第二章 随机变量及其分布

选择题

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数

$$\displaystyle F(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\ \frac12,&0\le x<1,\\ 1-e^{-x},&x\ge1, \end{cases}$$

则 $\displaystyle P\{X=1\}=$

A. $\displaystyle 0$；

B. $\displaystyle \frac12$；

C. $\displaystyle \frac12-e^{-1}$；

D. $\displaystyle 1-e^{-1}$。

分布函数在点 $\displaystyle x=1$ 处的跳跃大小就是随机变量在该点取得的概率，即

$$\displaystyle P\{X=1\}=F(1)-F(1-).$$

由题给分布函数，

$$\displaystyle F(1)=1-e^{-1},\qquad F(1-)=\frac12.$$

因此

$$\displaystyle P\{X=1\}=1-e^{-1}-\frac12=\frac12-e^{-1}.$$

故选（C）。选项（A）忽略了 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处的跳跃；（B）、（D）分别只取了跳跃前或跳跃后的函数值，均不是单点概率。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设离散型随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=i\}=cp^i$，$\displaystyle i=1,2,\cdots$，其中 $\displaystyle c>0$ 是常数，则

A. $\displaystyle p=\frac1{c-1}$；

B. $\displaystyle p=\frac1{c+1}$；

C. $\displaystyle p=c+1$；

D. $\displaystyle 0<p<1$ 的任意实数。

概率分布必须满足所有概率之和为 $\displaystyle 1$。由于

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}P\{X=i\} =c\sum_{i=1}^{\infty}p^i=1,$$

该等比级数收敛要求 $\displaystyle 0<p<1$，并且

$$\displaystyle c\dfrac{p}{1-p}=1.$$

解得

$$\displaystyle cp=1-p, \qquad p(c+1)=1, \qquad p=\frac1{c+1}.$$

因为 $\displaystyle c>0$，所以所得 $\displaystyle p$ 自动满足 $\displaystyle 0<p<1$。故选（B）。选项（D）只给出了收敛条件，没有满足概率总和为 $\displaystyle 1$ 的归一化条件。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

假设随机变量 $\displaystyle X$ 服从指数分布，则随机变量 $\displaystyle Y=\min\{X,2\}$ 的分布函数

A. 是连续函数；

B. 至少有两个间断点；

C. 是阶梯函数；

D. 恰好有一个间断点。

设 $\displaystyle X$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda>0$ 的指数分布，则

$$\displaystyle F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 1-e^{-\lambda x},&x\ge0. \end{cases}$$

由于 $\displaystyle Y=\min\{X,2\}$，故 $\displaystyle Y\le2$，并且

$$\displaystyle F_Y(y)=P\{Y\le y\} = \begin{cases} 0,&y<0,\\ P\{X\le y\}=1-e^{-\lambda y},&0\le y<2,\\ 1,&y\ge2. \end{cases}$$

在 $\displaystyle y=2$ 处，

$$\displaystyle F_Y(2-)=1-e^{-2\lambda}<1=F_Y(2),$$

所以 $\displaystyle F_Y(y)$ 在 $\displaystyle y=2$ 处有且仅有一个跳跃间断点，其跳跃大小为

$$\displaystyle P\{Y=2\}=P\{X\ge2\}=e^{-2\lambda}.$$

故选（D）。由于 $\displaystyle Y$ 在 $\displaystyle [0,2)$ 上还含有连续分布部分，因此其分布函数不是阶梯函数。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设 $\displaystyle f(x)$ 是连续型随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度，则 $\displaystyle f(x)$ 一定是

A. 可积函数；

B. 单调函数；

C. 连续函数；

D. 可导函数。

概率密度必须满足

$$\displaystyle f(x)\ge0, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$$

因此 $\displaystyle f(x)$ 在整个实数轴上一定可积。概率密度不要求单调、连续或可导，例如均匀分布的密度在区间端点处可以不连续，分段定义的密度也可能不可导。故选（A）。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=k\}=a\dfrac{1+e^{-1}}{k!}$，$\displaystyle k=0,1,2,\cdots$，则常数 $\displaystyle a=$

A. $\displaystyle \frac1{e-1}$；

B. $\displaystyle \frac1{e+1}$；

C. $\displaystyle \dfrac e{e-1}$；

D. $\displaystyle \dfrac e{e+1}$。

利用概率归一化条件，

$$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\} =a(1+e^{-1})\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}=1.$$

由指数函数的幂级数展开，

$$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}=e.$$

于是

$$\displaystyle a(1+e^{-1})e=a(e+1)=1,$$

从而

$$\displaystyle a=\frac1{e+1}.$$

故选（B）。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu,\sigma^2)$，则随 $\displaystyle \sigma$ 的增大，概率 $\displaystyle P\{|X-\mu|<\sigma\}$ 应该

A. 单调增大；

B. 单调减少；

C. 保持不变；

D. 增减不定。

对 $\displaystyle X$ 标准化，令

$$\displaystyle Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$$

则

$$\displaystyle P\{|X-\mu|<\sigma\} =P\left\{\left|\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right|<1\right\} =P\{|Z|<1\}.$$

