二、相似对角化｜大题·相似变换矩阵及相似对角阵的计算与相似对角化的综合应用

大题

（二）相似变换矩阵及相似对角阵的计算

6. 【2002-4-8分】 设实对称矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& -1\\ 1& -1& a\end{array}\right),$$

求可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，并计算行列式 $|A-E|$ 的值。

查看答案与解析

答案： 可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right),$$

则

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}a+1& 0& 0\\ 0& a+1& 0\\ 0& 0& a-2\end{array}\right).$$

并且

$$|A-E|=a^2(a-3).$$

解析： 将 $A$ 写成

$$A=aE+C,C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right).$$

因为 $A$ 与 $C$ 具有相同的特征向量，若 $\mu$ 是 $C$ 的特征值，则 $a+\mu$ 是 $A$ 的特征值。

计算 $C$ 的特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\mu E-C|& =\left|\begin{array}{ccc}\mu & -1& -1\\ -1& \mu & 1\\ -1& 1& \mu \end{array}\right|\\ & =(\mu -1{)}^2(\mu +2).\end{array}$$

所以 $C$ 的特征值为

$${\mu }_1={\mu }_2=1,{\mu }_3=-2.$$

因此 $A$ 的特征值为

$${\lambda }_1={\lambda }_2=a+1,{\lambda }_3=a-2.$$

当 $\mu =1$ 时，解

$$(C-E)\alpha =0,$$

可取两个线性无关的特征向量

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right).$$

当 $\mu =-2$ 时，解

$$(C+2E)\alpha =0,$$

可取特征向量

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right).$$

由于

$$|P|=-6\ne 0,$$

故 $P$ 可逆。并且

$$AP=P\mathrm{diag}(a+1,a+1,a-2),$$

所以

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(a+1,a+1,a-2).$$

最后，$A-E$ 的特征值为

$$a,a,a-3.$$

故其行列式等于全部特征值之积：

$$|A-E|=a\cdot a\cdot (a-3)=a^2(a-3).$$

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7. 【2003-2-10分】 若矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 8& 2& a\\ 0& 0& 6\end{array}\right)$$

相似于对角矩阵 $\Lambda$，试确定常数 $a$ 的值；并求可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=\Lambda$。

查看答案与解析

答案：

$$a=0.$$

可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 0& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right),$$

则 $P^{-1}AP=\Lambda$。

解析： 由于 $A$ 为分块上三角矩阵，其特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -2& 0\\ -8& \lambda -2& -a\\ 0& 0& \lambda -6\end{array}\right|\\ & =(\lambda -6)\left|\begin{array}{cc}\lambda -2& -2\\ -8& \lambda -2\end{array}\right|\\ & =(\lambda -6)[(\lambda -2{)}^2-16]\\ & =(\lambda -6{)}^2(\lambda +2).\end{array}$$

故 $A$ 的特征值为

$${\lambda }_1={\lambda }_2=6,{\lambda }_3=-2.$$

其中 $\lambda =6$ 为二重特征值。矩阵 $A$ 可相似于对角矩阵的充要条件是该特征值对应的特征子空间维数为 $2$，即

$$\dim \ker (A-6E)=2,$$

等价于

$$r(A-6E)=1.$$

而

$$A-6E=\left(\begin{array}{ccc}-4& 2& 0\\ 8& -4& a\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

前两行在 $a=0$ 时线性相关，此时矩阵的秩为 $1$；若 $a\ne 0$，则前两行线性无关，矩阵的秩为 $2$。因此必须有

$$a=0.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 8& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right).$$

当 $\lambda =6$ 时，解

$$(A-6E)\alpha =0,$$

得到

$$-4x_1+2x_2=0,$$

即 $x_2=2x_1$，而 $x_3$ 为自由变量。因此可取两个线性无关的特征向量

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

当 $\lambda =-2$ 时，解

$$(A+2E)\alpha =0,$$

可取特征向量

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right).$$

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 0& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$

由于

$$|P|=4\ne 0,$$

故 $P$ 可逆。又

$$AP=P\mathrm{diag}(6,6,-2),$$

所以

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(6,6,-2).$$

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8. 【2004-3-13分】 设 $n$ 阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& b& \cdots & b\\ b& 1& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& \cdots & 1\end{array}\right).$$

