三、综合讨论

小题

1. 【2018-2-4分】 设 $A$ 为3阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为线性无关的向量组，若 $A{\alpha }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$，$A{\alpha }_2={\alpha }_2+2{\alpha }_3$，$A{\alpha }_3=-{\alpha }_2+{\alpha }_3$，则 $A$ 的实特征值为

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答案： $2$。

解析： 由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，它们构成三维向量空间的一组基。在这组基下，线性变换 $A$ 的矩阵为

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right),$$

其中各列分别是 $A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的坐标。

矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，因此二者具有相同的特征值。计算特征多项式：

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-B|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 0& 0\\ -1& \lambda -1& 1\\ -1& -2& \lambda -1\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& 1\\ -2& \lambda -1\end{array}\right|\\ & =(\lambda -2)[(\lambda -1{)}^2+2].\end{array}$$

于是特征值为

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_{2,3}=1\pm \sqrt{2}i.$$

其中只有 $2$ 是实数，因此 $A$ 的实特征值为 $2$。

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2. 【2008-4-4分】 设3阶矩阵 $A$ 的特征值互不相同，若行列式 $|A|=0$，则 $A$ 的秩

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答案： $r(A)=2$。

解析： 设 $A$ 的三个互不相同的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$。由于

$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=0,$$

至少有一个特征值为零。

又因为三个特征值互不相同，所以零特征值只能出现一次，其余两个特征值均非零。不同特征值对应的特征向量线性无关，故 $A$ 可相似对角化为

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right),{\lambda }_2{\lambda }_3\ne 0.$$

相似变换不改变矩阵的秩，因此

$$r(A)=2.$$

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3. 【2024-1-5分】 设 $A$ 是秩为2的三阶矩阵，$\alpha$ 是满足 $A\alpha =0$ 非零向量，若对满足 ${\beta }^T\alpha =0$ 的三维向量 $\beta$，均有 $A\beta =\beta$，则

A. $A^3$ 的迹为 $2$    B. $A^3$ 的迹为 $5$

C. $A^2$ 的迹为 $8$    D. $A^2$ 的迹为 $9$

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答案： A。

解析： 由 $\alpha \ne 0$ 且 $A\alpha =0$，知 $\alpha$ 是 $A$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。

集合

$${\alpha }^{\perp }=\{\beta \in {\mathbb{R}}^3:{\beta }^T\alpha =0\}$$

是二维子空间。题设说明对任意 $\beta \in {\alpha }^{\perp }$，都有

$$A\beta =\beta ,$$

故 ${\alpha }^{\perp }$ 中任意非零向量都是 $A$ 属于特征值 $1$ 的特征向量。因此 $A$ 有两个线性无关的属于特征值 $1$ 的特征向量。

又因为 $\alpha \notin {\alpha }^{\perp }$，所以可取 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 为 ${\alpha }^{\perp }$ 的一组基，则 $\alpha ,{\beta }_1,{\beta }_2$ 线性无关。矩阵 $A$ 的三个特征值为

$$0,1,1.$$

因此 $A^3$ 的特征值为

$$0^3,1^3,1^3,$$

从而

$$\mathrm{tr}(A^3)=0+1+1=2.$$

故选 A。选项 B、C、D 均与上述特征值计算不符。

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4. 【2025-2-5分】 设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& a& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值，则

A. $a>4,b>0$    B. $a<4,b>0$    C. $a>4,b<0$    D. $a<4,b<0$

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答案： D。

解析： 原矩阵为分块对角矩阵，其特征值由二阶矩阵

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& a\end{array}\right)$$

的两个特征值及 $b$ 组成。

矩阵 $B$ 的两个特征值之积为

$$|B|=a-4.$$

若 $a<4$，则 $|B|<0$，所以 $B$ 的两个实特征值异号，即一个为正、一个为负。要使原三阶矩阵恰有一个正特征值和两个负特征值，还必须有

$$b<0.$$

若 $a>4$，则 $|B|>0$，且 $\mathrm{tr}(B)=a+1>0$，故 $B$ 的两个特征值均为正，不可能使原矩阵只有一个正特征值。

因此必要且充分的条件为

$$a<4,b<0.$$

故选 D；其余选项均不满足特征值符号要求。

大题

1. 【1992-12-7分】 设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=2$，${\lambda }_3=3$，对应的特征向量依次为 ${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$，${\xi }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right)$。又向量 $\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

(1)将 $\beta$ 用 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 线性表出；

(2)求 $A^n\beta$（$n$ 为自然数）。

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答案： (1) $\beta =2{\xi }_1-2{\xi }_2+{\xi }_3$；

(2)

$$A^n\beta =2{\xi }_1-2^{n+1}{\xi }_2+3^n{\xi }_3=\left(\begin{array}{c}2-2^{n+1}+3^n\\ 2-2^{n+2}+3^{n+1}\\ 2-2^{n+3}+3^{n+2}\end{array}\right).$$

解析： 由于 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 互不相同，对应的特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 线性无关，故可设

$$\beta =c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2+c_3{\xi }_3.$$

比较各分量，得

$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2+c_3=1,\\ c_1+2c_2+3c_3=1,\\ c_1+4c_2+9c_3=3.\end{array}$$

