二、线性相关与线性无关的判定与证明

小题

(一)数值型向量组的线性相关性

1. 【1994-5-3分】 设有向量组 ${\alpha }_1=(1,-1,2,4)$，${\alpha }_2=(0,3,1,2)$，${\alpha }_3=(3,0,7,14)$，${\alpha }_4=(1,-2,2,4)$，${\alpha }_5=(2,1,5,10)$，则该向量组的极大线性无关组是（ ）。

A. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$    B. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$

C. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_5$    D. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 以各向量为列组成矩阵，进行初等行变换可得其主元列为第 $1,2,4$ 列，且矩阵的秩为 $3$。因此

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$$

线性无关，并且向量组中其余向量均可由它们线性表示，故它们构成一个极大线性无关组。

选项 A、C 中的三个向量均只有秩 $2$；选项 D 中四个向量也只有秩 $2$，均不符合要求。

---

2. 【2002-4-3分】 设向量组 ${\alpha }_1=(a,0,c)$，${\alpha }_2=(b,c,0)$，${\alpha }_3=(0,a,b)$ 线性无关。则 $a,b,c$ 必满足的关系式为 ______。

查看答案与解析

答案：

$$abc\ne 0.$$

解析： 以三个向量为列构成矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& 0\\ 0& c& a\\ c& 0& b\end{array}\right).$$

三个三维向量线性无关的充要条件是 $|A|\ne 0$。计算得

$$|A|=2abc.$$

因此

$$2abc\ne 0,$$

即

$$abc\ne 0.$$

---

3. 【2002-3-3分】 设三阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 1& 2\\ 3& 0& 4\end{array}\right),$$

三维列向量 $\alpha =(a,1,1{)}^T$，已知 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关。则 $a=$ ______。

查看答案与解析

答案：

$$a=-1.$$

解析： 因为 $\alpha \ne 0$，且 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，所以存在常数 $\lambda$，使

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

计算

$$A\alpha =\left(\begin{array}{c}a\\ 2a+3\\ 3a+4\end{array}\right).$$

于是

$$\{\begin{array}{l}a=\lambda a,\\ 2a+3=\lambda ,\\ 3a+4=\lambda .\end{array}$$

由后两式相减得

$$a+1=0,$$

故

$$a=-1.$$

此时 $\lambda =1$，确有 $A\alpha =\alpha$。

---

4. 【2005-34-4分】 设行向量组

$$[2,1,1,1],[2,1,a,a],[3,2,1,a],[4,3,2,1]$$

线性相关，且 $a\ne 1$，则 $a=$ ______。

查看答案与解析

答案：

$$a=\frac{1}{2}.$$

解析： 四个四维向量线性相关，等价于以它们为行组成的行列式为零。记

$$D=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 2& 1& a& a\\ 3& 2& 1& a\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right|.$$

计算得

$$D=(a-1)(2a-1).$$

由 $D=0$ 得

$$a=1\text{或}a=\frac{1}{2}.$$

结合题设 $a\ne 1$，可知

$$a=\frac{1}{2}.$$

---

5. 【2012-123-4分】 设

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ c_2\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ c_3\end{array}\right),{\alpha }_4=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ c_4\end{array}\right),$$

其中 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。

A. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$    B. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$

C. ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$    D. ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 注意到

$${\alpha }_3+{\alpha }_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_3+c_4\end{array}\right).$$

该向量与 ${\alpha }_1=(0,0,c_1{)}^T$ 均在同一直线 $\mathrm{span}\{(0,0,1{)}^T\}$ 上，因此 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 必线性相关。

也可计算相应行列式：

$$|{\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4|=0.$$

其余三组选项的行列式分别为 $-c_1,c_1,-(c_3+c_4)$，并不对任意常数恒为零，故不能保证线性相关。

(二)抽象型向量组的线性相关性

1. 【1988-123-3分】 $n$ 维向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s(3\le s\le n)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）。

