二、秩的常用公式

小题

1. 【1994-4-3分】 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$C$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，矩阵 $A$ 的秩为 $r$，矩阵 $B=AC$ 的秩为 $r_1$，则（）。

A. $r>r_1$　　B. $r<r_1$    C. $r=r_1$　　D. $r\text{ 与 }{r}_1\text{ 的关系依 }C\text{ 而定}$

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答案： C。

解析： 右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩。因为 $C$ 可逆，所以

$$r(AC)=r(A).$$

也可以由

$$A=(AC)C^{-1}$$

得到

$$r(A)\le r(AC),$$

另一方面由乘积矩阵秩的不等式有 $r(AC)\le r(A)$，故

$$r_1=r.$$

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2. 【1996-12-3分】 设 $A$ 是 $4\times 3$ 矩阵，且 $r(A)=2$，而

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right),$$

则 $r(AB)=$。

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答案： $2$。

解析： 先计算

$$|B|=2\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right|=2(3+2)=10\ne 0.$$

所以 $B$ 可逆。右乘可逆矩阵不改变秩，因此

$$r(AB)=r(A)=2.$$

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3. 【1999-1-3分】 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times m$ 矩阵，则（）。

A. $\text{当 }m>n\text{ 时，必有 }|AB|\ne 0$    B. $\text{当 }m>n\text{ 时，必有 }|AB|=0$

C. $\text{当 }n>m\text{ 时，必有 }|AB|\ne 0$    D. $\text{当 }n>m\text{ 时，必有 }|AB|=0$

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答案： B。

解析： 矩阵 $AB$ 是 $m$ 阶方阵。当 $m>n$ 时，

$$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}\le n<m.$$

因此 $AB$ 不满秩，必有

$$|AB|=0.$$

当 $n>m$ 时，$AB$ 是否可逆不能仅由矩阵阶数确定，故 C、D 均不成立。

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4. 【2010-1-4分】 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，$E$ 为 $m$ 阶单位矩阵，若 $AB=E$，则（）。

A. $r(A)=m，r(B)=m$    B. $r(A)=m，r(B)=n$    C. $r(A)=n，r(B)=m$    D. $r(A)=n，r(B)=n$

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答案： A。

解析： 由 $AB=E_m$，有

$$m=r(E_m)=r(AB)\le r(A)\le m,$$

故 $r(A)=m$。同理，

$$m=r(AB)\le r(B)\le m,$$

故 $r(B)=m$。因此 A 正确。

这也说明必须有 $m\le n$：$A$ 满行秩，$B$ 满列秩。

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5. 【2016-2-4分】 设矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}a& -1& -1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{array}\right)$$

与

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

等价，则 $a=$。

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答案： $2$。

解析： 等价矩阵具有相同的秩。设第二个矩阵为 $B$，则

$$|B|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=0,$$

且它存在非零二阶子式，例如

$$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right|=-1\ne 0,$$

所以 $r(B)=2$。

第一个矩阵可写为

$$A=(a+1)E_3-J,$$

其特征值为 $a-2$（对应全 $1$ 向量）以及 $a+1$（重数为 $2$）。要使 $r(A)=2$，必须

$$a-2=0,$$

且 $a+1\ne 0$，故

$$a=2.$$

当 $a=-1$ 时，矩阵秩为 $1$，不符合题意。

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6. 【2017-13-4分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right),$$

${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为线性无关的三维向量组，则向量组 $A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3$ 的秩为。

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答案： $2$。

解析： 令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，矩阵 $P$ 可逆。以 $A{\alpha }_i$ 为列构成的矩阵为

$$(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=AP,$$

故

$$r(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=r(AP)=r(A).$$

矩阵 $A$ 的第二行等于第一行与第三行之和，而第一行与第三行线性无关，所以

$$r(A)=2.$$

因此所求向量组的秩为 $2$。

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7. 【2018-123-4分】 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩，$(XY)$ 表示分块矩阵，则（）。

A. $r(AB)=r(A^T{B}^T)$    B. $r(AB)=r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$

C. $r(AB)=\max \{r(A),r(B)\}$    D. $r(AB)=r\left(\begin{array}{cc}A& A\\ O& B\end{array}\right)$

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答案： A。

解析： 矩阵的秩等于其转置矩阵的秩。对横向分块矩阵 $(AB)$，有

$$(AB{)}^T=\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right),$$

故

$$r(AB)=r\left(\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right).$$

题目 A 中的转置分块应理解为上述纵向分块，因此 A 正确。

B 右端的秩为 $r(A)+r(B)$，一般不等于 $r(AB)$；C 中横向拼接后的秩可能大于 $\max \{r(A),r(B)\}$；D 右端经列变换可化为分块对角矩阵，其秩为 $r(A)+r(B)$，也不一定等于左端。