右端只与标准正态分布有关，与 $\displaystyle \sigma$ 无关。因此无论 $\displaystyle \sigma$ 如何变化，该概率都保持不变，故选（C）。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu,4^2)$，$\displaystyle Y\sim N(\mu,5^2)$；记 $\displaystyle p_1=P\{X\le \mu-4\}$，$\displaystyle p_2=P\{Y\ge \mu+5\}$，则

A. $\displaystyle p_1=p_2$；

B. $\displaystyle p_1>p_2$；

C. $\displaystyle p_1<p_2$；

D. 因 $\displaystyle \mu$ 未知，无法比较 $\displaystyle p_1$ 与 $\displaystyle p_2$ 的大小。

对两个随机变量分别标准化。对于 $\displaystyle X$，

$$\displaystyle p_1=P\left\{\dfrac{X-\mu}{4}\le-1\right\}=\Phi(-1),$$

其中 $\displaystyle \Phi$ 为标准正态分布函数。对于 $\displaystyle Y$，

$$\displaystyle p_2=P\left\{\dfrac{Y-\mu}{5}\ge1\right\}=1-\Phi(1).$$

由标准正态分布关于原点对称，

$$\displaystyle \Phi(-1)=1-\Phi(1).$$

故

$$\displaystyle p_1=p_2.$$

两者的大小与 $\displaystyle \mu$ 无关，故选（A）。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设随机变量 $\displaystyle X$ 的密度函数为 $\displaystyle f_X(x)$，$\displaystyle Y=-2X+3$，则 $\displaystyle Y$ 的密度函数为

A. $\displaystyle -\frac12f_X\left(-\dfrac{y-3}{2}\right)$；

B. $\displaystyle \frac12f_X\left(-\dfrac{y-3}{2}\right)$；

C. $\displaystyle -\frac12f_X\left(-\dfrac{y+3}{2}\right)$；

D. $\displaystyle \frac12f_X\left(-\dfrac{y+3}{2}\right)$。

线性变换

$$\displaystyle Y=-2X+3$$

的反函数为

$$\displaystyle X=\dfrac{3-Y}{2}=-\dfrac{Y-3}{2}.$$

由一维随机变量函数的密度变换公式，

$$\displaystyle f_Y(y) =f_X\left(\dfrac{3-y}{2}\right) \left|\dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{3-y}{2}\right)\right| =\frac12f_X\left(\dfrac{3-y}{2}\right).$$

即

$$\displaystyle f_Y(y)=\frac12f_X\left(-\dfrac{y-3}{2}\right).$$

绝对值保证密度前的系数非负，因此（A）、（C）不可能；（D）的平移符号错误。故选（B）。

单选题李正元练习题·概率论与数理统计选择题

设 $\displaystyle F_1(x)$ 与 $\displaystyle F_2(x)$ 分别是随机变量 $\displaystyle X_1$ 与 $\displaystyle X_2$ 的分布函数，为使 $\displaystyle F(x)=aF_1(x)-bF_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

A. $\displaystyle a=\frac35,b=-\frac25$；

B. $\displaystyle a=\frac23,b=\frac23$；

C. $\displaystyle a=-\frac12,b=\frac32$；

D. $\displaystyle a=\frac12,b=-\frac32$。

任意两个分布函数的凸组合

$$\displaystyle \alpha F_1(x)+\beta F_2(x), \qquad \alpha\ge0, \quad \beta\ge0, \quad \alpha+\beta=1,$$

仍是分布函数。题中

$$\displaystyle F(x)=aF_1(x)-bF_2(x),$$

因此需要满足

$$\displaystyle a\ge0, \qquad -b\ge0, \qquad a-b=1.$$

对选项（A），

$$\displaystyle a=\frac35, \qquad -b=\frac25, \qquad \frac35+\frac25=1,$$

故

$$\displaystyle F(x)=\frac35F_1(x)+\frac25F_2(x)$$

是两个分布函数的凸组合，必为分布函数。

选项（B）、（C）含有负权重，不能保证单调不减；选项（D）虽两个权重均为正，但权重之和为 $\displaystyle 2$，从而

$$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}F(x)=2\ne1,$$

不满足分布函数的极限条件。故选（A）。

填空题

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设离散型随机变量 $\displaystyle X$ 的概率函数为 $\displaystyle P\{X=i\}=p^{i+1}$，$\displaystyle i=0,1$，则 $\displaystyle p=\underline{\qquad}$。

概率函数必须满足所有可能取值对应的概率之和为 $\displaystyle 1$，故

$$\displaystyle P\{X=0\}+P\{X=1\}=p+p^2=1.$$

于是

$$\displaystyle p^2+p-1=0,$$

解得

$$\displaystyle p=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

由于概率必须非负，舍去负根，得到

$$\displaystyle p=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.$$

相关知识点：离散型随机变量的概率函数应满足非负性与归一性，即

$$\displaystyle P\{X=i\}\ge0, \qquad \sum_iP\{X=i\}=1.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设离散型随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数

$$\displaystyle F(x)=\begin{cases} 0,&x<-1,\\ 0.4,&-1\le x<0,\\ 0.7,&0\le x<1,\\ 1,&x\ge1, \end{cases}$$