A. 有一组不全为 $0$ 的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_s$，使 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s\ne 0$

B. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 中任意两个向量都线性无关

C. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 中存在一个向量不能用其余向量线性表出

D. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出

查看答案与解析

答案： D。

解析： 向量组线性无关的等价表述是：其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

若某个向量可以由其余向量线性表示，移项后即可得到一个非平凡的零线性组合，向量组线性相关；反之，若向量组线性相关，从一个系数非零的向量对应项中解出该向量，即可将它表示为其余向量的线性组合。

A 只说明存在一个非零线性组合不为零，任何含非零向量的向量组通常都可能满足，不能判定线性无关；B、C 都不是充分必要条件。

---

2. 【1990-45-3分】 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关的充分条件是（ ）。

A. 各向量均不为零向量    B. 任意两个向量的分量不成比例

C. 任意一个向量均不能由其余 $s-1$ 个向量线性表示    D. 其中有一部分向量线性无关

查看答案与解析

答案： C。

解析： 选项 C 实际上是向量组线性无关的充分必要条件，因此当然也是充分条件。

A 只能排除含零向量的情形；B 只能保证任意两个向量线性无关，但三个或更多向量仍可能整体线性相关；D 中只要存在一个非零向量，就有一部分向量线性无关，显然不足以推出整个向量组线性无关。

---

3. 【1992-5-3分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 均为 $n$ 维向量，那么下列结论正确的是（ ）。

A. 若 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$，则向量组线性相关

B. 若对任意一组不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，都有 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_m{\alpha }_m\ne 0$，则向量组线性无关

C. 若向量组线性相关，则对任意一组不全为零的数，均有相应线性组合等于零

D. 若 $0{\alpha }_1+\cdots +0{\alpha }_m=0$，则向量组线性无关

查看答案与解析

答案： B。

解析： 线性无关的定义正是：只有全零系数才能使线性组合等于零；等价地，对任意一组不全为零的系数，线性组合都不等于零，故 B 正确。

A 未说明系数不全为零；C 将“存在一组”误写成“任意一组”；D 中零系数给出的恒等式对任何向量组都成立，不能用于判定线性无关。

---

4. 【1994-12-3分】 已知向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）。

A. ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_4,{\alpha }_4+{\alpha }_1$

B. ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_4,{\alpha }_4-{\alpha }_1$

C. ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_4,{\alpha }_4-{\alpha }_1$

D. ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_4,{\alpha }_4-{\alpha }_1$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 由于原向量组线性无关，只需考查各新向量关于原向量组的系数矩阵是否可逆。

选项 C 的系数矩阵为

$$K=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right),$$

其行列式为

$$|K|=2\ne 0.$$

故选项 C 中的新向量组线性无关。

A 中四个向量满足交错关系，B 中四个向量之和为零，D 的系数矩阵行列式也为零，均线性相关。

---

5. 【1996-45-3分】 设有任意两个 $n$ 维向量组 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 和 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$，若存在两组不全为零的数 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$ 和 $k_1,\cdots ,k_m$，使

$$\sum _{i=1}^m({\lambda }_i+k_i){\alpha }_i+\sum _{i=1}^m({\lambda }_i-k_i){\beta }_i=0,$$

则（ ）。

A. 两个原向量组都线性相关

B. 两个原向量组都线性无关

C. ${\alpha }_1+{\beta }_1,\cdots ,{\alpha }_m+{\beta }_m,{\alpha }_1-{\beta }_1,\cdots ,{\alpha }_m-{\beta }_m$ 线性无关

D. 上述 $2m$ 个向量线性相关

查看答案与解析

答案： D。

解析： 原等式可整理为

$$\sum _{i=1}^m{\lambda }_i({\alpha }_i+{\beta }_i)+\sum _{i=1}^m{k}_i({\alpha }_i-{\beta }_i)=0.$$

