二、相似对角化｜小题与大题

小题

（一）相似对角化的判断

1. 【1993-4-3分】 $n$ 阶方阵 $A$ 具有 $n$ 个不同的特征值是 $A$ 与对角阵相似的（ ）。

A. 充分必要条件    B. 充分而非必要条件    C. 必要而非充分条件    D. 既非充分也非必要条件

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答案： B

解析： 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则属于不同特征值的特征向量线性无关，所以 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，从而 $A$ 可以相似对角化。因此，该条件是充分条件。

但它不是必要条件。例如单位矩阵

$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

只有一个特征值 $1$，却已经是对角矩阵，当然可以相似对角化。

因此，“具有 $n$ 个不同的特征值”是矩阵可相似对角化的充分而非必要条件。

• A：误把充分条件当成充要条件。
• C：该条件本身足以保证可对角化，并非仅为必要条件。
• D：该条件确实是充分条件，因此不可能既非充分也非必要。

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2. 【2022-23-5分】 设 $A$ 为3阶矩阵，交换 $A$ 的第2行和第3行，再将第2列的 $-1$ 倍加到第1列，得到矩阵

$$M=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right),$$

则 $A^{-1}$ 的 $\mathrm{tr}(A^{-1})=$_________。

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答案： $-1$

解析： 由题意，先交换第2、3行，再作列变换 $C_1\leftarrow C_1-C_2$。

设交换第2、3行对应的初等矩阵为

$$R=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),$$

列变换 $C_1\leftarrow C_1-C_2$ 对应右乘矩阵

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

于是

$$RAQ=M.$$

由于 $R^{-1}=R$，故

$$A=RM{Q}^{-1}.$$

计算

$$Q^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

从而

$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right).\end{array}$$

对 $A$ 作初等变换或直接验证可得

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 1& -1\end{array}\right).$$

因此

$$\mathrm{tr}(A^{-1})=0+0-1=-1.$$

相关知识点：初等行变换等价于左乘初等矩阵，初等列变换等价于右乘初等矩阵；矩阵的迹等于主对角线元素之和。

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3. 【2023-1-5分】 下列矩阵不能相似于对角矩阵的是（ ）。

A. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$    B. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& 2& 0\\ a& 0& 3\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$    D. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

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答案： D

解析： 逐项判断。

A项为上三角矩阵，三个特征值 $1,2,3$ 互不相同，故可相似对角化。

B项为实对称矩阵，故可正交相似对角化。

C项的特征值为 $1,2,2$；对二重特征值 $2$，有 $r(C-2E)=1$，对应特征子空间维数为2，故也可相似对角化。

D项矩阵为上三角矩阵，特征值为 $1,2,2$。考察二重特征值 $\lambda =2$：

$$D-2E=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& a\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

解齐次方程组 $(D-2E)x=0$，有

$$2x_3=0,-x_1+x_2+a{x}_3=0,$$

所以

$$x_3=0,x_2=x_1.$$

属于特征值 $2$ 的特征空间只有1维，即

$$\dim V_2=1<2.$$

该特征值的几何重数小于代数重数，因此D项不能相似于对角矩阵。

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4. 【2025-3-5分】 设 $A$ 为三阶矩阵，则“$A^3-A^2$ 可对角化”是“$A$ 可对角化”的（ ）。

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

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答案： B

解析： 先判断必要性。若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$，使

$$P^{-1}AP=\Lambda ,$$

其中 $\Lambda$ 为对角矩阵。于是

$$\begin{array}{rl}{P}^{-1}(A^3-A^2)P& =(P^{-1}AP{)}^3-(P^{-1}AP{)}^2\\ & ={\Lambda }^3-{\Lambda }^2.\end{array}$$

因为 ${\Lambda }^3-{\Lambda }^2$ 仍是对角矩阵，所以 $A^3-A^2$ 可对角化。因此该条件是必要条件。

再判断充分性。取

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

矩阵 $A$ 的特征值为 $0,0,1$。对于特征值 $0$，有

$$\dim N(A)=1<2,$$

故 $A$ 不可对角化。

但是

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A^3=A^2,$$

因而

$$A^3-A^2=O,$$

零矩阵显然可以对角化。这说明“$A^3-A^2$ 可对角化”不能推出“$A$ 可对角化”，故不是充分条件。

综上，它是必要不充分条件。

（二）相似变换矩阵及相似对角阵的计算

1. 【2020-23-4分】 设 $A$ 为3阶矩阵，${\alpha }_1$，${\alpha }_2$ 为 $A$ 属于特征值 $1$ 的线性无关的特征向量，${\alpha }_3$ 为 $A$ 属于特征值 $-1$ 的特征向量，则满足

