五、矩阵可逆性的讨论

小题

1. 【2005-4-5分】 设$A,B,C$均为$n$阶矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵，若$B=E+AB$，$C=A+CA$，则$B-C$为

A. $E$    B. $-E$    C. $A$    D. $-A$

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答案： A。

解析： 由

$B=E+AB$

移项得

$(E-A)B=E$。

由于$E-A$与$B$均为$n$阶方阵，而$E-A$存在右逆$B$，因此$E-A$可逆，且

$B=(E-A{)}^{-1}$。

再由

$C=A+CA$

可得

$C(E-A)=A$，

从而

$C=A(E-A{)}^{-1}$。

注意$A$与$E-A$可交换，因此$A$也与$(E-A{)}^{-1}$可交换。于是

$B-C=(E-A{)}^{-1}-A(E-A{)}^{-1}$

$=(E-A)(E-A{)}^{-1}=E$。

故选A。

错误选项分析：B、C、D均忽略了由$(E-A)B=E$可推出$E-A$可逆这一关键事实。

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2. 【2022-1-5分】 已知矩阵$A$和$E-A$可逆，其中$E$为单位矩阵，若矩阵$B$满足$[E-(E-A{)}^{-1}]B=A$，则$B-A=$

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答案： $-E$。

解析： 先化简方程左侧的系数矩阵。因为$A$与$E-A$可交换，所以$A$与$(E-A{)}^{-1}$也可交换，并且

$E-(E-A{)}^{-1}$

$=[(E-A)-E](E-A{)}^{-1}$

$=-A(E-A{)}^{-1}$。

原方程化为

$-A(E-A{)}^{-1}B=A$。

由于$A$和$E-A$均可逆，故等式两边左乘$-(E-A)A^{-1}$，得到

$B=-(E-A)A^{-1}A=-(E-A)=A-E$。

因此

$B-A=-E$。

易错点：矩阵乘法一般不可交换，但本题中$A$与$E-A$均为$A$的多项式，因而可交换；其逆矩阵也与$A$可交换。

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3. 【2006-4-4分】 设矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$，$E$为二阶单位矩阵，矩阵$B$满足$BA=B+2E$，则$B=$

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答案： $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$。

解析： 由

$BA=B+2E$

移项得

$B(A-E)=2E$。

计算

$A-E=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$，

其行列式为

$|A-E|=1\cdot 1-1\cdot (-1)=2\ne 0$，

故$A-E$可逆，且

$(A-E{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$。

于是

$B=2E(A-E{)}^{-1}=2(A-E{)}^{-1}$

$=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$。

知识点：解形如$BX=C$的矩阵方程时，应在等式右侧乘$X^{-1}$，不能把矩阵因子的次序颠倒。

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4. 【2008-1234-4分】 设$A$为$n$阶非零矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵，若$A^3=O$，则( )

A. $E-A$ 不可逆，$E+A$ 不可逆    B. $E-A$ 不可逆，$E+A$ 可逆

C. $E-A$ 可逆，$E+A$ 可逆    D. $E-A$ 可逆，$E+A$ 不可逆

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答案： C。

解析： 由$A^3=O$，利用有限等比和公式，有

$(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E$，

同时

$(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E$。

因此

$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$，

$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$。

故$E-A$和$E+A$均可逆，选C。

错误选项分析：A、B、D均与上述显式逆矩阵矛盾。一般地，若$A^m=O$，则$E-A$一定可逆。

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5. 【2017-13-4分】 设$\alpha$为$n$维单位列向量，$E$为$n$阶单位矩阵，则( )