则随机变量 $\displaystyle |X|$ 的分布函数为 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

分布函数在各跳跃点的跳跃大小等于对应点的概率。由题给 $\displaystyle F(x)$ 可得

$$\displaystyle P\{X=-1\}=F(-1)-F(-1-)=0.4,$$$$\displaystyle P\{X=0\}=F(0)-F(0-)=0.7-0.4=0.3,$$$$\displaystyle P\{X=1\}=F(1)-F(1-)=1-0.7=0.3.$$

因此

$$\displaystyle P\{|X|=0\}=P\{X=0\}=0.3,$$$$\displaystyle P\{|X|=1\}=P\{X=-1\}+P\{X=1\}=0.4+0.3=0.7.$$

故 $\displaystyle |X|$ 只可能取 $\displaystyle 0,1$，其分布函数为

$$\displaystyle F_{|X|}(y)=P\{|X|\le y\} = \begin{cases} 0,&y<0,\\ 0.3,&0\le y<1,\\ 1,&y\ge1. \end{cases}$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

假设 $\displaystyle X$ 是在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内取值的连续型随机变量，而 $\displaystyle Y=1-X$。已知 $\displaystyle P\{X\le0.29\}=0.75$，则满足 $\displaystyle P\{Y\le k\}=0.25$ 的常数 $\displaystyle k=\underline{\qquad}$。

由 $\displaystyle Y=1-X$，有

$$\displaystyle P\{Y\le k\} =P\{1-X\le k\} =P\{X\ge1-k\}.$$

因为 $\displaystyle X$ 为连续型随机变量，任一点的概率均为 $\displaystyle 0$。题设给出

$$\displaystyle P\{X\le0.29\}=0.75,$$

所以

$$\displaystyle P\{X\ge0.29\}=1-0.75=0.25.$$

与

$$\displaystyle P\{X\ge1-k\}=0.25$$

比较，得到

$$\displaystyle 1-k=0.29, \qquad k=0.71.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设 $\displaystyle f(x)=ke^{-x^2+2x-3}\,(-\infty<x<+\infty)$ 是一概率密度，则 $\displaystyle k=\underline{\qquad}$。

概率密度必须满足归一化条件

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$$

先配方：

$$\displaystyle -x^2+2x-3=-(x-1)^2-2.$$

因此

$$\displaystyle 1 =k\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2-2}\,dx =ke^{-2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx.$$

利用高斯积分

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}\,du=\sqrt\pi,$$

可得

$$\displaystyle ke^{-2}\sqrt\pi=1.$$

故

$$\displaystyle k=\dfrac{e^2}{\sqrt\pi}.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度为

$$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac13,&0\le x\le1,\\ \frac29,&3\le x\le6,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$

若 $\displaystyle k$ 满足概率等式 $\displaystyle P\{|X|\ge|k|\}=\frac23$，则 $\displaystyle k$ 的取值范围是 $\displaystyle \underline{\qquad}$。

由密度的支撑集可知 $\displaystyle X\ge0$，故

$$\displaystyle |X|=X.$$

令

$$\displaystyle t=|k|\ge0,$$

则题设条件化为

$$\displaystyle P\{X\ge t\}=\frac23.$$

区间 $\displaystyle [3,6]$ 上的总概率为

$$\displaystyle \int_3^6\frac29\,dx =\frac29\times3 =\frac23.$$

当 $\displaystyle 1\le t\le3$ 时，区间 $\displaystyle (1,3)$ 上密度为 $\displaystyle 0$，而事件 $\displaystyle X\ge t$ 恰好保留 $\displaystyle [3,6]$ 上的全部概率，因此

$$\displaystyle P\{X\ge t\}=\frac23.$$

当 $\displaystyle 0\le t<1$ 时，还会包含 $\displaystyle [t,1]$ 上的正概率，故概率大于 $\displaystyle \frac23$；当 $\displaystyle t>3$ 时，只保留 $\displaystyle [t,6]$ 的一部分，故概率小于 $\displaystyle \frac23$。所以

$$\displaystyle 1\le |k|\le3.$$

即

$$\displaystyle k\in[-3,-1]\cup[1,3].$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu,1)$，已知 $\displaystyle P\{X\le3\}=0.975$，则 $\displaystyle P\{X\le-0.92\}=\underline{\qquad}$。

将 $\displaystyle X$ 标准化。因为 $\displaystyle X\sim N(\mu,1)$，所以

$$\displaystyle P\{X\le3\} =\Phi(3-\mu) =0.975.$$

由标准正态分布表

$$\displaystyle \Phi(1.96)=0.975,$$

故

$$\displaystyle 3-\mu=1.96, \qquad \mu=1.04.$$

于是

$$\displaystyle P\{X\le-0.92\} =\Phi(-0.92-1.04) =\Phi(-1.96).$$

利用标准正态分布的对称性

$$\displaystyle \Phi(-z)=1-\Phi(z),$$

得到

$$\displaystyle P\{X\le-0.92\} =1-\Phi(1.96) =1-0.975 =0.025.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu,\sigma^2)\, (\sigma>0)$，且二次方程 $\displaystyle y^2+4y+X=0$ 无实根的概率为 $\displaystyle 0.5$，则 $\displaystyle \mu=\underline{\qquad}$。