由于两组数 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m$ 与 $k_1,\cdots ,k_m$ 均不全为零，因此这里给出了向量组

$${\alpha }_1+{\beta }_1,\cdots ,{\alpha }_m+{\beta }_m,{\alpha }_1-{\beta }_1,\cdots ,{\alpha }_m-{\beta }_m$$

的一个非平凡零线性组合，故该向量组线性相关。

---

6. 【1997-34-3分】 设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。

A. ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_1$

B. ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3$

C. ${\alpha }_1+2{\alpha }_2,2{\alpha }_2+3{\alpha }_3,3{\alpha }_3+{\alpha }_1$

D. ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,2{\alpha }_1-3{\alpha }_2+22{\alpha }_3,3{\alpha }_1+5{\alpha }_2-5{\alpha }_3$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 分别考查新向量关于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的系数矩阵，其行列式依次为

$$0,0,12,0.$$

只有选项 C 的系数矩阵行列式非零，所以其中三个向量线性无关。

A 中三个向量之和存在非平凡关系；B 的第三个向量等于前两个向量之和；D 的系数矩阵奇异。

---

7. 【2002-2-3分】 设向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，向量 ${\beta }_1$ 可由它们线性表示，而向量 ${\beta }_2$ 不能由它们线性表示，则对于任意常数 $k$，必有（ ）。

A. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,k{\beta }_1+{\beta }_2$ 线性无关    B. 上述向量组线性相关

C. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1+k{\beta }_2$ 线性无关    D. 上述向量组线性相关

查看答案与解析

答案： A。

解析： 记

$$U=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

由题设 ${\beta }_1\in U$，${\beta }_2\notin U$。若对某个 $k$ 有

$$k{\beta }_1+{\beta }_2\in U,$$

则

$${\beta }_2=(k{\beta }_1+{\beta }_2)-k{\beta }_1\in U,$$

与题设矛盾。因此对任意 $k$，均有 $k{\beta }_1+{\beta }_2\notin U$。

在一个线性无关向量组后添加一个不属于其生成空间的向量，所得向量组仍线性无关，故 A 正确。

---

8. 【2003-3-4分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 均为 $n$ 维向量 $(s\ge 2)$，下列结论不正确的是（ ）。

A. 若对任意一组不全为零的数 $k_1,\cdots ,k_s$，都有 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s\ne 0$，则向量组线性无关

B. 若向量组线性相关，则对于任意一组不全为零的数 $k_1,\cdots ,k_s$，都有 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$

C. 向量组线性无关的充分必要条件是其秩为 $s$

D. 向量组线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关

查看答案与解析

答案： B。

解析： A 是线性无关的定义；C 是向量组秩的判定定理；D 正确，因为线性无关向量组的任意子组都线性无关。

B 错在“对于任意一组”。向量组线性相关只保证存在一组不全为零的系数，使线性组合等于零，并非任意一组不全为零的系数都满足该等式。

---

9. 【2003-12-4分】 设向量组Ⅰ：${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 可由向量组Ⅱ：${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 线性表示，则（ ）。

A. 当 $r<s$ 时，向量组Ⅱ必线性相关    B. 当 $r>s$ 时，向量组Ⅱ必线性相关

C. 当 $r<s$ 时，向量组Ⅰ必线性相关    D. 当 $r>s$ 时，向量组Ⅰ必线性相关

查看答案与解析

答案： D。

解析： 由于向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故

$$r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r)\le r({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s)\le s.$$

当 $r>s$ 时，有

$$r({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r)\le s<r,$$

即向量组Ⅰ的秩小于其向量个数，所以向量组Ⅰ必线性相关。

---

10. 【2004-12-4分】 设 $A,B$ 为满足 $AB=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