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8. 【1988-45-2分】 判断正误：若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶非零方阵，且 $AB=O$，则 $A$ 的秩必小于 $n$。

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答案： 正确。

解析： 若 $r(A)=n$，则 $A$ 可逆。由

$$AB=O$$

左乘 $A^{-1}$，得到

$$B=O,$$

这与 $B$ 为非零矩阵矛盾。因此 $A$ 不可逆，从而

$$r(A)<n.$$

同理也可推出 $r(B)<n$。

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9. 【1993-12-3分】 已知

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& t\\ 3& 6& 9\end{array}\right),$$

$P$ 为三阶非零矩阵，且满足 $PQ=O$，则（）。

A. $t=6\text{ 时 }P\text{ 的秩必为 }1$    B. $t=6\text{ 时 }P\text{ 的秩必为 }2$

C. $t\ne 6\text{ 时 }P\text{ 的秩必为 }1$    D. $t\ne 6\text{ 时 }P\text{ 的秩必为 }2$

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答案： C。

解析： 矩阵 $Q$ 的第二列是第一列的 $2$ 倍。

当 $t=6$ 时，第三列又是第一列的 $3$ 倍，所以 $r(Q)=1$。由 $PQ=O$ 只能推出

$$r(P)+r(Q)\le 3,$$

即 $r(P)\le 2$。由于 $P\ne O$，$r(P)$ 可以为 $1$ 或 $2$，故 A、B 均不一定成立。

当 $t\ne 6$ 时，第一列与第三列线性无关，故 $r(Q)=2$。于是

$$r(P)+2\le 3,$$

从而 $r(P)\le 1$。又 $P\ne O$，所以

$$r(P)=1.$$

因此 C 正确。

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10. 【1994-5-3分】 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且 $AB=O$，则 $A$ 和 $B$ 的秩（）。

A. $\text{必有一个等于零}$    B. $\text{都小于 }n$    C. $\text{一个小于 }n\text{，一个等于 }n$    D. $\text{都等于 }n$

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答案： B。

解析： 若 $r(A)=n$，则 $A$ 可逆，由 $AB=O$ 可得 $B=O$，与 $B$ 非零矛盾。因此 $r(A)<n$。

同理，若 $r(B)=n$，则 $B$ 可逆，由 $AB=O$ 可得 $A=O$，也与题设矛盾。因此

$$r(A)<n,r(B)<n.$$

故 B 正确。

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11. 【1997-1-3分】 设

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& t& 3\\ 3& -1& 1\end{array}\right),$$

$B$ 为三阶非零矩阵，且 $AB=O$，则 $t=$。

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答案： $-3$。

解析： 由于 $B\ne O$ 且 $AB=O$，矩阵 $A$ 不可能可逆，否则左乘 $A^{-1}$ 将得到 $B=O$。所以

$$|A|=0.$$

计算行列式：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& t& 3\\ 3& -1& 1\end{array}\right|=7(t+3).$$

由 $|A|=0$ 得

$$t=-3.$$

此时 $A$ 为奇异矩阵，齐次方程组 $Ax=0$ 存在非零解，因而确实可以取非零矩阵 $B$，使其各列均为 $Ax=0$ 的解。

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12. 【1993-45-3分】 设四阶方阵 $A$ 的秩为 $2$，则其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的秩为。

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答案： $0$。

解析： 对 $n$ 阶矩阵 $A$，伴随矩阵的秩满足

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}$$

本题 $n=4$，且 $r(A)=2=n-2$，所以 $A$ 的所有三阶子式均为零。$A^{\ast }$ 的元素均为三阶代数余子式，因此

$$A^{\ast }=O,r(A^{\ast })=0.$$

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13. 【2003-3-4分】 设三阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& b\\ b& a& b\\ b& b& a\end{array}\right),$$