（1）求特征值和特征向量；

（2）求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案： $A$ 的特征值为

$${\lambda }_1=1+(n-1)b,$$

其对应特征向量可取

$${\alpha }_1=(1,1,\dots ,1{)}^T;$$

以及

$${\lambda }_2=1-b,$$

其代数重数与几何重数均为 $n-1$，对应特征子空间为

$$V_{1-b}=\left\{x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T:\sum _{i=1}^n{x}_i=0\right\}.$$

可取该特征子空间的一组基

$${\alpha }_k=e_1-e_k,k=2,3,\dots ,n,$$

其中 $e_k$ 为第 $k$ 个标准单位列向量。

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),$$

则

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1+(n-1)b,\underset{n-1\text{ 个}}{\underbrace{1-b,\dots ,1-b}}).$$

解析： 记

$$1=(1,1,\dots ,1{)}^T,$$

并令 $J=11^T$ 为全 $1$ 矩阵，则

$$A=(1-b)E+bJ.$$

首先，由于

$$J1=n1,$$

所以

$$\begin{array}{rl}A1& =(1-b)1+bJ1\\ & =(1-b)1+bn1\\ & =[1+(n-1)b]1.\end{array}$$

故

$${\lambda }_1=1+(n-1)b$$

是 $A$ 的一个特征值，对应特征向量为 $1$。

再设 $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ 满足

$$\sum _{i=1}^n{x}_i=0.$$

则

$$Jx=1(1^{T}x)=0,$$

从而

$$Ax=(1-b)x.$$

因此，所有分量之和为零的非零向量都是特征值 $1-b$ 的特征向量。该子空间由一个线性方程确定，所以维数为 $n-1$。

可取

$${\alpha }_2=e_1-e_2,{\alpha }_3=e_1-e_3,\dots ,{\alpha }_n=e_1-e_n.$$

下面说明 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关。若

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_n{\alpha }_n=0,$$

比较第 $k$ 个分量（$k\ge 2$），得

$$c_1-c_k=0,$$

即 $c_k=c_1$。再比较第一个分量，得

$$c_1+c_2+\cdots +c_n=n{c}_1=0.$$

故 $c_1=c_2=\cdots =c_n=0$，于是这些向量线性无关。

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),$$

则 $P$ 可逆，且

$$AP=P\mathrm{diag}(1+(n-1)b,1-b,\dots ,1-b).$$

因此

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1+(n-1)b,1-b,\dots ,1-b).$$

当 $b=0$ 时，两个特征值相同，且 $A=E$，上述结论仍然成立。

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9. 【2005-4-6分】 设 $A$ 为3阶矩阵，${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，${\alpha }_3$ 是线性无关的三维列向量，且满足

$$A{\alpha }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,$$ $$A{\alpha }_2=2{\alpha }_2+{\alpha }_3,$$ $$A{\alpha }_3=2{\alpha }_2+3{\alpha }_3.$$

（1）求矩阵 $B$，使得

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)B;$$

（2）求矩阵 $A$ 的特征值；

（3）求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案： （1）

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\right).$$

（2）$A$ 的特征值为

$${\lambda }_1={\lambda }_2=1,{\lambda }_3=4.$$

（3）可取

$$P=({\alpha }_2-{\alpha }_1,{\alpha }_3-2{\alpha }_1,{\alpha }_2+{\alpha }_3),$$

则

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$$

解析： 设

$$R=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，所以 $R$ 可逆。

由题设，$A{\alpha }_j$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的坐标分别为

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right).$$

因此

$$AR=RB,$$

其中

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\right).$$

于是

$$B=R^{-1}AR,$$

故 $A$ 与 $B$ 相似，二者具有相同的特征值。

计算 $B$ 的特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-B|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& 0\\ -1& \lambda -2& -2\\ -1& -1& \lambda -3\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1)\left|\begin{array}{cc}\lambda -2& -2\\ -1& \lambda -3\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1)[(\lambda -2)(\lambda -3)-2]\\ & =(\lambda -1{)}^2(\lambda -4).\end{array}$$

所以 $A$ 的特征值为

$$1,1,4.$$

当 $\lambda =1$ 时，解

$$(B-E)x=0,$$

可取两个线性无关的特征向量

$$v_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

它们对应到原向量空间中的特征向量分别为

$$\begin{array}{rl}R{v}_1& =-{\alpha }_1+{\alpha }_2={\alpha }_2-{\alpha }_1,\\ R{v}_2& =-2{\alpha }_1+{\alpha }_3={\alpha }_3-2{\alpha }_1.\end{array}$$