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

的可逆矩阵 $P$ 为（ ）。

A. $({\alpha }_1+{\alpha }_3,{\alpha }_2,-{\alpha }_3)$    B. $({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,-{\alpha }_3)$

C. $({\alpha }_1+{\alpha }_3,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$    D. $({\alpha }_1+{\alpha }_2,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$

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答案： D

解析： 若

$$P=(p_1,p_2,p_3),$$

且

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,-1,1),$$

则 $P$ 的第1、2、3列必须依次是属于特征值 $1,-1,1$ 的特征向量。

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 都属于特征值 $1$，所以它们的任意非零线性组合仍属于特征值 $1$。特别地，

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2.$$

又因为

$$A(-{\alpha }_3)=-A{\alpha }_3=-(-{\alpha }_3),$$

所以 $-{\alpha }_3$ 仍是属于特征值 $-1$ 的特征向量。

因此

$$P=({\alpha }_1+{\alpha }_2,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$$

的三列依次对应特征值 $1,-1,1$。

还需验证 $P$ 可逆。若

$$k_1({\alpha }_1+{\alpha }_2)+k_2(-{\alpha }_3)+k_3{\alpha }_2=0,$$

则

$$k_1{\alpha }_1+(k_1+k_3){\alpha }_2-k_2{\alpha }_3=0.$$

属于不同特征值的特征向量组线性无关，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 本身线性无关，故

$$k_1=k_2=k_3=0.$$

所以 $P$ 可逆，D正确。

• A、C中的 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$ 混合了属于不同特征值的特征向量，一般不是特征向量。
• B的三列依次对应特征值 $1,1,-1$，所得对角阵的排列与题设不符。

（三）相似对角化的综合应用

1. 【2012-1-4分】 设 $\alpha$ 为3维单位列向量，$E$ 为3阶单位矩阵，则矩阵 $E-\alpha {\alpha }^T$ 的秩为_________。

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答案： $2$

解析： 因为 $\alpha$ 是单位列向量，所以

$${\alpha }^T\alpha =1.$$

令

$$B=E-\alpha {\alpha }^T.$$

作用于向量 $\alpha$，有

$$B\alpha =(E-\alpha {\alpha }^T)\alpha =\alpha -\alpha ({\alpha }^T\alpha )=\alpha -\alpha =0.$$

因此 $\alpha$ 是 $B$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。

若 $x\perp \alpha$，即 ${\alpha }^{T}x=0$，则

$$Bx=x-\alpha ({\alpha }^{T}x)=x.$$

所以与 $\alpha$ 正交的二维子空间中的任意非零向量，都是 $B$ 属于特征值 $1$ 的特征向量。

故 $B$ 的特征值为

$$0,1,1.$$

矩阵 $B$ 为实对称矩阵，可以相似对角化，因此其秩等于非零特征值的个数，即

$$r(E-\alpha {\alpha }^T)=2.$$

从几何意义上看，$E-\alpha {\alpha }^T$ 是到平面 ${\alpha }^{\perp }$ 上的正交投影矩阵，其像空间正是二维平面 ${\alpha }^{\perp }$。

大题

（一）相似对角化的判断

1. 【1997-1-6分】 已知

$$\zeta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$$

是矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& a& 3\\ -1& b& -2\end{array}\right)$$

的一个特征向量。

（1）试确定参数 $a$，$b$ 及特征向量 $\zeta$ 所对应的特征值；

（2）问 $A$ 能否相似于对角阵？说明理由。

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答案： （1）$a=-3$，$b=0$，$\zeta$ 对应的特征值为 $-1$；

（2）$A$ 不能相似于对角阵。

解析： （1）设 $\zeta$ 所对应的特征值为 $\lambda$。由特征向量的定义，

$$A\zeta =\lambda \zeta .$$

直接计算得

$$\begin{array}{rl}A\zeta & =\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& a& 3\\ -1& b& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}2-1-2\\ 5+a-3\\ -1+b+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ a+2\\ b+1\end{array}\right).\end{array}$$