若 $A$ 的伴随矩阵的秩等于 $1$，则必有（）。

A. $a=b\text{ 或 }a+2b=0$    B. $a=b\text{ 或 }a+2b\ne 0$    C. $a\ne b\text{ 且 }a+2b=0$    D. $a\ne b\text{ 且 }a+2b\ne 0$

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答案： C。

解析： 三阶矩阵满足 $r(A^{\ast })=1$ 的充要条件是

$$r(A)=2.$$

矩阵 $A$ 可写成

$$A=(a-b)E_3+bJ,$$

其特征值为

$$a+2b$$

以及

$$a-b$$

（后者重数为 $2$）。要使 $r(A)=2$，必须仅有一个特征值为零。因此应有

$$a+2b=0,a-b\ne 0.$$

若 $a=b$，则重数为 $2$ 的特征值 $a-b$ 为零，此时矩阵的秩至多为 $1$，不符合题意。因此 C 正确。

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14. 【2019-23-4分】 设 $A$ 为四阶矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中只有 $2$ 个向量，则 $r(A^{\ast })=$（）。

A. $0$　　B. $1$　　C. $2$　　D. $3$

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答案： A。

解析： 齐次方程组基础解系所含向量的个数等于解空间维数，即

$$n-r(A)=2.$$

本题 $n=4$，故

$$r(A)=4-2=2.$$

由于 $r(A)=2\le 4-2$，矩阵 $A$ 的所有三阶子式均为零，所以

$$A^{\ast }=O,r(A^{\ast })=0.$$

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15. 【2021-1-5分】 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵，下列不成立的是（）。

A. $r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right)=2r(A)$    B. $r\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^T\end{array}\right)=2r(A)$

C. $r\left(\begin{array}{cc}A& BA\\ O& A{A}^T\end{array}\right)=2r(A)$    D. $r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^T\end{array}\right)=2r(A)$

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答案： C。

解析： A 为分块对角矩阵，故

$$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right)=r(A)+r(A^T)=2r(A).$$

对 B 作可逆的分块列变换：第二列块减去第一列块右乘 $B$，即

$$\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^T\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E& -B\\ O& E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right),$$

所以 B 成立。

对 D 作可逆的分块行变换：第二行块减去 $B$ 乘第一行块，得到

$$\left(\begin{array}{cc}E& O\\ -B& E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right),$$

所以 D 成立。

C 一般不成立。例如取

$$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right).$$

此时 $r(A)=1$，但

$$r\left(\begin{array}{cc}A& BA\\ O& A{A}^T\end{array}\right)=3\ne 2r(A)=2.$$

因此不成立的是 C。

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16. 【2023-1-5分】 已知 $n$ 阶矩阵 $A,B,C$ 满足 $ABC=O$，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。记矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}O& A\\ BC& E\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}AB& C\\ O& E\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}E& AB\\ AB& O\end{array}\right)$$

的秩分别为 $r_1,r_2,r_3$，则（）。

A. $r_1\le r_2\le r_3$    B. $r_1\le r_3\le r_2$    C. $r_3\le r_1\le r_2$    D. $r_2\le r_1\le r_3$

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答案： B。

解析： 利用含可逆单位块的分块矩阵秩公式

$$r\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& E\end{array}\right)=n+r(X-YZ),$$

可得

$$r_1=n+r(O-ABC)=n.$$

同理，

$$r_2=n+r(AB).$$

对第三个矩阵，以左上角 $E$ 为可逆块，得到

$$r_3=n+r(O-(AB)(AB))=n+r((AB{)}^2).$$

由于

$$0\le r((AB{)}^2)\le r(AB),$$

故

$$r_1=n\le r_3\le r_2.$$

因此选 B。

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17. 【2024-2-5分】 设 $A$ 为四阶矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $A(A-A^{\ast })=O$ 且 $A\ne A^{\ast }$，则 $r(A)$ 的取值为（）。

A. $0\text{ 或 }1$　　B. $1\text{ 或 }3$    C. $2\text{ 或 }3$　　D. $1\text{ 或 }2$

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答案： D。

解析： 若 $r(A)=4$，则 $A$ 可逆。由

$$A(A-A^{\ast })=O$$

左乘 $A^{-1}$ 可得 $A=A^{\ast }$，与题设矛盾，所以 $r(A)\ne 4$。

若 $r(A)=3$，则 $|A|=0$，并且

$$A{A}^{\ast }=|A|E=O.$$

原式化为 $A^2=O$。但由秩不等式

$$r(A^2)\ge 2r(A)-4=2,$$

这与 $A^2=O$ 矛盾，所以 $r(A)\ne 3$。

若 $r(A)\le 2$，则四阶矩阵的伴随矩阵满足 $A^{\ast }=O$，原式成为

$$A^2=O.$$

又因 $A\ne A^{\ast }=O$，故 $A\ne O$，从而 $r(A)\ge 1$。同时由

$$0=r(A^2)\ge 2r(A)-4$$

得 $r(A)\le 2$。因此

$$r(A)=1\text{ 或 }2.$$

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18. 【2024-3-5分】 设 $A$ 为三阶矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为三阶单位矩阵。若 $r(2E-A)=1$，$r(E+A)=2$，则 $|A^{\ast }|=$。