当 $\lambda =4$ 时，解

$$(B-4E)x=0,$$

可取

$$v_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

对应到原向量空间中的特征向量为

$$R{v}_3={\alpha }_2+{\alpha }_3.$$

令

$$C=(v_1,v_2,v_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

由于

$$|C|=3\ne 0,$$

故 $C$ 可逆。又 $R$ 可逆，所以

$$P=RC=({\alpha }_2-{\alpha }_1,{\alpha }_3-2{\alpha }_1,{\alpha }_2+{\alpha }_3)$$

可逆，并且

$$AP=P\mathrm{diag}(1,1,4).$$

因此

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,4).$$

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10. 【2015-123-11分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -1& 3& -3\\ 1& -2& a\end{array}\right)$$

相似于矩阵

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right).$$

（1）求 $a,b$ 的值；

（2）求可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案： （1）

$$a=4,b=5.$$

（2）可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),$$

则

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,5).$$

解析： 由于 $A$ 与 $B$ 相似，所以它们的迹和行列式分别相等。

先比较迹：

$$\mathrm{tr}(A)=a+3,\mathrm{tr}(B)=b+2,$$

故

$$b=a+1.$$

再比较行列式：

$$\begin{array}{rl}|A|& =\left|\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -1& 3& -3\\ 1& -2& a\end{array}\right|\\ & =2a-3,\end{array}$$

而

$$|B|=b.$$

因此

$$b=2a-3.$$

联立

$$b=a+1,b=2a-3,$$

得

$$a=4,b=5.$$

于是

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -1& 3& -3\\ 1& -2& 4\end{array}\right).$$

其特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -2& 3\\ 1& \lambda -3& 3\\ -1& 2& \lambda -4\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1{)}^2(\lambda -5).\end{array}$$

故特征值为

$$\lambda =1\text{（二重）},\lambda =5.$$

当 $\lambda =1$ 时，解

$$(A-E)x=0,$$

可取两个线性无关的特征向量

$${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

当 $\lambda =5$ 时，解

$$(A-5E)x=0,$$

可取特征向量

$${\xi }_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right).$$

令

$$P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

由于

$$|P|=4\ne 0,$$

所以 $P$ 可逆。由

$$AP=P\mathrm{diag}(1,1,5),$$

得到

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,5).$$

（三）相似对角化的综合应用

1. 【1995-5-8分】 设三阶矩阵 $A$ 满足

$$A{\alpha }_i=i{\alpha }_i(i=1,2,3),$$

其中列向量

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right).$$

试求矩阵 $A$。

查看答案与解析

答案：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{3}& 0& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{5}{3}& -\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}& 2\end{array}\right).$$

解析： 由题设，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 分别是 $A$ 属于特征值 $1,2,3$ 的特征向量。

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& -2& -1\\ 2& 1& 2\end{array}\right).$$

计算得

$$|P|=-27\ne 0,$$

故 $P$ 可逆。又有

$$AP=P\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$$

因此

$$A=P\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)P^{-1}.$$

将矩阵相乘，得

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{3}& 0& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{5}{3}& -\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}& 2\end{array}\right).$$

也可直接验证

$$A{\alpha }_1={\alpha }_1,A{\alpha }_2=2{\alpha }_2,A{\alpha }_3=3{\alpha }_3.$$

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2. 【2000-1-8分】 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 $\frac{1}{6}$ 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 $\frac{2}{5}$ 成为熟练工。

设第 $n$ 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 $x_n$ 和 $y_n$，记成向量

$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right).$$

（1）求 $\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$ 的关系式并写成矩阵形式；

（2）验证 ${\eta }_1=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$，${\eta }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ 是 $A$ 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

（3）当 $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$ 时，求 $\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)$。

查看答案与解析

答案： （1）

$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}\frac{9}{10}& \frac{2}{5}\\ \frac{1}{10}& \frac{3}{5}\end{array}\right).$$

（2）${\eta }_1,{\eta }_2$ 对应的特征值分别为

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=\frac{1}{2}.$$

（3）

$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)+\frac{3}{10}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right).$$

即

$$x_{n+1}=\frac{4}{5}-\frac{3}{10}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n,$$$$y_{n+1}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