A. $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关

B. $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关

C. $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关

D. $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关

查看答案与解析

答案： A。

解析： 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times p$ 矩阵。

由于 $B\ne O$，存在 $B$ 的一个非零列向量 $b$。由 $AB=O$ 得

$$Ab=0.$$

这说明齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解，故 $A$ 的列向量组线性相关。

又因为 $A\ne O$，存在 $A$ 的一个非零行向量 $a^T$。由 $AB=O$ 得

$$a^{T}B=0,$$

即 $B$ 的若干行存在非平凡线性关系，所以 $B$ 的行向量组线性相关。

---

11. 【2005-123-4分】 设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$，则 ${\alpha }_1,A({\alpha }_1+{\alpha }_2)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）。

A. ${\lambda }_1\ne 0$    B. ${\lambda }_2\ne 0$    C. ${\lambda }_1=0$    D. ${\lambda }_2=0$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 不同特征值对应的特征向量线性无关，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。并且

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2.$$

向量 ${\alpha }_1$ 与上式线性无关，当且仅当上式含有非零的 ${\alpha }_2$ 分量，即

$${\lambda }_2\ne 0.$$

若 ${\lambda }_2=0$，则 $A({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\lambda }_1{\alpha }_1$，二者线性相关。

---

12. 【2006-123-4分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 均为 $n$ 维列向量，$A$ 是 $m\times n$ 矩阵，下列选项正确的是（ ）。

A. 若 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性相关，则 $A{\alpha }_1,\cdots ,A{\alpha }_s$ 线性相关

B. 若原向量组线性相关，则像向量组线性无关

C. 若原向量组线性无关，则像向量组线性相关

D. 若原向量组线性无关，则像向量组线性无关

查看答案与解析

答案： A。

解析： 若原向量组线性相关，则存在一组不全为零的数 $k_1,\cdots ,k_s$，使

$$k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s=0.$$

两边左乘 $A$，得

$$k_{1}A{\alpha }_1+\cdots +k_{s}A{\alpha }_s=0.$$

系数仍不全为零，所以像向量组线性相关。

反之，线性映射可能把线性无关向量映成线性相关向量，例如零矩阵会把所有向量映成零向量，故 C、D 都不能作为一般结论。

---

13. 【2007-1234-4分】 设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。

A. ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_1$

B. ${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$

C. ${\alpha }_1-2{\alpha }_2,{\alpha }_2-2{\alpha }_3,{\alpha }_3-2{\alpha }_1$

D. ${\alpha }_1+2{\alpha }_2,{\alpha }_2+2{\alpha }_3,{\alpha }_3+2{\alpha }_1$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 选项 A 中三个向量之和为

$$({\alpha }_1-{\alpha }_2)+({\alpha }_2-{\alpha }_3)+({\alpha }_3-{\alpha }_1)=0,$$

且系数 $1,1,1$ 不全为零，因此该向量组线性相关。

其余各组选项的系数矩阵行列式分别非零，故在原向量组线性无关时也线性无关。

---

14. 【2010-23-4分】 设向量组Ⅰ：${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 可由向量组Ⅱ：${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 线性表示，下列命题正确的是（ ）。

A. 若向量组Ⅰ线性无关，则 $r\le s$    B. 若向量组Ⅰ线性相关，则 $r>s$

C. 若向量组Ⅱ线性无关，则 $r\le s$    D. 若向量组Ⅱ线性相关，则 $r>s$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故

$$r(\text{I})\le r(\text{II})\le s.$$

若向量组Ⅰ线性无关，则

$$r(\text{I})=r,$$

因此

$$r\le s.$$

其余选项都不能由秩的上述关系必然推出。

---

15. 【2014-123-4分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 均为三维向量，则对任意常数 $k,l$，向量组 ${\alpha }_1+k{\alpha }_3,{\alpha }_2+l{\alpha }_3$ 线性无关，是向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关的（ ）。

A. 必要非充分条件    B. 充分非必要条件    C. 充分必要条件    D. 既非充分也非必要条件

查看答案与解析

答案： A。

解析： 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，而

$$c_1({\alpha }_1+k{\alpha }_3)+c_2({\alpha }_2+l{\alpha }_3)=0,$$

则

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+(k{c}_1+l{c}_2){\alpha }_3=0.$$

