三、实对称矩阵

小题

（一）实对称矩阵的特殊性质

1. 【2010-123-4分】 设 $A$ 为4阶实对称矩阵，且 $A^2+A=O$，若 $A$ 的秩为3，则 $A$ 相似于（ ）

A. $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 由 $A^2+A=O$，可得

$$A(A+E)=O.$$

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则

$${\lambda }^2+\lambda =0,$$

故

$$\lambda =0\text{或}\lambda =-1.$$

又因为 $A$ 为实对称矩阵，所以 $A$ 必能正交相似对角化。由 $r(A)=3$ 知，$A$ 恰有3个非零特征值，因此其4个特征值为

$$-1,-1,-1,0.$$

所以

$$A\sim \mathrm{diag}(-1,-1,-1,0),$$

应选D。

错误选项分析：A、B、C中均出现特征值 $1$，但 $1$ 不满足 ${\lambda }^2+\lambda =0$。

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2. 【2013-123-4分】 矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& b& a\\ 1& a& 1\end{array}\right)$$

与

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

相似的充分必要条件为（ ）

A. $a=0,b=2$    B. $a=0,b$ 为任意常数    C. $a=2,b=0$    D. $a=2,b$ 为任意常数

查看答案与解析

答案： B。

解析： 矩阵 $A$ 为实对称矩阵，故必可相似对角化。由于第1行与第3行相同，向量

$${\xi }_0=(1,0,-1{)}^T$$

是属于特征值 $0$ 的特征向量。

在由

$$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1{)}^T,e_2=(0,1,0{)}^T$$

张成的二维子空间上，$A$ 的矩阵为

$$C=\left(\begin{array}{cc}2& \sqrt{2}a\\ \sqrt{2}a& b\end{array}\right).$$

若 $A$ 与 $B=\mathrm{diag}(2,b,0)$ 相似，则 $C$ 的两个特征值应为 $2,b$。其行列式应满足

$$|C|=2b.$$

而

$$|C|=2b-2a^2,$$

故

$$2b-2a^2=2b⟹a=0.$$

反之，当 $a=0$ 时，

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& b& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right),$$

其特征值正是 $2,b,0$，且 $A$ 为实对称矩阵，所以必与 $\mathrm{diag}(2,b,0)$ 相似。

因此充分必要条件为

$$a=0,$$

而 $b$ 可为任意常数，选B。

（二）实对称矩阵的正交相似对角化

1. 【2021-23-5分】 已知矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& -1& 1\\ -1& 2& -5\end{array}\right),$$

存在可逆矩阵 $P$ 和上三角可逆矩阵 $Q$，使 $PAQ$ 为对角矩阵，则 $P$，$Q$ 可以分别取（ ）

A. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 3& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

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答案： C。

解析： 分别代入各组选项检验。对选项C，取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

先计算

$$AQ=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -1& 2& 0\end{array}\right),$$

再左乘 $P$，得

$$PAQ=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$

确为对角矩阵。

其余选项直接相乘均不能得到对角矩阵，因此选C。

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2. 【2022-23-5分】 设 $A$ 为3阶矩阵，记

$$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充要条件是（ ）。

注：原分类文本漏写了 $\Lambda$，并将特征值中的 $-1$ 误录为 $1$，此处按原真题含义校正。

A. 存在可逆矩阵 $P,Q$，使 $A=P\Lambda Q$    B. 存在可逆矩阵 $P$，使 $A=P\Lambda P^{-1}$

C. 存在正交矩阵 $Q$，使 $A=Q\Lambda Q^{-1}$    D. 存在可逆矩阵 $P$，使 $A=P\Lambda P^T$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 若 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$，则三个特征值两两不同，因此 $A$ 有3个线性无关的特征向量，必可相似对角化。于是存在可逆矩阵 $P$，使

$$P^{-1}AP=\Lambda ,$$

即

$$A=P\Lambda P^{-1}.$$

反之，若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A$ 与 $\Lambda$ 相似，故二者特征值相同，即 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$。

A只表示矩阵等价，本质上只保持秩；C要求正交相似，条件过强；D是合同关系，不保持一般矩阵的特征值。因此选B。

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3. 【2022-1-5分】 下列四个选项中，是 $A_{3\times 3}$ 可对角化的充分而非必要条件的选项为（ ）。