方程

$$\displaystyle y^2+4y+X=0$$

无实根的充要条件是判别式小于 $\displaystyle 0$：

$$\displaystyle \Delta=4^2-4X=16-4X<0.$$

因此

$$\displaystyle X>4.$$

题设给出

$$\displaystyle P\{X>4\}=0.5.$$

正态分布关于均值 $\displaystyle \mu$ 对称，且连续，因此

$$\displaystyle P\{X>\mu\}=P\{X<\mu\}=0.5.$$

故分界点 $\displaystyle 4$ 必为该正态分布的均值，即

$$\displaystyle \mu=4.$$

填空题李正元练习题·概率论与数理统计填空题

设 $\displaystyle F(x)$ 是连续型随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数，常数 $\displaystyle a>0$，则

$$\displaystyle \int_{-a}^{a}[F(x+a)-F(x)]\,dx=\underline{\qquad}。$$

按题面所给有限积分区间，令 $\displaystyle f(t)$ 为 $\displaystyle X$ 的概率密度，则

$$\displaystyle F(x+a)-F(x)=\int_x^{x+a}f(t)\,dt.$$

从而

$$\displaystyle I=\int_{-a}^{a}\int_x^{x+a}f(t)\,dt\,dx.$$

交换积分次序后，积分值等于某个依赖于 $\displaystyle X$ 分布的加权平均，不能仅由 $\displaystyle a$ 决定。具体地，若 $\displaystyle X\sim U(0,a)$，则对每个 $\displaystyle t\in(0,a)$，可取的 $\displaystyle x$ 区间长度均为 $\displaystyle a$，故

$$\displaystyle I=a.$$

但若 $\displaystyle X\sim U(3a,4a)$，则当 $\displaystyle -a\le x\le a$ 时有

$$\displaystyle x+a\le2a<3a,$$

所以

$$\displaystyle F(x+a)=F(x)=0, \qquad I=0.$$

同一题设可得到不同结果，说明当前题面条件不足。

本题常见的正确形式是

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}[F(x+a)-F(x)]\,dx.$$

此时由

$$\displaystyle F(x+a)-F(x)=\int_x^{x+a}f(t)\,dt$$

并交换积分次序，对每个固定的 $\displaystyle t$，变量 $\displaystyle x$ 的取值区间为

$$\displaystyle t-a\le x\le t,$$

长度恒为 $\displaystyle a$。因此

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}[F(x+a)-F(x)]\,dx =a\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,dt =a.$$

解答题

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

袋中装有大小相同的10只球，编号为 $\displaystyle 0,1,2,\cdots,9$，从中任取一只，观察其号码，按“大于5”“等于5”“小于5”三种情况定义一个随机变量 $\displaystyle X$，并写出 $\displaystyle X$ 的分布律和分布函数。

号码小于 $\displaystyle 5$ 的球为 $\displaystyle 0,1,2,3,4$，共有 $\displaystyle 5$ 只；号码等于 $\displaystyle 5$ 的球有 $\displaystyle 1$ 只；号码大于 $\displaystyle 5$ 的球为 $\displaystyle 6,7,8,9$，共有 $\displaystyle 4$ 只。由于每只球被取到的概率相等，故

$$\displaystyle P\{X=-1\}=\frac5{10}=\frac12,$$$$\displaystyle P\{X=0\}=\frac1{10},$$$$\displaystyle P\{X=1\}=\frac4{10}=\frac25.$$

由分布函数的定义

$$\displaystyle F(x)=P\{X\le x\},$$

按 $\displaystyle x$ 经过随机变量的三个可能取值 $\displaystyle -1,0,1$ 分段累加概率，即得上述分布函数。

题目只要求按三种情况定义随机变量，因此具体取值并不唯一；只要给三种情况赋予三个互不相同的实数，并据此正确写出分布律和分布函数即可。这里采用 $\displaystyle -1,0,1$ 的自然编码。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

设随机变量 $\displaystyle X$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上服从均匀分布，现有一常数 $\displaystyle a$，任取 $\displaystyle X$ 的两个值，已知至少有一个大于 $\displaystyle a$ 的概率为 $\displaystyle 0.9$，问 $\displaystyle a$ 是多少？

将两次独立观测记为 $\displaystyle X_1,X_2$，则 $\displaystyle X_1,X_2$ 相互独立，且都服从 $\displaystyle (0,1)$ 上的均匀分布。

因为所求概率为 $\displaystyle 0.9$，必有 $\displaystyle 0<a<1$。于是

$$\displaystyle P\{X_i\le a\}=a,\qquad i=1,2.$$

“至少有一个大于 $\displaystyle a$”的对立事件是“两个观测值都不大于 $\displaystyle a$”，故

$$\displaystyle P\{X_1>a\text{ 或 }X_2>a\} =1-P\{X_1\le a,X_2\le a\}.$$

利用独立性，

$$\displaystyle P\{X_1\le a,X_2\le a\} =P\{X_1\le a\}P\{X_2\le a\} =a^2.$$

因此

$$\displaystyle 1-a^2=0.9,$$

即

$$\displaystyle a^2=0.1=\frac1{10}.$$

由于 $\displaystyle a>0$，所以

$$\displaystyle a=\frac1{\sqrt{10}}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