A. $E-\alpha {\alpha }^T$ 不可逆    B. $E+\alpha {\alpha }^T$ 不可逆

C. $E+2\alpha {\alpha }^T$ 不可逆    D. $E-2\alpha {\alpha }^T$ 不可逆

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答案： A。

解析： 因为$\alpha$是单位列向量，所以

${\alpha }^T\alpha =1$。

考察矩阵$E-\alpha {\alpha }^T$作用于非零向量$\alpha$：

$(E-\alpha {\alpha }^T)\alpha$

$=\alpha -\alpha ({\alpha }^T\alpha )$

$=\alpha -\alpha =0$。

因此齐次方程

$(E-\alpha {\alpha }^T)x=0$

存在非零解$x=\alpha$，故$E-\alpha {\alpha }^T$不可逆，A正确。

进一步说明其余选项：对任意常数$k$，矩阵$E+k\alpha {\alpha }^T$在方向$\alpha$上的特征值为$1+k$，在与$\alpha$正交的方向上的特征值均为$1$。因此只有当$k=-1$时矩阵不可逆。

B、C、D分别对应$k=1,2,-2$，其特征值$1+k$分别为$2,3,-1$，均不为零，所以这些矩阵都可逆。

大题

1. 【2002-2-6分】 已知$A,B$为3阶矩阵，且满足$2A^{-1}B=B-4E$，其中$E$是3阶单位矩阵。

（1）证明：矩阵$A-2E$可逆；

（2）若$B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，求矩阵$A$。

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答案： （1）$A-2E$可逆；

（2）$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$。

解析： （1）由题设

$2A^{-1}B=B-4E$，

移项得

$(2A^{-1}-E)B=-4E$。

由于$-4E$可逆，而两个同阶方阵的乘积可逆时，每个因子都可逆，因此$2A^{-1}-E$可逆。

又

$2A^{-1}-E=A^{-1}(2E-A)=-A^{-1}(A-2E)$。

其中$A^{-1}$可逆，且$-A^{-1}(A-2E)$可逆，所以$A-2E$必可逆。

（2）在原等式两边左乘$A$，得

$2B=AB-4A=A(B-4E)$。

本题中

$B-4E=\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& 0\\ 1& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$，

其行列式为

$|B-4E|=(-2)\left|\begin{array}{cc}-3& -2\\ 1& -2\end{array}\right|=-2(6+2)=-16\ne 0$，

故$B-4E$可逆，且

$(B-4E{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4}& \frac{1}{4}& 0\\ -\frac{1}{8}& -\frac{3}{8}& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$。

于是

$A=2B(B-4E{)}^{-1}$

$=2\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4}& \frac{1}{4}& 0\\ -\frac{1}{8}& -\frac{3}{8}& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$。

知识点：矩阵乘积可逆的充要条件是各因子均可逆；解矩阵方程时应注意未知矩阵左右两侧因子的次序不能交换。

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2. 【2015-23-11分】 设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& a& -1\\ 0& 1& a\end{array}\right)$且$A^3=O$。

（1）求$a$的值；

（2）若矩阵$X$满足$X-X{A}^2-AX+AX{A}^2=E$，其中$E$为3阶单位矩阵，求$X$。

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答案： （1）$a=0$；

（2）$X=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\right)$。

解析： （1）由$A^3=O$可知$A$为幂零矩阵，因此$A$的全部特征值均为$0$，从而其迹为$0$。

而

$\mathrm{tr}(A)=3a$，

故

$3a=0$，即$a=0$。

此时

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$，

直接计算得

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$，

并且$A^3=O$，与题设相符。

（2）原方程左端可因式分解为

$X-X{A}^2-AX+AX{A}^2=(E-A)X(E-A^2)$，

故

$(E-A)X(E-A^2)=E$。

由$A^3=O$，有

$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$，

因为

$(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E$。

又因$A^4=O$，故

$(E-A^2{)}^{-1}=E+A^2$。

于是

$X=(E-A{)}^{-1}(E-A^2{)}^{-1}$

$=(E+A+A^2)(E+A^2)$

$=E+A+2A^2$。

代入$A$与$A^2$，得

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\right)$。

易错点：因式分解时必须保持矩阵乘法次序，正确形式是$(E-A)X(E-A^2)$，不能随意把$X$移到其他位置。

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3. 【1996-12-6分】 设$A=E-\xi {\xi }^T$，其中$E$是$n$阶单位矩阵，$\xi$是$n$维非零列向量，${\xi }^T$是$\xi$的转置，证明：