A. $A$ 有3个不同的特征值    B. $A$ 有3个线性无关的特征向量

C. $A$ 有3个两两线性无关的特征向量    D. $A$ 的属于不同特征值的特征向量正交

查看答案与解析

答案： A。

解析： 若3阶矩阵 $A$ 有3个不同的特征值，则属于不同特征值的特征向量线性无关，所以 $A$ 可对角化。因此A是充分条件。

但可对角化矩阵不一定有3个不同的特征值。例如单位矩阵 $E$ 只有一个特征值 $1$，却已经是对角矩阵。因此A不是必要条件。

B是可对角化的充要条件。C中“两两线性无关”不能保证三个向量整体线性无关。D并不能保证存在3个线性无关的特征向量，因而不是一般充分条件。

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4. 【2024-2-5分】 设 $A$，$B$ 为二阶矩阵，且 $AB=BA$，则“$A$ 有两个不相等的特征值”是“$B$ 可对角化”的（ ）。

A. 充分必要条件    B. 充分不必要条件    C. 必要不充分条件    D. 既不充分也不必要条件

查看答案与解析

答案： B。

解析： 若 $A$ 有两个不相等的特征值，则 $A$ 有两个线性无关的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$，并且每个特征子空间都是一维的。

由 $AB=BA$，若

$$A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i,$$

则

$$A(B{\alpha }_i)=B(A{\alpha }_i)={\lambda }_{i}B{\alpha }_i.$$

所以 $B{\alpha }_i$ 仍在 $A$ 的属于 ${\lambda }_i$ 的一维特征子空间内，因而存在常数 ${\mu }_i$，使

$$B{\alpha }_i={\mu }_i{\alpha }_i.$$

故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 也是 $B$ 的两个线性无关的特征向量，$B$ 可对角化。因此该条件是充分的。

它不是必要条件。例如取

$$A=E,B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$

则 $AB=BA$，且 $B$ 可对角化，但 $A$ 只有一个特征值。因此选B。

大题

（一）实对称矩阵的特殊性质

1. 【1995-12-7分】 设三阶实对称阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=-1$，${\lambda }_2={\lambda }_3=1$，对应于 ${\lambda }_1$ 的特征向量为 ${\xi }_1=(0,1,1{)}^T$，求 $A$。

查看答案与解析

答案：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right).$$

解析： 将 ${\xi }_1$ 单位化，得

$$q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1{)}^T.$$

由于另外两个特征值均为 $1$，故 $A$ 在 $q_1$ 的正交补空间上等于恒等变换。利用谱分解，

$$\begin{array}{rl}A& =(-1)q_1{q}_1^T+1\cdot (E-q_1{q}_1^T)\\ & =E-2q_1{q}_1^T.\end{array}$$

而

$$q_1{q}_1^T=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),$$

所以

$$\begin{array}{rl}A& =E-\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right).\end{array}$$

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2. 【1997-3-10分】 设三阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$；矩阵 $A$ 的属于特征值 $1,2$ 的特征向量分别是

$${\alpha }_1=(-1,-1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,-2,-1{)}^T.$$

（1）求 $A$ 的属于特征值3的特征向量；

（2）求矩阵 $A$。

查看答案与解析

答案： （1）属于特征值3的特征向量可取

$${\alpha }_3=(1,0,1{)}^T;$$

（2）

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{13}{6}& -\frac{1}{3}& \frac{5}{6}\\ -\frac{1}{3}& \frac{5}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{5}{6}& \frac{1}{3}& \frac{13}{6}\end{array}\right).$$

解析： （1）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交。因此 ${\alpha }_3=(x,y,z{)}^T$ 应满足

$$\{\begin{array}{l}-x-y+z=0,\\ x-2y-z=0.\end{array}$$

解得

$$y=0,z=x.$$

故可取

$${\alpha }_3=(1,0,1{)}^T.$$

（2）三个向量的模分别为

$$\Vert {\alpha }_1\Vert =\sqrt{3},\Vert {\alpha }_2\Vert =\sqrt{6},\Vert {\alpha }_3\Vert =\sqrt{2}.$$

令

$$q_1=\frac{1}{\sqrt{3}}{\alpha }_1,q_2=\frac{1}{\sqrt{6}}{\alpha }_2,q_3=\frac{1}{\sqrt{2}}{\alpha }_3,$$

则 $Q=(q_1,q_2,q_3)$ 为正交矩阵，且

$$A=Q\mathrm{diag}(1,2,3)Q^T.$$

等价地，

$$A=q_1{q}_1^T+2q_2{q}_2^T+3q_3{q}_3^T.$$

计算得

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{13}{6}& -\frac{1}{3}& \frac{5}{6}\\ -\frac{1}{3}& \frac{5}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{5}{6}& \frac{1}{3}& \frac{13}{6}\end{array}\right).$$