将三封信随机地投入编号为 $\displaystyle 1,2,3,4$ 的四个邮筒，求没有信的邮筒数 $\displaystyle X$ 的概率函数。

每封信均可投入四个邮筒中的任意一个，且各种投入方式等可能。三封信共有

$$\displaystyle 4^3=64$$

种有序投入方式。

由于只有三封信，至少有一个邮筒为空；又至少有一个邮筒收到信，因此

$$\displaystyle X\in\{1,2,3\}.$$

当 $\displaystyle X=3$ 时，只有一个邮筒收到全部三封信。先选择这个邮筒，共有 $\displaystyle 4$ 种方式，因此

$$\displaystyle P\{X=3\}=\frac4{64}=\frac1{16}.$$

当 $\displaystyle X=1$ 时，恰有三个邮筒收到信。由于只有三封信，这等价于三封信分别进入三个不同的邮筒。第一封、第二封、第三封信依次有 $\displaystyle 4,3,2$ 种选择，因此有

$$\displaystyle 4\times3\times2=24$$

种方式，故

$$\displaystyle P\{X=1\}=\dfrac{24}{64}=\frac38.$$

当 $\displaystyle X=2$ 时，恰有两个邮筒收到信。可以用总概率减去其余两种情况：

$$\displaystyle P\{X=2\} =1-P\{X=1\}-P\{X=3\} =1-\frac38-\frac1{16} =\frac9{16}.$$

也可直接计数：先从四个邮筒中选两个，共有 $\displaystyle \binom42=6$ 种；三封信投入这两个邮筒且两个邮筒均非空的方式数为

$$\displaystyle 2^3-2=6,$$

故共有 $\displaystyle 6\times6=36$ 种，概率同样为

$$\displaystyle \dfrac{36}{64}=\frac9{16}.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间 $\displaystyle ( -\infty,0]$、$\displaystyle (0,1]$ 和 $\displaystyle (1,+\infty)$ 的概率分别为 $\displaystyle 0.2,0.5$ 和 $\displaystyle 0.3$，并且随机点在区间 $\displaystyle (0,1]$ 上分布均匀。设随机点落入 $\displaystyle ( -\infty,0]$ 得0分，落入 $\displaystyle (1,+\infty)$ 得1分，而落入 $\displaystyle (0,1]$ 坐标为 $\displaystyle x$ 的点得 $\displaystyle x$ 分。试求得分 $\displaystyle X$ 的分布函数 $\displaystyle F(x)$。

得分随机变量 $\displaystyle X$ 的取值范围为 $\displaystyle [0,1]$。其中：

• 随机点落入 $\displaystyle ( -\infty,0]$ 时，$\displaystyle X=0$，故在 $\displaystyle 0$ 处有概率质量 $\displaystyle 0.2$；
• 随机点落入 $\displaystyle (1,+\infty)$ 时，$\displaystyle X=1$，故在 $\displaystyle 1$ 处有概率质量 $\displaystyle 0.3$；
• 随机点落入 $\displaystyle (0,1]$ 时，得分等于随机点坐标，并且条件分布为 $\displaystyle (0,1]$ 上的均匀分布，这一部分的总概率为 $\displaystyle 0.5$。

当 $\displaystyle x<0$ 时，得分不可能小于等于 $\displaystyle x$，所以

$$\displaystyle F(x)=P\{X\le x\}=0.$$

当 $\displaystyle 0\le x<1$ 时，事件 $\displaystyle \{X\le x\}$ 包括两部分：一是落入 $\displaystyle ( -\infty,0]$ 而得 $\displaystyle 0$ 分，概率为 $\displaystyle 0.2$；二是落入 $\displaystyle (0,1]$ 且坐标不超过 $\displaystyle x$。由条件均匀分布，

$$\displaystyle P\{X\le x,\,X\in(0,1]\} =0.5\cdot\dfrac{x-0}{1-0} =0.5x.$$

因此

$$\displaystyle F(x)=0.2+0.5x, \qquad 0\le x<1.$$

当 $\displaystyle x\ge1$ 时，所有可能得分都不超过 $\displaystyle x$，故

$$\displaystyle F(x)=1.$$

特别地，

$$\displaystyle F(0)=0.2, \qquad F(1-)=0.7, \qquad F(1)=1,$$

可见分布函数分别在 $\displaystyle 0$ 和 $\displaystyle 1$ 处有大小为 $\displaystyle 0.2$ 和 $\displaystyle 0.3$ 的跳跃。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从 $\displaystyle [a,a+2]$ 上的均匀分布，对 $\displaystyle X$ 进行3次独立观测，求最多有一次观测值小于 $\displaystyle a+1$ 的概率。