由原向量组线性无关，得 $c_1=c_2=0$，所以新向量组线性无关。因此“新向量组线性无关”是“原向量组线性无关”的必要条件。

反之不成立。例如取

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_3=0,$$

则对任意 $k,l$，新向量组仍为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$，线性无关，但原来的三个向量线性相关。因此该条件非充分。

(三)证明向量组线性无关

1. 【1998-1-4分】 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在正整数 $k$，使线性方程组 $A^{k}x=0$ 有解向量 $\alpha$，且 $A^{k-1}\alpha \ne 0$。证明：向量组

$$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha$$

线性无关。

查看答案与解析

答案： 该向量组线性无关。

解析： 设存在关系

$$c_0\alpha +c_{1}A\alpha +\cdots +c_{k-1}{A}^{k-1}\alpha =0.$$

若系数不全为零，设最小的满足 $c_j\ne 0$ 的下标为 $j$。在上式两边左乘 $A^{k-1-j}$，得

$$c_j{A}^{k-1}\alpha +c_{j+1}{A}^k\alpha +\cdots +c_{k-1}{A}^{2k-2-j}\alpha =0.$$

因为 $A^k\alpha =0$，故对任意 $r\ge k$，都有

$$A^r\alpha =0.$$

于是上式化为

$$c_j{A}^{k-1}\alpha =0.$$

但 $c_j\ne 0$ 且 $A^{k-1}\alpha \ne 0$，矛盾。

所以所有系数只能全为零，故

$$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha$$

线性无关。

---

2. 【2024-2-5分】 设

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\\ a\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -1\\ 1\end{array}\right).$$

若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 $ab=$ ______。

查看答案与解析

答案： $-4$。

解析： 以三个向量为列组成矩阵。由初等行变换可化为

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& 1& -1-a\\ 0& 0& a+b\\ 0& 0& a+2\end{array}\right).$$

三个向量线性相关，故矩阵秩小于3，于是第三列的两个末项必须同时为零：

$$a+b=0,a+2=0.$$

解得 $a=-2,b=2$。此时任意两个向量均不成比例，满足题设，所以

$$ab=-4.$$

---

3. 【2024-1-5分】 设

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\\ a\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -1\\ 1\end{array}\right),$$

若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（ ）。

A. $a=1,b\ne -1$    B. $a=1,b=-1$    C. $a\ne -2,b=2$    D. $a=-2,b=2$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 分类稿中 ${\alpha }_2$ 的第四个分量曾误录为 $1$；经核对 2024 年数学（一）原题，该分量应为 $a$，此处按原题订正。

三个四维向量线性相关，当且仅当以它们为列组成的矩阵的全部三阶子式均为零。其中一个三阶子式为

$$-(a-1{)}^2(a+2).$$

因此可能有 $a=1$ 或 $a=-2$。

若 $a=1$，则

$${\alpha }_1={\alpha }_3,$$

与“任意两个向量均线性无关”矛盾，故必须有

$$a=-2.$$

再由其余三阶子式为零得

$$a+b=0,$$

所以

$$b=2.$$

当 $a=-2,b=2$ 时，三个向量整体线性相关，而任意两个均不成比例，故任意两个线性无关，满足题意。

大题

(一)数值型向量组的线性相关性

1. 【1989-45-6分】 设

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ t\end{array}\right).$$

（1）问当 $t$ 为何值时，向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关；

（2）问当 $t$ 为何值时，该向量组线性相关；

（3）当向量组线性相关时，将 ${\alpha }_3$ 表示为 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 的线性组合。

查看答案与解析

答案： （1）$t\ne 5$；

（2）$t=5$；

（3）${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$。

解析： 以三个向量为列构成矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& t\end{array}\right).$$