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3. 【2004-4-12分】 设三阶实对称矩阵 $A$ 的秩为2，${\lambda }_1={\lambda }_2=6$ 为矩阵 $A$ 的二重特征值。若

$${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(2,1,1{)}^T,{\alpha }_3=(-1,2,-3{)}^T$$

都是 $A$ 的属于特征值6的特征向量。

（1）求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量；

（2）求矩阵 $A$。

查看答案与解析

答案： （1）另一特征值为

$${\lambda }_3=0,$$

对应特征向量可取

$$\beta =(1,-1,-1{)}^T;$$

（2）

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right).$$

解析： 先注意

$${\alpha }_3=5{\alpha }_1-3{\alpha }_2,$$

所以三个已知向量只张成一个二维特征子空间。

（1）因为 $r(A)=2$，故 $A$ 有一个零特征值，即

$${\lambda }_3=0.$$

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此对应于 $0$ 的特征向量 $\beta =(x,y,z{)}^T$ 应满足

$$\{\begin{array}{l}x+y=0,\\ 2x+y+z=0.\end{array}$$

解得

$$y=-x,z=-x.$$

故可取

$$\beta =(1,-1,-1{)}^T.$$

（2）由于 $\Vert \beta {\Vert }^2=3$，零特征空间的正交投影矩阵为

$$\frac{1}{3}\beta {\beta }^T.$$

而 $A$ 在 ${\beta }^{\perp }$ 上的特征值均为6，在 $\mathrm{span}\{\beta \}$ 上的特征值为0，所以

$$\begin{array}{rl}A& =6\left(E-\frac{1}{3}\beta {\beta }^T\right)\\ & =6E-2\beta {\beta }^T.\end{array}$$

计算得

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right).$$

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4. 【2007-1234-11分】 设三阶实对称矩阵 $A$ 的特征值

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=-2,$$

${\alpha }_1=(1,-1,1{)}^T$ 是 $A$ 的属于 ${\lambda }_1=1$ 的一个特征向量，记

$$B=A^5-4A^3+E,$$

其中 $E$ 为3阶单位矩阵。

（1）验证 ${\alpha }_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量；

（2）求矩阵 $B$。

查看答案与解析

答案： （1）$B$ 的特征值为 $-2,1,1$。属于 $-2$ 的特征向量为

$$k(1,-1,1{)}^T(k\ne 0),$$

属于 $1$ 的特征向量为所有满足

$$x-y+z=0$$

的非零向量，例如可取一组基础解系

$$(1,1,0{)}^T,(1,0,-1{)}^T;$$

（2）

$$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right).$$

解析： 设

$$f(t)=t^5-4t^3+1.$$

若 $A\alpha =\lambda \alpha$，则

$$B\alpha =f(A)\alpha =f(\lambda )\alpha .$$

对三个特征值分别计算：

$$f(1)=1-4+1=-2,$$$$f(2)=32-32+1=1,$$$$f(-2)=-32+32+1=1.$$

因此 ${\alpha }_1$ 是 $B$ 属于特征值 $-2$ 的特征向量；而 $A$ 的另两个互相正交且都与 ${\alpha }_1$ 正交的特征向量，在 $B$ 下均对应特征值 $1$。

所以 $B$ 在 $\mathrm{span}\{{\alpha }_1\}$ 上的特征值为 $-2$，在其正交补上为 $1$。由于

$$\Vert {\alpha }_1{\Vert }^2=3,$$

故

$$\begin{array}{rl}B& =1\cdot E+(-2-1)\frac{{\alpha }_1{\alpha }_1^T}{3}\\ & =E-{\alpha }_1{\alpha }_1^T.\end{array}$$

计算即得

$$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right).$$

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5. 【2011-123-11分】 设 $A$ 为3阶实对称矩阵，$A$ 的秩为2，且

$$A\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\\ 1& 1\end{array}\right).$$

（1）求 $A$ 的所有特征值与特征向量；

（2）求矩阵 $A$。

查看答案与解析

答案： （1）特征值及对应特征向量为

$$\begin{array}{cc}\text{特征值}& \text{特征向量}\\ -1& k(1,0,-1{)}^T\\ 1& k(1,0,1{)}^T\\ 0& k(0,1,0{)}^T\end{array}(k\ne 0);$$

