1,2)$。

（Ⅰ）由概率密度归一化条件，

$$\displaystyle \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}k_1e^{-(x+y)}dx\,dy=1.$$

因为

$$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1,$$

故

$$\displaystyle k_1=1.$$

对第二个联合密度，

$$\displaystyle \begin{aligned} 1 &=\int_0^{+\infty}\int_y^{+\infty}k_2e^{-(x+y)}dx\,dy\\ &=k_2\int_0^{+\infty}e^{-2y}dy\\ &=\dfrac{k_2}{2}, \end{aligned}$$

所以

$$\displaystyle k_2=2.$$

（Ⅱ）对 $\displaystyle (X_1,Y_1)$，

$$\displaystyle \begin{aligned} f_{X_1}(x) &=\int_0^{+\infty}e^{-(x+y)}dy =e^{-x},\qquad x>0,\\ f_{Y_1}(y) &=\int_0^{+\infty}e^{-(x+y)}dx =e^{-y},\qquad y>0. \end{aligned}$$

对 $\displaystyle (X_2,Y_2)$，当 $\displaystyle x>0$ 时，必须有 $\displaystyle 0<y<x$，故

$$\displaystyle \begin{aligned} f_{X_2}(x) &=\int_0^x2e^{-(x+y)}dy\\ &=2e^{-x}(1-e^{-x}). \end{aligned}$$

当 $\displaystyle y>0$ 时，必须有 $\displaystyle x>y$，故

$$\displaystyle \begin{aligned} f_{Y_2}(y) &=\int_y^{+\infty}2e^{-(x+y)}dx\\ &=2e^{-2y}. \end{aligned}$$

（Ⅲ）对于第一组随机变量，事件 $\displaystyle X_1>2Y_1$ 对应区域

$$\displaystyle y>0,\qquad x>2y.$$

因此

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X_1>2Y_1\} &=\int_0^{+\infty}\int_{2y}^{+\infty}e^{-(x+y)}dx\,dy\\ &=\int_0^{+\infty}e^{-3y}dy\\ &=\frac13. \end{aligned}$$

对于第二组随机变量，事件 $\displaystyle X_2>2Y_2$ 已经包含在其支撑条件 $\displaystyle X_2>Y_2>0$ 内，故

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X_2>2Y_2\} &=\int_0^{+\infty}\int_{2y}^{+\infty}2e^{-(x+y)}dx\,dy\\ &=2\int_0^{+\infty}e^{-3y}dy\\ &=\frac23. \end{aligned}$$