计算得

$$|A|=t-5.$$

因此，当 $t\ne 5$ 时，$|A|\ne 0$，向量组线性无关；当 $t=5$ 时，$|A|=0$，向量组线性相关。

在 $t=5$ 时，设

$${\alpha }_3=x{\alpha }_1+y{\alpha }_2.$$

比较前两个分量，得

$$\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x+2y=3.\end{array}$$

解得 $x=-1,y=2$，且第三个分量也满足

$$-1+2\times 3=5.$$

故

$${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2.$$

---

2. 【1999-2-8分】 设向量组

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 3\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 5\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\\ p+2\end{array}\right),{\alpha }_4=\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 10\\ p\end{array}\right).$$

（1）$p$ 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 6\\ 10\end{array}\right)$$

用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性表出；

（2）$p$ 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。

查看答案与解析

答案： （1）当 $p\ne 2$ 时线性无关，且

$$\alpha =2{\alpha }_1+\frac{3p-4}{p-2}{\alpha }_2+{\alpha }_3+\frac{1-p}{p-2}{\alpha }_4.$$

（2）当 $p=2$ 时线性相关，其秩为 $3$，一个极大线性无关组为

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,$$

并且

$${\alpha }_4=2{\alpha }_2.$$

解析： 以四个向量为列构成矩阵

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4).$$

计算行列式得

$$|A|=14(p-2).$$

因此，当 $p\ne 2$ 时，$|A|\ne 0$，四个向量线性无关；当 $p=2$ 时线性相关。

在 $p\ne 2$ 时，设

$$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3+x_4{\alpha }_4.$$

解线性方程组可得

$$x_1=2,x_2=\frac{3p-4}{p-2},x_3=1,x_4=\frac{1-p}{p-2}.$$

故得到题中表示式。

当 $p=2$ 时，矩阵初等行变换后有三个主元列，故

$$r(A)=3.$$

其中前三列为主元列，所以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 构成一个极大线性无关组。又直接可见

$${\alpha }_4=\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 10\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 5\\ 1\end{array}\right)=2{\alpha }_2.$$

(二)抽象型向量组的线性相关性

1. 【1988-45-8分】 已知向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s(s\ge 2)$ 线性无关，设

$${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3,\cdots ,{\beta }_{s-1}={\alpha }_{s-1}+{\alpha }_s,{\beta }_s={\alpha }_s+{\alpha }_1.$$

讨论向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 的线性相关性。

查看答案与解析

答案： 当 $s$ 为奇数时，${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 线性无关；

当 $s$ 为偶数时，${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_s$ 线性相关。

解析： 设

$$k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+\cdots +k_s{\beta }_s=0.$$

代入 ${\beta }_i$ 的定义并按 ${\alpha }_i$ 合并，得

$$(k_1+k_s){\alpha }_1+(k_1+k_2){\alpha }_2+\cdots +(k_{s-1}+k_s){\alpha }_s=0.$$

由于 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关，故

$$k_1+k_s=0,k_1+k_2=0,\cdots ,k_{s-1}+k_s=0.$$

由此依次得到

$$k_2=-k_1,k_3=k_1,\cdots ,k_s=(-1{)}^{s-1}{k}_1.$$

再代入 $k_1+k_s=0$，得

$$[1+(-1{)}^{s-1}]k_1=0.$$

当 $s$ 为奇数时，括号内等于 $2$，故 $k_1=0$，进而所有 $k_i=0$，所以向量组线性无关。

当 $s$ 为偶数时，最后一个方程恒成立，取

$$k_i=(-1{)}^{i-1}$$

即可得到一个非平凡零线性组合，因此向量组线性相关。

---

2. 【1993-5-8分】 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times m$ 矩阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，且 $m>n$。已知

$$BA=E,$$

试判断 $A$ 的列向量组是否线性相关，并说明理由。

查看答案与解析

答案： $A$ 的列向量组线性无关。

解析： 设 $Ax=0$。在等式两边左乘 $B$，得到

$$BAx=0.$$

利用 $BA=E$，可得

$$Ex=x=0.$$

因此齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解。矩阵 $A$ 的列向量组线性无关的充要条件正是 $Ax=0$ 只有零解，故 $A$ 的列向量组线性无关。