对任意一次观测，由于 $\displaystyle X$ 在长度为 $\displaystyle 2$ 的区间 $\displaystyle [a,a+2]$ 上均匀分布，而 $\displaystyle [a,a+1)$ 的长度为 $\displaystyle 1$，所以

$$\displaystyle p=P\{X<a+1\}=\dfrac{1}{2}.$$

连续型随机变量在单点处的概率为 $\displaystyle 0$，因此将“小于”改为“不大于”也不影响结果。

设三次独立观测中小于 $\displaystyle a+1$ 的次数为 $\displaystyle N$，则

$$\displaystyle N\sim B\left(3,\frac12\right).$$

“最多有一次”即 $\displaystyle N\le1$，故

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{N\le1\} &=P\{N=0\}+P\{N=1\}\\ &=\binom30\left(\frac12\right)^0\left(\frac12\right)^3 +\binom31\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^2\\ &=\frac18+\frac38\\ &=\frac12. \end{aligned}$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为 $\displaystyle 0.1,0.2,0.3$，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 $\displaystyle X$ 的分布函数。

设三个部件是否需要调整的指示变量分别为 $\displaystyle I_1,I_2,I_3$，则

$$\displaystyle P\{I_1=1\}=0.1,\qquad P\{I_2=1\}=0.2,\qquad P\{I_3=1\}=0.3,$$

并且三个指示变量相互独立。需调整的部件数为

$$\displaystyle X=I_1+I_2+I_3,$$

故 $\displaystyle X$ 的可能取值为 $\displaystyle 0,1,2,3$。

当 $\displaystyle X=0$ 时，三个部件均不需要调整，因此

$$\displaystyle P\{X=0\}=0.9\times0.8\times0.7=0.504.$$

当 $\displaystyle X=1$ 时，恰有一个部件需要调整。按需要调整的是第一、第二、第三个部件分别计算，得

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X=1\} &=0.1\times0.8\times0.7 +0.9\times0.2\times0.7 +0.9\times0.8\times0.3\\ &=0.056+0.126+0.216\\ &=0.398. \end{aligned}$$

当 $\displaystyle X=2$ 时，恰有两个部件需要调整，故

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X=2\} &=0.1\times0.2\times0.7 +0.1\times0.8\times0.3 +0.9\times0.2\times0.3\\ &=0.014+0.024+0.054\\ &=0.092. \end{aligned}$$

当 $\displaystyle X=3$ 时，三个部件均需要调整，因此

$$\displaystyle P\{X=3\}=0.1\times0.2\times0.3=0.006.$$

检验概率之和：

$$\displaystyle 0.504+0.398+0.092+0.006=1.$$

由分布函数定义

$$\displaystyle F(x)=P\{X\le x\},$$

逐段累加即可得到答案中的阶梯形分布函数。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从 $\displaystyle (0,1)$ 上的均匀分布，求下列函数的密度函数：

（Ⅰ）$\displaystyle Y_1=e^X$；（Ⅱ）$\displaystyle Y_2=-2\ln X$；（Ⅲ）$\displaystyle Y_3=\dfrac1X$；（Ⅳ）$\displaystyle Y_4=X^2$。

由于 $\displaystyle X\sim U(0,1)$，其密度为

$$\displaystyle f_X(x)=\begin{cases} 1,&0<x<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

四个变换在 $\displaystyle (0,1)$ 上均为严格单调函数，可以使用一维随机变量函数变换公式

$$\displaystyle f_Y(y)=f_X\bigl(x(y)\bigr)\left|\dfrac{dx}{dy}\right|,$$

其中 $\displaystyle x=x(y)$ 是变换的反函数。

（Ⅰ）由

$$\displaystyle y=e^x$$

可知

$$\displaystyle x=\ln y, \qquad \dfrac{dx}{dy}=\frac1y.$$

当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，$\displaystyle 1<y<e$。因此

$$\displaystyle f_{Y_1}(y) =f_X(\ln y)\left|\frac1y\right| =\frac1y, \qquad 1<y<e.$$

（Ⅱ）由

$$\displaystyle y=-2\ln x$$

可得

$$\displaystyle x=e^{-y/2}, \qquad \dfrac{dx}{dy}=-\frac12e^{-y/2}.$$

当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，$\displaystyle y>0$，故

$$\displaystyle f_{Y_2}(y) =f_X\left(e^{-y/2}\right) \left|-\frac12e^{-y/2}\right| =\frac12e^{-y/2}, \qquad y>0.$$

这正是参数为 $\displaystyle \frac12$ 的指数分布密度。

（Ⅲ）由

$$\displaystyle y=\frac1x$$

得

$$\displaystyle x=\frac1y, \qquad \dfrac{dx}{dy}=-\frac1{y^2}.$$

当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，$\displaystyle y>1$，所以

$$\displaystyle f_{Y_3}(y) =f_X\left(\frac1y\right) \left|-\frac1{y^2}\right| =\frac1{y^2}, \qquad y>1.$$

（Ⅳ）由

$$\displaystyle y=x^2$$

且 $\displaystyle x>0$，可得唯一反函数

$$\displaystyle x=\sqrt y, \qquad \dfrac{dx}{dy}=\frac1{2\sqrt y}.$$

当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，$\displaystyle 0<y<1$，于是

$$\displaystyle f_{Y_4}(y) =f_X(\sqrt y)\frac1{2\sqrt y} =\frac1{2\sqrt y}, \qquad 0<y<1.$$