第二式减第一式，第三式减第一式，得到

$$\{\begin{array}{l}{c}_2+2c_3=0,\\ 3c_2+8c_3=2.\end{array}$$

解得

$$c_3=1,c_2=-2,c_1=2.$$

因此

$$\beta =2{\xi }_1-2{\xi }_2+{\xi }_3.$$

又因为

$$A^n{\xi }_i={\lambda }_i^n{\xi }_i(i=1,2,3),$$

所以

$$\begin{array}{rl}{A}^n\beta & =2A^n{\xi }_1-2A^n{\xi }_2+A^n{\xi }_3\\ & =2\cdot 1^n{\xi }_1-2\cdot 2^n{\xi }_2+3^n{\xi }_3\\ & =2{\xi }_1-2^{n+1}{\xi }_2+3^n{\xi }_3.\end{array}$$

代入三个特征向量，即得答案中的列向量形式。

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2. 【2003-1-10分】 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 2& 3& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$B=P^{-1}{A}^{\ast }P$，求 $B+2E$ 的特征值与特征向量，其中 $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为三阶单位矩阵。

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答案： $B+2E$ 的特征值为

$$3,9,9.$$

属于特征值 $3$ 的特征向量为

$$k\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),k\ne 0.$$

属于特征值 $9$ 的特征向量为所有满足

$$x_1+x_2+2x_3=0$$

的非零向量，即可写成

$$k_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right),(k_1,k_2)\ne (0,0).$$

解析： 记 $J$ 为三阶全1矩阵，则

$$A=E+2J.$$

令 $e=(1,1,1{)}^T$，有

$$Je=3e,$$

故

$$Ae=(E+2J)e=7e.$$

若向量 $v=(v_1,v_2,v_3{)}^T$ 满足 $v_1+v_2+v_3=0$，则 $Jv=0$，从而

$$Av=v.$$

因此 $A$ 的特征值为 $7,1,1$，且

$$|A|=7.$$

由于 $A$ 可逆，故

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

若 $Av=\lambda v$，则

$$A^{\ast }v=|A|A^{-1}v=\frac{|A|}{\lambda }v.$$

所以 $A^{\ast }$ 的特征值为

$$1,7,7.$$

其中，属于特征值 $1$ 的特征向量为 $ke$；属于特征值 $7$ 的特征向量为所有满足 $v_1+v_2+v_3=0$ 的非零向量。

又

$$B=P^{-1}{A}^{\ast }P,$$

故 $B$ 与 $A^{\ast }$ 相似。若 $A^{\ast }v=\mu v$，则令 $y=P^{-1}v$，有

$$By=P^{-1}{A}^{\ast }Py=P^{-1}{A}^{\ast }v=\mu y.$$

因此 $B+2E$ 对应的特征值为 $\mu +2$，即

$$3,9,9.$$

计算

$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

对 $v=e$，有

$$P^{-1}e=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),$$

故它是 $B+2E$ 属于特征值 $3$ 的特征向量。

对于特征值 $9$，令 $y=(x_1,x_2,x_3{)}^T$，则

$$Py=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_1+x_3\\ x_3\end{array}\right).$$

要求 $Py$ 的三个分量之和为零，即

$$x_1+x_2+2x_3=0.$$

该二维特征子空间的一组基可取

$$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

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3. 【2025-1-12分】 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ -1& 0& 2\\ -1& -1& a\end{array}\right)$，已知1是 $A$ 的特征多项式的重根。

(1)求 $a$ 的值。

(2)求所有满足 $A\alpha =\alpha +\beta$，$A^2\alpha =\alpha +2\beta$ 的非零列向量 $\alpha ,\beta$。

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答案： (1) $a=3$。

(2)所有解为

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),\beta =(-x-y+2z)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),$$

其中

$$-x-y+2z\ne 0.$$

解析： (1)矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$\begin{array}{rl}f(\lambda )& =|\lambda E-A|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -2\\ 1& \lambda & -2\\ 1& 1& \lambda -a\end{array}\right|\\ & ={\lambda }^3-a{\lambda }^2+3\lambda +a-4\\ & =(\lambda -1)[{\lambda }^2+(1-a)\lambda +4-a].\end{array}$$

可见 $\lambda =1$ 对任意 $a$ 都是特征根。要使1成为重根，还必须有

$$f^{\prime }(1)=0.$$

由

$$f^{\prime }(\lambda )=3{\lambda }^2-2a\lambda +3,$$

得

$$f^{\prime }(1)=6-2a=0,$$

故

$$a=3.$$

此时

$$f(\lambda )=(\lambda -1{)}^3.$$

(2)当 $a=3$ 时，令

$$N=A-E=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ -1& -1& 2\\ -1& -1& 2\end{array}\right).$$

第一式 $A\alpha =\alpha +\beta$ 等价于

$$\beta =N\alpha .$$

设

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$$

则

$$\beta =N\alpha =(-x-y+2z)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

又因为 $N$ 的每一行均为 $(-1,-1,2)$，且

$$(-1,-1,2)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=0,$$

所以

$$N^2=O.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{A}^2\alpha & =(E+N{)}^2\alpha \\ & =(E+2N+N^2)\alpha \\ & =\alpha +2N\alpha \\ & =\alpha +2\beta .\end{array}$$

因此，只要第一式成立，第二式便自动成立。

题目要求 $\alpha ,\beta$ 均为非零列向量。由

$$\beta =(-x-y+2z)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),$$

可知必须且只需

$$-x-y+2z\ne 0.$$

该条件同时保证 $\alpha \ne 0$。故答案所列即为全部解。