（2）

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$

解析： 令

$$v_1=(1,0,-1{)}^T,v_2=(1,0,1{)}^T.$$

由题设矩阵等式的两列分别得到

$$A{v}_1=-v_1,A{v}_2=v_2.$$

故 $-1,1$ 是 $A$ 的两个特征值，对应特征向量分别为 $v_1,v_2$。

又因为 $r(A)=2$，所以 $0$ 也是 $A$ 的特征值。由于 $A$ 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量互相正交。与 $v_1,v_2$ 都正交的向量可取

$$v_3=(0,1,0{)}^T.$$

于是 $A{v}_3=0$。

进一步，由

$$e_1=\frac{1}{2}(v_1+v_2),e_3=\frac{1}{2}(v_2-v_1),$$

可得

$$A{e}_1=e_3,A{e}_2=0,A{e}_3=e_1.$$

故

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$

（二）实对称矩阵的正交相似对角化

1. 【1996-4-8分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& y& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right).$$

（1）已知 $A$ 的一个特征值为3，试求 $y$；

（2）求矩阵 $P$，使 $(AP{)}^T(AP)$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案： （1）

$$y=2;$$

（2）可取

$$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& -1& 0& 1\end{array}\right),$$

此时

$$(AP{)}^T(AP)=\mathrm{diag}(1,1,1,9).$$

解析： （1）矩阵 $A$ 为分块对角矩阵。左上角二阶块

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

的特征值为 $1,-1$，所以已知特征值 $3$ 必来自右下角二阶块

$$C=\left(\begin{array}{cc}y& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

由

$$|C-3E|=\left|\begin{array}{cc}y-3& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=2-y=0,$$

得

$$y=2.$$

（2）此时 $A$ 的特征值为

$$1,-1,1,3.$$

可分别取一组标准正交特征向量

$$q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0,0{)}^T,$$$$q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,0,1,-1{)}^T,$$$$q_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0,0{)}^T,$$$$q_4=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,0,1,1{)}^T.$$

令 $P=(q_1,q_2,q_3,q_4)$，则 $P$ 为正交矩阵，且 $AP$ 的各列分别为

$$q_1,q_2,-q_3,3q_4.$$

因此

$$(AP{)}^T(AP)=\mathrm{diag}(1,1,1,9).$$

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2. 【2001-34-9分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right),$$

已知线性方程组 $Ax=\beta$ 有解但不唯一，试求：

（1）$a$ 的值；

（2）正交矩阵 $Q$，使 $Q^{T}AQ$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案： （1）

$$a=-2;$$

（2）可取

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{2}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right),$$

此时

$$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(-3,0,3).$$

解析： （1）方程组有解但不唯一，故

$$r(A)=r(A,\beta )<3,$$

特别地应有 $|A|=0$。计算得

$$\begin{array}{rl}|A|& =-(a-1{)}^2(a+2).\end{array}$$

所以

$$a=1\text{或}a=-2.$$

当 $a=1$ 时，$A$ 的三行相同，列空间为

$$\mathrm{span}\{(1,1,1{)}^T\},$$

而 $\beta =(1,1,-2{)}^T$ 不在该空间中，方程组无解，舍去。

当 $a=-2$ 时，$r(A)=2$，且 $(1,1,1{)}^T$ 为齐次方程 $Ax=0$ 的解。又

$$(1,1,1{)}^T\beta =0,$$

故 $\beta$ 属于 $A$ 的列空间，方程组有解且不唯一。因此

$$a=-2.$$

（2）此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& -2& 1\\ -2& 1& 1\end{array}\right).$$

其三个互相正交的特征向量可取

$${\xi }_1=(1,-2,1{)}^T,{\lambda }_1=-3,$$$${\xi }_2=(1,1,1{)}^T,{\lambda }_2=0,$$$${\xi }_3=(-1,0,1{)}^T,{\lambda }_3=3.$$

单位化后作为 $Q$ 的列，即得到所给正交矩阵。

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3. 【2006-3-13分】 设3阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为3，向量

$${\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T,{\alpha }_2=(0,-1,1{)}^T$$

是线性方程组 $Ax=0$ 的两个解。

（1）求 $A$ 的特征值与特征向量；

（2）求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$，使得 $Q^{T}AQ=\Lambda$；

（3）求 $A$ 及 $(A-\frac{3}{2}E{)}^6$，其中 $E$ 为3阶单位矩阵。

查看答案与解析

答案： （1）$A$ 的特征值为 $0,0,3$。属于 $0$ 的特征向量为所有满足 $x+y+z=0$ 的非零向量；属于 $3$ 的特征向量为

$$k(1,1,1{)}^T(k\ne 0);$$

（2）可取

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),\Lambda =\mathrm{diag}(0,0,3);$$