也可从秩看出：

$$n=r(E)=r(BA)\le r(A)\le n,$$

故 $r(A)=n$，即 $A$ 满列秩。

---

3. 【1995-4-9分】 已知向量组

$$\text{（I）}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\text{（II）}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,\text{（III）}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5,$$

且各向量组的秩分别为

$$r(\text{I})=r(\text{II})=3,r(\text{III})=4.$$

证明：向量组

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5-{\alpha }_4$$

的秩为 $4$。

查看答案与解析

答案： 该向量组的秩为 $4$。

解析： 由

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=3$$

知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关。

又因为

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=3,$$

所以

$${\alpha }_4\in L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

而

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5)=4,$$

说明

$${\alpha }_5\notin L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

若 ${\alpha }_5-{\alpha }_4$ 可以由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示，则因 ${\alpha }_4$ 也属于该生成空间，有

$${\alpha }_5=({\alpha }_5-{\alpha }_4)+{\alpha }_4\in L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

这与上面的结论矛盾。

因此

$${\alpha }_5-{\alpha }_4\notin L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

在线性无关向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 后添加该向量，所得四个向量线性无关，故其秩为

$$4.$$

---

4. 【2001-4-8分】 设

$${\alpha }_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}{)}^T(i=1,2,\cdots ,r;r<n)$$

是 $n$ 维实向量，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关。已知

$$\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$$

是线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\cdots +a_{rn}{x}_n=0\end{array}$$

的非零解向量。试判断向量组

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$$

的线性相关性。

查看答案与解析

答案： 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$ 线性无关。

解析： 由 $\beta$ 是所给齐次线性方程组的解，知对每个 $i=1,2,\cdots ,r$，均有

$${\alpha }_i^T\beta =0.$$

即 $\beta$ 与每个 ${\alpha }_i$ 都正交。

设存在常数 $k_1,k_2,\cdots ,k_r,k$，使

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_r{\alpha }_r+k\beta =0.$$

两边左乘 ${\beta }^T$，得

$$k_1{\beta }^T{\alpha }_1+k_2{\beta }^T{\alpha }_2+\cdots +k_r{\beta }^T{\alpha }_r+k{\beta }^T\beta =0.$$

由于 ${\beta }^T{\alpha }_i=0$，故

$$k{\beta }^T\beta =0.$$

又因 $\beta \ne 0$，所以

$${\beta }^T\beta =\Vert \beta {\Vert }^2>0,$$

从而 $k=0$。原等式化为

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_r{\alpha }_r=0.$$

由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关，得到

$$k_1=k_2=\cdots =k_r=0.$$

因此原向量组只有零线性组合，故

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$$

线性无关。

(三)证明向量组线性无关

1. 【1991-4-6分】 证明：$n$ 维列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关的充分必要条件是

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^T{\alpha }_1& {\alpha }_1^T{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_1^T{\alpha }_n\\ {\alpha }_2^T{\alpha }_1& {\alpha }_2^T{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_2^T{\alpha }_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\alpha }_n^T{\alpha }_1& {\alpha }_n^T{\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n^T{\alpha }_n\end{array}\right|\ne 0,$$

其中 ${\alpha }_i^T$ 表示列向量 ${\alpha }_i$ 的转置。

查看答案与解析

答案： 结论成立。

解析： 令

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n).$$

则矩阵 $A^{T}A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为

$${\alpha }_i^T{\alpha }_j,$$

所以题中行列式就是 Gram 行列式

$$D=|A^{T}A|.$$

由行列式的乘法公式，

$$D=|A^T||A|=|A{|}^2.$$

下面证明充分性与必要性。

必要性： 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，则矩阵 $A$ 可逆，故

$$|A|\ne 0.$$

于是

$$D=|A{|}^2\ne 0.$$

充分性： 若 $D\ne 0$，则

$$|A{|}^2\ne 0,$$

从而 $|A|\ne 0$，矩阵 $A$ 可逆。于是 $A$ 的列向量组

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$$

线性无关。

因此

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\text{ 线性无关}⟺D\ne 0.$$

---

2. 【1993-12-6分】 设 $A$ 是 $n\times m$ 矩阵，$B$ 是 $m\times n$ 矩阵，其中 $n<m$，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。若