另一方面，

$$\lambda \zeta =\left(\begin{array}{c}\lambda \\ \lambda \\ -\lambda \end{array}\right).$$

比较对应分量，得到

$$\{\begin{array}{l}-1=\lambda ,\\ a+2=\lambda ,\\ b+1=-\lambda .\end{array}$$

因此

$$\lambda =-1,a=-3,b=0.$$

（2）代入 $a=-3$，$b=0$，得

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& -3& 3\\ -1& 0& -2\end{array}\right).$$

其特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 1& -2\\ -5& \lambda +3& -3\\ 1& 0& \lambda +2\end{array}\right|\\ & =(\lambda +1{)}^3.\end{array}$$

所以 $A$ 只有一个特征值

$$\lambda =-1,$$

其代数重数为 $3$。

考查对应的齐次线性方程组

$$(A+E)x=0.$$

有

$$A+E=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 5& -2& 3\\ -1& 0& -1\end{array}\right)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

因此

$$r(A+E)=2,$$

从而特征子空间的维数为

$$3-r(A+E)=1.$$

也就是说，特征值 $-1$ 只有一个线性无关的特征向量，而三阶矩阵可相似对角化必须具有 $3$ 个线性无关的特征向量。

故 $A$ 不能相似于对角阵。

本题的关键知识点是：特征值的代数重数为 $m$ 时，只有当其几何重数也为 $m$，才能为矩阵的可对角化提供足够的特征向量。

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2. 【2004-12-9分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ -1& 4& -3\\ 1& a& 5\end{array}\right)$$

的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $A$ 是否可相似对角化。

查看答案与解析

答案：

$$a=-2\text{或}a=-\frac{2}{3}.$$

当 $a=-2$ 时，$A$ 可相似对角化；

当 $a=-\frac{2}{3}$ 时，$A$ 不能相似对角化。

解析： 先求特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& 3\\ 1& \lambda -4& 3\\ -1& -a& \lambda -5\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)\left({\lambda }^2-8\lambda +18+3a\right).\end{array}$$

特征方程有二重根，可能有以下两种情形。

情形一： $\lambda =2$ 同时也是二次因子的根。

令

$$2^2-8\cdot 2+18+3a=0,$$

得

$$6+3a=0,$$

所以

$$a=-2.$$

此时

$$|\lambda E-A|=(\lambda -2{)}^2(\lambda -6).$$

考查二重特征值 $\lambda =2$。当 $a=-2$ 时，

$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -3\\ -1& 2& -3\\ 1& -2& 3\end{array}\right).$$

显然

$$r(A-2E)=1,$$

故

$$\dim \ker (A-2E)=3-1=2.$$

特征值 $2$ 的几何重数等于其代数重数 $2$；另一个特征值 $6$ 还能提供一个线性无关的特征向量。因此 $A$ 共有 $3$ 个线性无关的特征向量，故可以相似对角化。

例如，$\lambda =2$ 的两个线性无关特征向量可取

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right),$$

而 $\lambda =6$ 的特征向量可取

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right).$$

情形二： 二次因子本身有二重根。

其判别式应为零，即

$$\Delta =(-8{)}^2-4(18+3a)=0.$$

于是

$$64-72-12a=0,$$

从而

$$a=-\frac{2}{3}.$$

此时

$$|\lambda E-A|=(\lambda -2)(\lambda -4{)}^2.$$

考查二重特征值 $\lambda =4$。当 $a=-\frac{2}{3}$ 时，

$$A-4E=\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& -3\\ -1& 0& -3\\ 1& -\frac{2}{3}& 1\end{array}\right).$$

对其作初等行变换可得

$$r(A-4E)=2.$$

故

$$\dim \ker (A-4E)=3-2=1.$$

也就是说，二重特征值 $4$ 仅有一个线性无关的特征向量，其几何重数小于代数重数。因此矩阵 $A$ 不能相似对角化。

综上，

$$\boxed{\{\begin{array}{ll}a=-2,& A\text{ 可相似对角化},\\ a=-\frac{2}{3},& A\text{ 不可相似对角化}.\end{array}}$$

（二）相似变换矩阵及相似对角阵的计算

1. 【1988-12-8分】 已知矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right)$$

与

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& y& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