（3）

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),$$$${\left(A-\frac{3}{2}E\right)}^6=\frac{729}{64}E.$$

解析： （1）由 $A{\alpha }_1=A{\alpha }_2=0$，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，知 $0$ 至少是二重特征值。

又因 $A$ 各行元素之和均为3，故

$$A(1,1,1{)}^T=3(1,1,1{)}^T.$$

所以 $3$ 是另一个特征值，对应特征向量为 $(1,1,1{)}^T$。

由于 $A$ 为3阶矩阵，其全部特征值为

$$0,0,3.$$

（2）在零特征空间中取互相正交的向量

$${\xi }_1=(-1,2,-1{)}^T,{\xi }_2=(1,0,-1{)}^T.$$

再取

$${\xi }_3=(1,1,1{)}^T.$$

单位化后作为列向量即可构成题中 $Q$。

（3）因为

$$A=Q\mathrm{diag}(0,0,3)Q^T,$$

故

$$A=3q_3{q}_3^T=3\cdot \frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

矩阵 $A-\frac{3}{2}E$ 的特征值为

$$-\frac{3}{2},-\frac{3}{2},\frac{3}{2}.$$

六次方后三个特征值均为

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^6=\frac{729}{64},$$

因此

$${\left(A-\frac{3}{2}E\right)}^6=\frac{729}{64}E.$$

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4. 【2006-12-9分】 设3阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为3，向量

$${\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T,{\alpha }_2=(0,-1,1{)}^T$$

是线性方程组 $Ax=0$ 的两个解。

（1）求 $A$ 的特征值与特征向量；

（2）求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$，使得 $Q^{T}AQ=\Lambda$。

查看答案与解析

答案： （1）特征值为 $0,0,3$。属于 $0$ 的特征向量为所有满足

$$x+y+z=0$$

的非零向量；属于 $3$ 的特征向量为

$$k(1,1,1{)}^T(k\ne 0);$$

（2）可取

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),$$$$\Lambda =\mathrm{diag}(0,0,3).$$

解析： 本题前两问与上一题相同。由两个线性无关的齐次方程解可知，$0$ 的特征子空间维数至少为2；由各行元素之和为3可知，$(1,1,1{)}^T$ 是属于特征值3的特征向量。

取零特征空间的一组正交基

$$(-1,2,-1{)}^T,(1,0,-1{)}^T,$$

再与 $(1,1,1{)}^T$ 一同单位化，即得到上述正交矩阵 $Q$。

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5. 【2010-23-11分】 设

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -1& 3& a\\ 4& a& 0\end{array}\right),$$

正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T}AQ$ 为对角矩阵，若 $Q$ 的第1列为

$$\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^T,$$

求 $a$，$Q$。

查看答案与解析

答案：

$$a=-1.$$

可取

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),$$

此时

$$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(2,-4,5).$$

解析： 由于 $Q$ 的第1列是 $A$ 的单位特征向量，令

$${\xi }_1=(1,2,1{)}^T.$$

应有

$$A{\xi }_1={\lambda }_1{\xi }_1.$$

计算

$$A{\xi }_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 5+a\\ 4+2a\end{array}\right).$$

由第一分量得 ${\lambda }_1=2$，于是

$$\{\begin{array}{l}5+a=4,\\ 4+2a=2,\end{array}$$

均给出

$$a=-1.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -1& 3& -1\\ 4& -1& 0\end{array}\right).$$

除 ${\lambda }_1=2$ 外，另外两个特征值为

$$-4,5,$$

可分别取特征向量

$${\xi }_2=(-1,0,1{)}^T,{\xi }_3=(1,-1,1{)}^T.$$

三个向量两两正交。单位化后依次作为 $Q$ 的三列，即得到所给结果。

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6. 【2021-23-12分】 矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& a& b\end{array}\right)$$

仅有两个不同的特征值。若 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a$，$b$ 的值，并求可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案： 共有两组：

第一组

$$a=-1,b=3,$$

可取

$$P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& -1\end{array}\right),$$