（1）$A^2=A$的充要条件是${\xi }^T\xi =1$；

（2）当${\xi }^T\xi =1$时，$A$是不可逆矩阵。

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答案： （1）$A^2=A⟺{\xi }^T\xi =1$；

（2）当${\xi }^T\xi =1$时，$A$不可逆。

解析： （1）由$A=E-\xi {\xi }^T$，计算

$A^2=(E-\xi {\xi }^T{)}^2$

$=E-2\xi {\xi }^T+\xi {\xi }^T\xi {\xi }^T$。

注意${\xi }^T\xi$是一个数，故

$\xi {\xi }^T\xi {\xi }^T=\xi ({\xi }^T\xi ){\xi }^T=({\xi }^T\xi )\xi {\xi }^T$。

因此

$A^2=E+({\xi }^T\xi -2)\xi {\xi }^T$。

若$A^2=A$，则

$E+({\xi }^T\xi -2)\xi {\xi }^T=E-\xi {\xi }^T$，

即

$({\xi }^T\xi -1)\xi {\xi }^T=O$。

因为$\xi \ne 0$，所以$\xi {\xi }^T\ne O$，从而

${\xi }^T\xi -1=0$，即${\xi }^T\xi =1$。

反之，若${\xi }^T\xi =1$，则

$A^2=E+(1-2)\xi {\xi }^T=E-\xi {\xi }^T=A$。

所以$A^2=A$的充要条件是${\xi }^T\xi =1$。

（2）当${\xi }^T\xi =1$时，

$A\xi =(E-\xi {\xi }^T)\xi$

$=\xi -\xi ({\xi }^T\xi )$

$=\xi -\xi =0$。

由于$\xi \ne 0$，齐次方程$Ax=0$存在非零解$x=\xi$，故$A$不可逆。

知识点：$E-\xi {\xi }^T$在$\xi$方向上将向量映为零，而在与$\xi$正交的方向上保持不变；当$\xi$为单位向量时，它是一个正交投影矩阵。

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4. 【1997-34-6分】 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$\alpha$为$n$维列向量，$b$为常数，记分块矩阵

$P=\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ -{\alpha }^T{A}^{\ast }& |A|\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& b\end{array}\right)$，

其中$A^{\ast }$是矩阵$A$的伴随矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。

（1）计算并化简$PQ$；

（2）证明：矩阵$Q$可逆的充分必要条件是${\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \ne b$。

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答案： （1）$PQ=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ O& |A|(b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha )\end{array}\right)$；

（2）$Q$可逆$⟺{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \ne b$。

解析： （1）按照分块矩阵乘法法则，

$PQ=\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ -{\alpha }^T{A}^{\ast }& |A|\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& b\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ -{\alpha }^T{A}^{\ast }A+|A|{\alpha }^T& -{\alpha }^T{A}^{\ast }\alpha +|A|b\end{array}\right)$。

由伴随矩阵性质

$A^{\ast }A=|A|E$，

故左下分块为

$-{\alpha }^T{A}^{\ast }A+|A|{\alpha }^T=-|A|{\alpha }^T+|A|{\alpha }^T=O$。

又因为$A$可逆，

$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，

所以右下分块为

$-{\alpha }^T{A}^{\ast }\alpha +|A|b$

$=-|A|{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha +|A|b$

$=|A|(b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha )$。

因此

$PQ=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ O& |A|(b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha )\end{array}\right)$。

（2）矩阵$P$是分块下三角矩阵，故

$|P|=|E|\cdot |A|=|A|\ne 0$，

所以$P$可逆。于是

$Q\text{可逆}⟺PQ\text{可逆}$。

而$PQ$是分块上三角矩阵，其行列式为

$|PQ|=|A|\cdot |A|(b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha )$

$=|A{|}^2(b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha )$。

由于$|A|\ne 0$，故

$|PQ|\ne 0⟺b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \ne 0$，

即

$Q\text{可逆}⟺{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \ne b$。

知识点：本题本质上是分块矩阵的舒尔补判别；当$A$可逆时，$Q$可逆的关键是标量舒尔补$b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha$不为零。