解析： 第 $n$ 年一月份熟练工所占比例为 $x_n$。支援其他部门后，留下的熟练工比例为

$$\frac{5}{6}{x}_n.$$

离开的熟练工人数由新招非熟练工补齐，因此参加培训的非熟练工比例为

$$y_n+\frac{1}{6}{x}_n.$$

其中 $\frac{2}{5}$ 在年终成为熟练工，故

$$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& =\frac{5}{6}{x}_n+\frac{2}{5}\left(y_n+\frac{1}{6}{x}_n\right)\\ & =\frac{9}{10}{x}_n+\frac{2}{5}{y}_n.\end{array}$$

剩余 $\frac{3}{5}$ 仍为非熟练工，因此

$$\begin{array}{rl}{y}_{n+1}& =\frac{3}{5}\left(y_n+\frac{1}{6}{x}_n\right)\\ & =\frac{1}{10}{x}_n+\frac{3}{5}{y}_n.\end{array}$$

故转移关系为

$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{9}{10}& \frac{2}{5}\\ \frac{1}{10}& \frac{3}{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right).$$

记上述矩阵为 $A$。直接计算：

$$A{\eta }_1=\left(\begin{array}{cc}\frac{9}{10}& \frac{2}{5}\\ \frac{1}{10}& \frac{3}{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)={\eta }_1,$$

所以 ${\eta }_1$ 对应特征值 $1$。

同理，

$$A{\eta }_2=\left(\begin{array}{cc}\frac{9}{10}& \frac{2}{5}\\ \frac{1}{10}& \frac{3}{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right),$$

所以 ${\eta }_2$ 对应特征值 $\frac{1}{2}$。

又

$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)=\frac{1}{5}{\eta }_1+\frac{3}{10}{\eta }_2.$$

于是

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)& =A^n\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{5}{A}^n{\eta }_1+\frac{3}{10}{A}^n{\eta }_2\\ & =\frac{1}{5}{\eta }_1+\frac{3}{10}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n{\eta }_2.\end{array}$$

从而得到所求结果。

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3. 【2016-123-11分】 已知矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 2& -3& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

（1）求 $A^{99}$；

（2）设三阶矩阵 $B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 满足 $B^2=BA$，记

$$B^{100}=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3),$$

将 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 分别表示为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的线性组合。

查看答案与解析

答案： （1）

$$A^{99}=\left(\begin{array}{ccc}{2}^{99}-2& 1-2^{99}& 2-2^{98}\\ 2^{100}-2& 1-2^{100}& 2-2^{99}\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

（2）

$${\beta }_1=(2^{99}-2){\alpha }_1+(2^{100}-2){\alpha }_2,$$$${\beta }_2=(1-2^{99}){\alpha }_1+(1-2^{100}){\alpha }_2,$$$${\beta }_3=(2-2^{98}){\alpha }_1+(2-2^{99}){\alpha }_2.$$

解析： 矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -1\\ -2& \lambda +3& 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right|\\ & =\lambda (\lambda +1)(\lambda +2).\end{array}$$

故 $A$ 的特征值为

$$0,-1,-2.$$

三个特征值互不相同，所以 $A$ 可相似对角化。

设二次多项式

$$p(t)=c_{1}t+c_2{t}^2$$

满足在 $t=0,-1,-2$ 时

$$p(t)=t^{99}.$$

由

$$-c_1+c_2=-1,$$$$-2c_1+4c_2=-2^{99},$$

解得

$$c_1=2-2^{98},c_2=1-2^{98}.$$

因此

$$A^{99}=(2-2^{98})A+(1-2^{98})A^2.$$

而

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& 0\\ -6& 7& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

代入整理，得

$$A^{99}=\left(\begin{array}{ccc}{2}^{99}-2& 1-2^{99}& 2-2^{98}\\ 2^{100}-2& 1-2^{100}& 2-2^{99}\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

由 $B^2=BA$，归纳可得，对任意 $n\ge 2$，

$$B^n=B{A}^{n-1}.$$

事实上，从 $B^2=BA$ 左乘 $B^{n-2}$，逐次得到

$$B^n=B^{n-1}A=\cdots =B{A}^{n-1}.$$

故

$$B^{100}=B{A}^{99}.$$

由于

$$B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

将 $A^{99}$ 的各列作为系数列，即有

$$\begin{array}{rl}{\beta }_1& =(2^{99}-2){\alpha }_1+(2^{100}-2){\alpha }_2,\\ {\beta }_2& =(1-2^{99}){\alpha }_1+(1-2^{100}){\alpha }_2,\\ {\beta }_3& =(2-2^{98}){\alpha }_1+(2-2^{99}){\alpha }_2.\end{array}$$