相似。

（1）求 $x$ 与 $y$；

（2）求一个满足 $P^{-1}AP=B$ 的可逆矩阵 $P$。

查看答案与解析

答案：

$$x=0,y=1.$$

可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right),$$

使得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)=B.$$

解析： 因为相似矩阵具有相同的迹与行列式，所以

$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B),|A|=|B|.$$

先比较行列式。由

$$\begin{array}{rl}|A|& =2\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& x\end{array}\right|=-2,\\ |B|& =2\cdot y\cdot (-1)=-2y,\end{array}$$

得

$$-2=-2y,$$

故

$$y=1.$$

再比较迹：

$$2+x=2+y-1.$$

代入 $y=1$，得到

$$x=0.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$

分别求与 $B$ 的对角元顺序相对应的特征向量。

当 $\lambda =2$ 时，可取

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

当 $\lambda =1$ 时，由

$$(A-E)\alpha =0$$

可取

$${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

当 $\lambda =-1$ 时，由

$$(A+E)\alpha =0$$

可取

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right).$$

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right).$$

由于

$$|P|=-2\ne 0,$$

所以 $P$ 可逆。又有

$$AP=P\mathrm{diag}(2,1,-1)=PB,$$

因此

$$P^{-1}AP=B.$$

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2. 【1992-4-7分】 设矩阵 $A$，$B$ 相似，其中

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 2& x& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right).$$

（1）求 $x$ 和 $y$ 的值；

（2）求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$。

查看答案与解析

答案：

$$x=0,y=-2.$$

可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -2& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right),$$

使得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)=B.$$

解析： 计算 $A$ 的特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda +2& 0& 0\\ -2& \lambda -x& -2\\ -3& -1& \lambda -1\end{array}\right|\\ & =(\lambda +2)\left|\begin{array}{cc}\lambda -x& -2\\ -1& \lambda -1\end{array}\right|\\ & =(\lambda +2)\left[(\lambda -x)(\lambda -1)-2\right].\end{array}$$

因此，无论 $x$ 取何值，$-2$ 都是 $A$ 的特征值。

矩阵 $B$ 的三个特征值为

$$-1,2,y.$$

由于相似矩阵具有完全相同的特征值，且 $-2\ne -1,2$，故必有

$$y=-2.$$

再利用相似矩阵的迹相等：

$$\mathrm{tr}(A)=x-1,\mathrm{tr}(B)=-1+2+y=1+y.$$

于是

$$x-1=1+y.$$

代入 $y=-2$，得

$$x=0.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 2& 0& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right).$$

按照 $B$ 的对角元顺序，依次求 $\lambda =-1,2,-2$ 的特征向量。

当 $\lambda =-1$ 时，解

$$(A+E)\alpha =0,$$

可取

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 1\end{array}\right).$$

当 $\lambda =2$ 时，解

$$(A-2E)\alpha =0,$$

可取

$${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

当 $\lambda =-2$ 时，解

$$(A+2E)\alpha =0,$$

可取

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -2& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

由于

$$|P|=3\ne 0,$$

故 $P$ 可逆。由特征向量的定义，

$$AP=P\mathrm{diag}(-1,2,-2)=PB,$$

因此

$$P^{-1}AP=B.$$

---

3. 【1997-4-9分】 设矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，且

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 4& -2\\ -3& -3& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right).$$

（1）求 $a$，$b$ 的值；

（2）求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$。

查看答案与解析

答案：

$$a=5,b=6.$$

可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right),$$

使得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)=B.$$

解析： 计算 $A$ 的特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 1& -1\\ -2& \lambda -4& 2\\ 3& 3& \lambda -a\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)\left[{\lambda }^2-(a+3)\lambda +3a-3\right].\end{array}$$

矩阵 $B$ 的特征多项式为

$$|\lambda E-B|=(\lambda -2{)}^2(\lambda -b).$$

因为 $A$ 与 $B$ 相似，所以两者的特征多项式相同。消去公共因子 $\lambda -2$，得

$${\lambda }^2-(a+3)\lambda +3a-3=(\lambda -2)(\lambda -b).$$

展开右端：

$$(\lambda -2)(\lambda -b)={\lambda }^2-(b+2)\lambda +2b.$$

比较系数，得到

$$\{\begin{array}{l}a+3=b+2,\\ 3a-3=2b.\end{array}$$

即

$$\{\begin{array}{l}b=a+1,\\ 3a-3=2a+2.\end{array}$$

从而

$$a=5,b=6.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 4& -2\\ -3& -3& 5\end{array}\right),$$