使

$$P_1^{-1}A{P}_1=\mathrm{diag}(3,3,1);$$

第二组

$$a=1,b=1,$$

可取

$$P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),$$

使

$$P_2^{-1}A{P}_2=\mathrm{diag}(1,1,3).$$

解析： 矩阵 $A$ 为分块下三角矩阵，其特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =(\lambda -b)\left|\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ -1& \lambda -2\end{array}\right|\\ & =(\lambda -b)(\lambda -1)(\lambda -3).\end{array}$$

因此已有特征值 $1,3$。题设称只有两个不同特征值，故

$$b=1\text{或}b=3.$$

情形一：$b=3$。

特征值 $3$ 为二重根。要使 $A$ 可对角化，其特征子空间维数必须为2。解

$$(A-3E)x=0$$

时，由前两行得 $x_1=x_2=t$，第三行变为

$$(1+a)t=0.$$

要使 $t$ 可自由取值，必须有

$$a=-1.$$

此时属于 $3$ 的两个线性无关特征向量可取

$$(1,1,0{)}^T,(0,0,1{)}^T,$$

属于 $1$ 的特征向量可取

$$(1,-1,-1{)}^T.$$

由此得到 $P_1$。

情形二：$b=1$。

特征值 $1$ 为二重根。解

$$(A-E)x=0$$

时，由前两行得 $x_1=-x_2=t$，第三行变为

$$(1-a)t=0.$$

要使特征子空间维数为2，必须有

$$a=1.$$

此时属于 $1$ 的两个线性无关特征向量可取

$$(1,-1,0{)}^T,(0,0,1{)}^T,$$

属于 $3$ 的特征向量可取

$$(1,1,1{)}^T.$$

由此得到 $P_2$。

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7. 【2024-1-12分】 已知数列 $\{x_n\}$，$\{y_n\}$，$\{z_n\}$ 满足

$$x_0=-1,y_0=0,z_0=2,$$

且

$$\{\begin{array}{l}{x}_n=-2x_{n-1}+2z_{n-1},\\ y_n=-2y_{n-1}-2z_{n-1},\\ z_n=-6x_{n-1}-3y_{n-1}+3z_{n-1}.\end{array}$$

记

$${\alpha }_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right),$$

写出满足 ${\alpha }_n=A{\alpha }_{n-1}$ 的矩阵 $A$，并求 $A^n$ 及 $\{x_n\}$，$\{y_n\}$，$\{z_n\}$ 的通项表达式。

查看答案与解析

答案：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 0& -2& -2\\ -6& -3& 3\end{array}\right).$$

当 $n\ge 1$ 时，

$$A^n=\left(\begin{array}{ccc}-(-2{)}^n-4& -(-2{)}^n-2& 2\\ 2(-2{)}^n+4& 2(-2{)}^n+2& -2\\ -6& -3& 3\end{array}\right).$$

并且

$$x_n=(-2{)}^n+8,$$$$y_n=-2(-2{)}^n-8,$$$$z_n=12(n\ge 1).$$

初值仍为

$$(x_0,y_0,z_0)=(-1,0,2).$$

解析： 由递推式直接读出

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 0& -2& -2\\ -6& -3& 3\end{array}\right).$$

计算特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\lambda (\lambda -1)(\lambda +2).\end{array}$$

故特征值为

$$-2,0,1.$$

相应特征向量可分别取

$$v_{-2}=(-1,2,0{)}^T,$$$$v_0=(1,-1,1{)}^T,$$$$v_1=(2,-2,3{)}^T.$$

令

$$P=(v_{-2},v_0,v_1)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ 2& -1& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right),$$

则

$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 6& 3& -2\\ -2& -1& 1\end{array}\right),$$

且

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(-2,0,1).$$

因此，当 $n\ge 1$ 时，

$$\begin{array}{rl}{A}^n& =P\mathrm{diag}((-2{)}^n,0,1)P^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-(-2{)}^n-4& -(-2{)}^n-2& 2\\ 2(-2{)}^n+4& 2(-2{)}^n+2& -2\\ -6& -3& 3\end{array}\right).\end{array}$$

对初始向量

$${\alpha }_0=(-1,0,2{)}^T,$$

有

$$P^{-1}{\alpha }_0=(-1,-10,4{)}^T,$$

即

$${\alpha }_0=-v_{-2}-10v_0+4v_1.$$

当 $n\ge 1$ 时，零特征值对应部分消失，故

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_n& =A^n{\alpha }_0\\ & =-(-2{)}^n{v}_{-2}+4v_1\\ & =\left(\begin{array}{c}(-2{)}^n+8\\ -2(-2{)}^n-8\\ 12\end{array}\right).\end{array}$$