$$AB=E,$$

证明 $B$ 的列向量组线性无关。

查看答案与解析

答案： $B$ 的列向量组线性无关。

解析： 设 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 满足

$$Bx=0.$$

在等式两边左乘 $A$，得到

$$ABx=0.$$

由 $AB=E$，可得

$$Ex=x=0.$$

因此齐次线性方程组 $Bx=0$ 只有零解。

矩阵列向量组线性无关的充要条件是对应的齐次方程组只有零解，故 $B$ 的 $n$ 个列向量线性无关。

也可由秩公式说明：

$$n=r(E)=r(AB)\le r(B)\le n,$$

故

$$r(B)=n,$$

即 $B$ 满列秩，其列向量组线性无关。

---

3. 【1996-4-8分】 设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 是齐次线性方程组

$$Ax=0$$

的一个基础解系，向量 $\beta$ 不是方程组 $Ax=0$ 的解，即

$$A\beta \ne 0.$$

证明向量组

$$\beta ,\beta +{\alpha }_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_t$$

线性无关。

查看答案与解析

答案： 所给向量组线性无关。

解析： 设有线性组合

$$k_0\beta +k_1(\beta +{\alpha }_1)+k_2(\beta +{\alpha }_2)+\cdots +k_t(\beta +{\alpha }_t)=0.$$

整理得

$$(k_0+k_1+k_2+\cdots +k_t)\beta +k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_t{\alpha }_t=0.$$

两边左乘 $A$。因为 ${\alpha }_i$ 都是 $Ax=0$ 的解，所以

$$A{\alpha }_i=0(i=1,2,\cdots ,t).$$

因此

$$(k_0+k_1+k_2+\cdots +k_t)A\beta =0.$$

又因 $A\beta \ne 0$，故

$$k_0+k_1+k_2+\cdots +k_t=0.$$

代回原整理式，得到

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_t{\alpha }_t=0.$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 是基础解系，故它们线性无关，从而

$$k_1=k_2=\cdots =k_t=0.$$

再由

$$k_0+k_1+k_2+\cdots +k_t=0$$

可得 $k_0=0$。

因此所有系数均为零，故向量组

$$\beta ,\beta +{\alpha }_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_t$$

线性无关。

---

4. 【2008-234-10分】 设 $A$ 为三阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别是 $A$ 的属于特征值 $-1,1$ 的特征向量，向量 ${\alpha }_3$ 满足

$$A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3.$$

（1）证明 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关；

（2）令 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，求 $P^{-1}AP$。

查看答案与解析

答案： （1）${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关；

（2）

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

解析： （1）由题意，

$$A{\alpha }_1=-{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\alpha }_2,A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3.$$

先注意到 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别属于不同特征值 $-1,1$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。

设

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=0.$$

两边作用线性变换 $A$，得到

$$-k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3({\alpha }_2+{\alpha }_3)=0.$$

将该式减去原等式，得

$$-2k_1{\alpha }_1+k_3{\alpha }_2=0.$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，所以

$$k_1=0,k_3=0.$$

代入原等式可得

$$k_2{\alpha }_2=0.$$

特征向量 ${\alpha }_2\ne 0$，故 $k_2=0$。于是

$$k_1=k_2=k_3=0,$$

从而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关。

（2）由（1）知矩阵

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$$

可逆。又

$$AP=(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=(-{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3).$$

将右端各列用基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，得到

$$AP=P\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

两边左乘 $P^{-1}$，即得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$