各密度均满足非负性，且在各自取值范围上的积分均等于 $\displaystyle 1$。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

设 $\displaystyle f(x)$ 是非负随机变量的概率密度，求 $\displaystyle Y=\sqrt X$ 的概率密度。

因为 $\displaystyle X$ 为非负随机变量，所以

$$\displaystyle X\ge0, \qquad Y=\sqrt X\ge0.$$

先用分布函数法。对 $\displaystyle y<0$，有

$$\displaystyle F_Y(y)=P\{Y\le y\}=0.$$

对 $\displaystyle y\ge0$，由于平方根函数在非负区间上单调递增，

$$\displaystyle \begin{aligned} F_Y(y) &=P\{\sqrt X\le y\}\\ &=P\{X\le y^2\}\\ &=F_X(y^2). \end{aligned}$$

在 $\displaystyle y>0$ 处求导，得到

$$\displaystyle \begin{aligned} f_Y(y) &=\dfrac{d}{dy}F_X(y^2)\\ &=f_X(y^2)\cdot2y\\ &=2y f(y^2). \end{aligned}$$

因此

$$\displaystyle f_Y(y)=2y f(y^2),\qquad y>0.$$

也可以直接使用单调变换公式。由

$$\displaystyle y=\sqrt x$$

得反函数

$$\displaystyle x=y^2, \qquad \left|\dfrac{dx}{dy}\right|=2y,$$

从而同样得到

$$\displaystyle f_Y(y)=f(y^2)\cdot2y, \qquad y>0.$$

归一性检验为

$$\displaystyle \int_0^{+\infty}2y f(y^2)\,dy =\int_0^{+\infty}f(x)\,dx =1,$$

其中作了换元 $\displaystyle x=y^2$。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从标准正态分布 $\displaystyle N(0,1)$，令 $\displaystyle Y=|X|$，求 $\displaystyle Y$ 的概率密度。

标准正态随机变量 $\displaystyle X$ 的密度为

$$\displaystyle \varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, \qquad -\infty<x<+\infty.$$

由于

$$\displaystyle Y=|X|\ge0,$$

当 $\displaystyle y<0$ 时，

$$\displaystyle F_Y(y)=0.$$

当 $\displaystyle y\ge0$ 时，

$$\displaystyle \begin{aligned} F_Y(y) &=P\{|X|\le y\}\\ &=P\{-y\le X\le y\}\\ &=\Phi(y)-\Phi(-y). \end{aligned}$$

利用标准正态分布的对称性

$$\displaystyle \Phi(-y)=1-\Phi(y),$$

得

$$\displaystyle F_Y(y)=2\Phi(y)-1, \qquad y\ge0.$$

对 $\displaystyle y>0$ 求导：

$$\displaystyle \begin{aligned} f_Y(y) &=2\Phi'(y)\\ &=2\varphi(y)\\ &=\frac2{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}\\ &=\sqrt{\frac2\pi}e^{-y^2/2}. \end{aligned}$$

也可以从多对一变换角度理解：当 $\displaystyle y>0$ 时，方程 $\displaystyle |x|=y$ 有两个原像 $\displaystyle x=y$ 与 $\displaystyle x=-y$，故

$$\displaystyle f_Y(y)=\varphi(y)+\varphi(-y)=2\varphi(y).$$

该分布称为半正态分布。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳6次，若6次均未过竿，则认定其为落选。如果一位参试者在试跳指定高度的过竿率为 $\displaystyle 0.6$，求他在测试中所跳次数的概率分布。

每次试跳过竿的概率为

$$\displaystyle p=0.6,$$

未过竿的概率为

$$\displaystyle q=1-p=0.4.$$

默认各次试跳结果相互独立且单次过竿率保持不变。

对于 $\displaystyle k=1,2,3,4,5$，恰好试跳 $\displaystyle k$ 次意味着前 $\displaystyle k-1$ 次均未过竿，第 $\displaystyle k$ 次过竿，因此

$$\displaystyle P\{X=k\}=q^{k-1}p=0.6(0.4)^{k-1}.$$

分别为

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X=1\}&=0.6,\\ P\{X=2\}&=0.4\times0.6=0.24,\\ P\{X=3\}&=(0.4)^2\times0.6=0.096,\\ P\{X=4\}&=(0.4)^3\times0.6=0.0384,\\ P\{X=5\}&=(0.4)^4\times0.6=0.01536. \end{aligned}$$

对于 $\displaystyle X=6$，只要前五次均未过竿，第六次就一定会进行。第六次无论过竿还是未过竿，实际试跳次数均为 $\displaystyle 6$，所以

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{X=6\} &=P\{\text{前五次均未过竿}\}\\ &=q^5\\ &=(0.4)^5\\ &=0.01024. \end{aligned}$$

注意不能将 $\displaystyle P\{X=6\}$ 只写成 $\displaystyle q^5p$，因为“第六次也未过竿”的情形同样进行了六次试跳，也应计入 $\displaystyle X=6$。

最后检验：

$$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}q^{k-1}p+q^5 =p\dfrac{1-q^5}{1-q}+q^5 =1-q^5+q^5 =1.$$