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4. 【2019-123-11分】 已知矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 1\\ 2& x& -2\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$$

与

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$$

相似。

（1）求 $x,y$；

（2）求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$。

查看答案与解析

答案： （1）

$$x=3,y=-2.$$

（2）可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -2& 0& -2\\ 0& 0& -4\end{array}\right),$$

此时

$$P^{-1}AP=B.$$

解析： 由于 $A$ 与 $B$ 相似，它们具有相同的特征多项式。

先计算 $A$ 的特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda +2& 2& -1\\ -2& \lambda -x& 2\\ 0& 0& \lambda +2\end{array}\right|\\ & =(\lambda +2)\left|\begin{array}{cc}\lambda +2& 2\\ -2& \lambda -x\end{array}\right|\\ & =(\lambda +2)[(\lambda +2)(\lambda -x)+4].\end{array}$$

而 $B$ 为上三角矩阵，其特征值为

$$2,-1,y.$$

矩阵 $A$ 显然有特征值 $-2$，因此由相似矩阵特征值相同可知

$$y=-2.$$

于是 $A$ 的另外两个特征值应为 $2,-1$，故

$$(\lambda +2)(\lambda -x)+4=(\lambda -2)(\lambda +1).$$

展开两边：

$${\lambda }^2+(2-x)\lambda -2x+4={\lambda }^2-\lambda -2.$$

比较系数得

$$2-x=-1,$$

所以

$$x=3.$$

下面求 $P$。令

$$P=(p_1,p_2,p_3).$$

由

$$AP=PB$$

可知各列应满足

$$A{p}_1=2p_1,$$$$A{p}_2=p_1-p_2,$$$$A{p}_3=-2p_3.$$

当 $x=3$ 时，

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 1\\ 2& 3& -2\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$$

对特征值 $2$，解

$$(A-2E)p_1=0,$$

可取

$$p_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right).$$

再解

$$(A+E)p_2=p_1,$$

可取

$$p_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

对特征值 $-2$，解

$$(A+2E)p_3=0,$$

可取

$$p_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -4\end{array}\right).$$

因此可取

$$P=(p_1,p_2,p_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -2& 0& -2\\ 0& 0& -4\end{array}\right).$$

并且

$$|P|=8\ne 0,$$

故 $P$ 可逆。直接验证得

$$AP=PB,$$

从而

$$P^{-1}AP=B.$$

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5. 【2020-123-11分】 设 $A$ 为2阶矩阵，$P=(\alpha ,A\alpha )$，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量。

（1）证明 $P$ 为可逆矩阵；

（2）若

$$A^2\alpha +A\alpha -6\alpha =0,$$

求 $P^{-1}AP$，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵。

查看答案与解析

答案： （1）$P$ 可逆。

（2）

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right).$$

矩阵 $A$ 可以相似对角化，且

$$A\sim \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right).$$

解析： （1）证明 $P$ 可逆。

矩阵

$$P=(\alpha ,A\alpha )$$

的两列分别为 $\alpha$ 与 $A\alpha$。

若这两个向量线性相关，则存在常数 $k$，使

$$A\alpha =k\alpha .$$

由于 $\alpha \ne 0$，这说明 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，与题设矛盾。

所以 $\alpha$ 与 $A\alpha$ 线性无关。它们是两个线性无关的二维列向量，因此

$$|P|\ne 0,$$

故 $P$ 可逆。

（2）求 $P^{-1}AP$。

由

$$P=(\alpha ,A\alpha ),$$

有

$$AP=(A\alpha ,A^2\alpha ).$$

题设给出

$$A^2\alpha +A\alpha -6\alpha =0,$$

即

$$A^2\alpha =6\alpha -A\alpha .$$

因此

$$\begin{array}{rl}AP& =(A\alpha ,6\alpha -A\alpha )\\ & =(\alpha ,A\alpha )\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right).\end{array}$$

于是

$$AP=P\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right).$$

左乘 $P^{-1}$，得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right).$$

记

$$C=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right).$$

则其特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-C|& =\left|\begin{array}{cc}\lambda & -6\\ -1& \lambda +1\end{array}\right|\\ & =\lambda (\lambda +1)-6\\ & =(\lambda -2)(\lambda +3).\end{array}$$

所以 $C$ 有两个不同的特征值

$$2,-3.$$

因此 $C$ 可相似对角化。又 $A$ 与 $C$ 相似，故 $A$ 也可相似对角化，并且

$$A\sim \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right).$$