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答案： $16$。

解析： 由 $r(2E-A)=1$，知

$$\dim \ker (2E-A)=2,$$

因此特征值 $2$ 至少有两个线性无关的特征向量。

由 $r(E+A)=2$，知

$$\dim \ker (E+A)=1,$$

因此 $-1$ 是 $A$ 的特征值，并有一个线性无关的特征向量。

不同特征值对应的特征向量线性无关，所以三维空间存在由这些特征向量组成的一组基。故 $A$ 的三个特征值为

$$2,2,-1.$$

于是

$$|A|=2\cdot 2\cdot (-1)=-4.$$

对于三阶矩阵，

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{3-1}=|A{|}^2=16.$$

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19. 【2025-1-5分】 设 $n$ 阶矩阵 $A,B,C$ 满足

$$r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n,$$

给出下列四个结论：

$(1)r(ABC)+n=r(AB)+r(C)$；

$(2)r(AB)+n=r(A)+r(B)$；

$(3)r(A)=r(B)=r(C)=n$；

$(4)r(AB)=r(BC)=n$。

其中正确的选项是（）。

A. $(1)(2)$　　B. $(1)(3)$    C. $(2)(4)$　　D. $(3)(4)$

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答案： A。

解析： 由 Sylvester 秩不等式，

$$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n,$$

以及

$$r(ABC)\ge r(AB)+r(C)-n.$$

合并得到

$$r(ABC)\ge r(A)+r(B)+r(C)-2n.$$

题设恰好给出

$$r(ABC)=r(A)+r(B)+r(C)-2n,$$

即上述两次 Sylvester 不等式最终取等号。若其中任意一次为严格不等式，则合并后的不等式也会严格，故必须分别有

$$r(AB)=r(A)+r(B)-n,$$

以及

$$r(ABC)=r(AB)+r(C)-n.$$

这正是结论 $(2)$ 与 $(1)$，所以二者正确。

题设并不能推出 $A,B,C$ 全部可逆，也不能推出 $AB,BC$ 均满秩，因此 $(3)(4)$ 不一定成立。

大题

1. 【2008-1-10分】 设 $\alpha ,\beta$ 是三维列向量，矩阵

$$A=\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T,$$

其中 ${\alpha }^T,{\beta }^T$ 分别为 $\alpha ,\beta$ 的转置。证明：

（1）秩 $r(A)\le 2$；

（2）若 $\alpha ,\beta$ 线性相关，则秩 $r(A)<2$。

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答案： （1）$r(A)\le 2$；（2）当 $\alpha ,\beta$ 线性相关时，$r(A)\le 1<2$。

解析： （1）矩阵 $\alpha {\alpha }^T$ 的每一列都是列向量 $\alpha$ 的倍数，因此

$$r(\alpha {\alpha }^T)\le 1.$$

同理，

$$r(\beta {\beta }^T)\le 1.$$

利用矩阵和的秩不等式

$$r(X+Y)\le r(X)+r(Y),$$

可得

$$r(A)=r(\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T)\le r(\alpha {\alpha }^T)+r(\beta {\beta }^T)\le 1+1=2.$$

因此

$$r(A)\le 2.$$

也可以从列空间直接理解：对任意三维列向量 $x$，

$$Ax=\alpha ({\alpha }^{T}x)+\beta ({\beta }^{T}x),$$

故 $Ax$ 总属于 $\mathrm{span}\{\alpha ,\beta \}$，所以

$$\mathrm{Im}(A)\subseteq \mathrm{span}\{\alpha ,\beta \},$$

从而 $r(A)\le 2$。

（2）若 $\alpha ,\beta$ 线性相关，则分情况讨论。

若 $\alpha =0$，则

$$A=\beta {\beta }^T,$$

故 $r(A)\le 1$。

若 $\alpha \ne 0$，则存在常数 $k$，使

$$\beta =k\alpha .$$

于是

$$A=\alpha {\alpha }^T+(k\alpha )(k\alpha {)}^T=\alpha {\alpha }^T+k^2\alpha {\alpha }^T=(1+k^2)\alpha {\alpha }^T.$$

矩阵 $\alpha {\alpha }^T$ 的各列均为 $\alpha$ 的倍数，所以

$$r(A)\le 1<2.$$

因此，只要 $\alpha ,\beta$ 线性相关，就一定有

$$r(A)<2.$$