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

设随机变量 $\displaystyle X$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的指数分布，$\displaystyle G(x)$ 是区间 $\displaystyle [0,1]$ 上均匀分布的分布函数，证明随机变量 $\displaystyle Y=G(X)$ 的概率分布不是区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的均匀分布。

区间 $\displaystyle [0,1]$ 上均匀分布的分布函数为

$$\displaystyle G(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ x,&0\le x<1,\\ 1,&x\ge1. \end{cases}$$

由于 $\displaystyle X$ 服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的指数分布，故

$$\displaystyle P\{X\ge0\}=1,$$

从而

$$\displaystyle Y=G(X)= \begin{cases} X,&0\le X<1,\\ 1,&X\ge1. \end{cases}$$

下面求 $\displaystyle Y$ 的分布函数。

当 $\displaystyle y<0$ 时，显然

$$\displaystyle F_Y(y)=P\{Y\le y\}=0.$$

当 $\displaystyle 0\le y<1$ 时，事件 $\displaystyle \{Y\le y\}$ 等价于 $\displaystyle \{X\le y\}$，所以

$$\displaystyle F_Y(y)=P\{X\le y\}=1-e^{-\lambda y}.$$

当 $\displaystyle y\ge1$ 时，由 $\displaystyle 0\le Y\le1$，得

$$\displaystyle F_Y(y)=1.$$

因此

$$\displaystyle F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<0,\\[1mm] 1-e^{-\lambda y},&0\le y<1,\\[1mm] 1,&y\ge1. \end{cases}$$

在 $\displaystyle y=1$ 处，分布函数的跳跃量为

$$\displaystyle \begin{aligned} P\{Y=1\} &=F_Y(1)-F_Y(1-)\\ &=1-\left(1-e^{-\lambda}\right)\\ &=e^{-\lambda}>0. \end{aligned}$$

也就是说，$\displaystyle Y$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 上有连续部分，其密度为

$$\displaystyle f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y},\qquad 0<y<1,$$

同时在点 $\displaystyle y=1$ 处还有概率质量 $\displaystyle e^{-\lambda}$。而区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的均匀分布是连续型分布，其分布函数在 $\displaystyle [0,1]$ 上为 $\displaystyle y$，且任一点的概率均为 $\displaystyle 0$。故 $\displaystyle Y$ 不服从区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的均匀分布。

主观题李正元练习题·概率论与数理统计解答题

已知随机变量 $\displaystyle X$ 的概率密度

$$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x,&0\le x<1,\\ 2-x,&1\le x<2,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$

（Ⅰ）求分布函数 $\displaystyle F(x)$；（Ⅱ）令 $\displaystyle Y=F(X)$，求 $\displaystyle Y$ 的分布函数 $\displaystyle F_Y(y)$。

（Ⅰ）由分布函数的定义

$$\displaystyle F(x)=P\{X\le x\}=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.$$

当 $\displaystyle x<0$ 时，

$$\displaystyle F(x)=0.$$

当 $\displaystyle 0\le x<1$ 时，

$$\displaystyle F(x)=\int_0^x t\,dt=\dfrac{x^2}{2}.$$

当 $\displaystyle 1\le x<2$ 时，

$$\displaystyle \begin{aligned} F(x) &=\int_0^1t\,dt+\int_1^x(2-t)\,dt\\ &=\frac12+\left(2x-\dfrac{x^2}{2}-\frac32\right)\\ &=2x-\dfrac{x^2}{2}-1. \end{aligned}$$

当 $\displaystyle x\ge2$ 时，

$$\displaystyle F(x)=1.$$

于是

$$\displaystyle F(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\[1mm] \dfrac{x^2}{2},&0\le x<1,\\[2mm] 2x-\dfrac{x^2}{2}-1,&1\le x<2,\\[2mm] 1,&x\ge2. \end{cases}$$

在连接点处有

$$\displaystyle F(1-)=F(1)=\frac12, \qquad F(2-)=F(2)=1,$$

故 $\displaystyle F(x)$ 连续；并且在 $\displaystyle [0,2]$ 上严格递增。

（Ⅱ）由于 $\displaystyle F(x)$ 连续且在随机变量 $\displaystyle X$ 的取值区间 $\displaystyle [0,2]$ 上严格递增，故对 $\displaystyle 0\le y<1$，存在唯一的 $\displaystyle x_y\in[0,2)$，使得

$$\displaystyle F(x_y)=y.$$

于是

$$\displaystyle \begin{aligned} F_Y(y) &=P\{Y\le y\}\\ &=P\{F(X)\le y\}\\ &=P\{X\le x_y\}\\ &=F(x_y)\\ &=y. \end{aligned}$$

再结合 $\displaystyle 0\le F(X)\le1$，可得

$$\displaystyle F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<0,\\ y,&0\le y<1,\\ 1,&y\ge1. \end{cases}$$

因此 $\displaystyle Y=F(X)$ 服从区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的均匀分布。这也是概率积分变换的直接应用：当随机变量 $\displaystyle X$ 的分布函数连续时，$\displaystyle F(X)\sim U(0,1)$。