其特征值为

$${\lambda }_1={\lambda }_2=2,{\lambda }_3=6.$$

当 $\lambda =2$ 时，解

$$(A-2E)\alpha =0.$$

可取两个线性无关的特征向量

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

当 $\lambda =6$ 时，解

$$(A-6E)\alpha =0,$$

可取

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right).$$

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right).$$

由于

$$|P|=-4\ne 0,$$

所以 $P$ 可逆。并且

$$AP=P\mathrm{diag}(2,2,6)=PB.$$

故

$$P^{-1}AP=B.$$

---

4. 【1999-4-7分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ -k& -1& k\\ 4& 2& -3\end{array}\right),$$

$k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵？并求出 $P$ 和相应的对角矩阵。

查看答案与解析

答案：

$$k=0.$$

可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right),P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

解析： 先求 $A$ 的特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& -2& 2\\ k& \lambda +1& -k\\ -4& -2& \lambda +3\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1)(\lambda +1{)}^2.\end{array}$$

因此，$A$ 的特征值为

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2={\lambda }_3=-1.$$

由于 $-1$ 是二重特征值，$A$ 可相似对角化的充要条件是特征值 $-1$ 对应的线性无关特征向量有两个，即

$$\dim \ker (A+E)=2,$$

等价于

$$r(A+E)=1.$$

而

$$A+E=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& -2\\ -k& 0& k\\ 4& 2& -2\end{array}\right).$$

第一行与第三行相同。若其秩为 $1$，则第二行必须是第一行的倍数。设

$$(-k,0,k)=c(4,2,-2).$$

由第二个分量得 $0=2c$，所以 $c=0$，进而

$$k=0.$$

当 $k=0$ 时，

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ 0& -1& 0\\ 4& 2& -3\end{array}\right).$$

对特征值 $\lambda =1$，解

$$(A-E)\alpha =0,$$

可取特征向量

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

对特征值 $\lambda =-1$，解

$$(A+E)\alpha =0,$$

可取两个线性无关的特征向量

$${\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right).$$

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right).$$

由于

$$|P|=2\ne 0,$$

故 $P$ 可逆，且

$$AP=P\mathrm{diag}(1,-1,-1).$$

因此

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,-1,-1).$$

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5. 【2000-4-9分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ x& 4& y\\ -3& -3& 5\end{array}\right),$$

已知 $A$ 有三个线性无关的特征向量，$\lambda =2$ 是 $A$ 的二重特征值，试求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

查看答案与解析

答案：

$$x=2,y=-2.$$

可取

$$P=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right),P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right).$$

解析： 矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 1& -1\\ -x& \lambda -4& -y\\ 3& 3& \lambda -5\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)\left({\lambda }^2-8\lambda +x+3y+16\right).\end{array}$$

因为 $\lambda =2$ 是二重特征值，所以二次因式在 $\lambda =2$ 时也应为零：

$$2^2-8\cdot 2+x+3y+16=0,$$

即

$$x+3y+4=0.$$

又因为 $A$ 有三个线性无关的特征向量，所以 $A$ 可相似对角化。对于二重特征值 $\lambda =2$，其特征子空间的维数必须为 $2$，即

$$r(A-2E)=1.$$

计算得

$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ x& 2& y\\ -3& -3& 3\end{array}\right).$$

第三行是第一行的 $3$ 倍。要使秩为 $1$，第二行也必须是第一行的倍数。设

$$(x,2,y)=c(-1,-1,1).$$

由第二个分量得

$$2=-c,$$

所以 $c=-2$，从而

$$x=2,y=-2.$$

此时特征多项式为

$$|\lambda E-A|=(\lambda -2{)}^2(\lambda -6),$$

故另一个特征值为 $6$。

当 $\lambda =2$ 时，解

$$(A-2E)\alpha =0,$$

可取两个线性无关的特征向量

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

当 $\lambda =6$ 时，解

$$(A-6E)\alpha =0,$$

可取特征向量

$${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right).$$

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right).$$

因为

$$|P|=-4\ne 0,$$

所以 $P$ 可逆，并且

$$AP=P\mathrm{diag}(2,2,6).$$

故

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(2,2,6).$$

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