一、矩阵的运算

小题

(一)对概念和运算法则的考查

1. 【1995-5-3分】 设$n$维行向量$\alpha =(\frac{1}{2},0,\cdots ,0,\frac{1}{2})$，矩阵$A=E-{\alpha }^T\alpha$，$B=E+2{\alpha }^T\alpha$，其中$E$为$n$阶单位矩阵，则$AB$等于( ).

A. $O$    B. $A$    C. $E$    D. $E+{\alpha }^T\alpha$

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答案： C

解析： 令$X={\alpha }^T\alpha$。由于$\alpha$为行向量，故$\alpha {\alpha }^T$为一阶方阵，即一个数，并且

$\alpha {\alpha }^T={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$。

因此

$X^2=({\alpha }^T\alpha )({\alpha }^T\alpha )={\alpha }^T(\alpha {\alpha }^T)\alpha =\frac{1}{2}{\alpha }^T\alpha =\frac{1}{2}X$。

于是

$AB=(E-X)(E+2X)=E+X-2X^2=E+X-2\cdot \frac{1}{2}X=E$。

故选C。A、B、D均不符合上述乘积结果。

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2. 【1999-34-3分】 设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，$n\ge 2$为正整数，则$A^n-2A^{n-1}=$

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答案： $O$

解析： 直接计算得

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right)=2A$。

因此，当$n\ge 2$时，

$A^n=A^{n-2}{A}^2=2A^{n-1}$，

从而

$A^n-2A^{n-1}=O$。

本题的关键是先发现矩阵满足多项式关系$A^2-2A=O$，无需逐次计算高次幂。

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3. 【2003-34-4分】 设$n$维向量$\alpha =(a,0,\cdots ,0,a{)}^T$，$a<0$，$E$为$n$阶单位矩阵，矩阵$A=E-\alpha {\alpha }^T$，$B=E+\frac{1}{a}\alpha {\alpha }^T$，其中$A$的逆矩阵为$B$，则$a=$

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答案： $-1$

解析： 令$X=\alpha {\alpha }^T$。由

${\alpha }^T\alpha =a^2+a^2=2a^2$，

可得

$X^2=\alpha ({\alpha }^T\alpha ){\alpha }^T=2a^{2}X$。

因为$B=A^{-1}$，所以$AB=E$。于是

$(E-X)\left(E+\frac{1}{a}X\right)=E$。

展开并利用$X^2=2a^{2}X$，得

$$E+\left(\frac{1}{a}-1\right)X-\frac{1}{a}{X}^2=E+\left(\frac{1}{a}-1-2a\right)X=E$$

。

由于$\alpha \ne 0$，故$X\ne O$，从而

$\frac{1}{a}-1-2a=0$。

即

$2a^2+a-1=0$，

所以

$(2a-1)(a+1)=0$，

得到$a=\frac{1}{2}$或$a=-1$。结合条件$a<0$，可知

$a=-1$。

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4. 【2003-2-4分】 设$\alpha$为3维列向量，${\alpha }^T$是$\alpha$的转置，若$\alpha {\alpha }^T=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$，则${\alpha }^T\alpha =$

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答案： $3$

解析： 利用矩阵迹的性质，

$\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^T)=\mathrm{tr}({\alpha }^T\alpha )$。

其中${\alpha }^T\alpha$是一个数，其迹就是它本身。因此

${\alpha }^T\alpha =\mathrm{tr}(\alpha {\alpha }^T)=1+1+1=3$。

也可以观察到给定矩阵等于$(1,-1,1{)}^T(1,-1,1)$，故$\alpha$可取$(1,-1,1{)}^T$或其相反向量，二者均有${\alpha }^T\alpha =3$。

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5. 【2004-4-4分】 设$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，$B=P^{-1}AP$，其中$P$为三阶可逆矩阵，则$B^{2004}-2A^2=$

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答案： $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

解析： 先计算$A$的幂。由

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，

进一步有$A^4=E$。因为$2004=4\times 501$，所以

$A^{2004}=E$。

又因为$B=P^{-1}AP$，相似变换保持矩阵多项式关系，故

$B^{2004}=P^{-1}{A}^{2004}P=P^{-1}EP=E$。

因此

$$B^{2004}-2A^2=E-2\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

。

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6. 【2017-2-4分】 设$A$为3阶矩阵，$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$为可逆矩阵，使得$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，则$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$( )

A. ${\alpha }_1+{\alpha }_2$    B. ${\alpha }_2+2{\alpha }_3$    C. ${\alpha }_2+{\alpha }_3$    D. ${\alpha }_1+2{\alpha }_2$

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答案： B

解析： 记

$D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。

由$P^{-1}AP=D$可得$AP=PD$。比较等式两边的各列，得到

$A{\alpha }_1=0,A{\alpha }_2={\alpha }_2,A{\alpha }_3=2{\alpha }_3$。

因此

$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3={\alpha }_2+2{\alpha }_3$。

故选B。其余选项均未正确使用三个列向量对应的特征值$0,1,2$。

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7. 【1994-12-3分】 已知$\alpha =(1,2,3)$，$\beta =(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，设$A={\alpha }^T\beta$，其中${\alpha }^T$是$\alpha$的转置，则$A^n=$

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答案： $A^n=3^{n-1}A=3^{n-1}\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ 2& 1& \frac{2}{3}\\ 3& \frac{3}{2}& 1\end{array}\right)$

解析： 由于$A={\alpha }^T\beta$，所以

$A^2=({\alpha }^T\beta )({\alpha }^T\beta )={\alpha }^T(\beta {\alpha }^T)\beta$。

其中$\beta {\alpha }^T$为数，且

$\beta {\alpha }^T=1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 3=3$。

故

$A^2=3{\alpha }^T\beta =3A$。

由此递推可得，对任意正整数$n$，

$A^n=3^{n-1}A$。

本题体现了秩一矩阵$u{v}^T$的幂运算规律：若$v^{T}u=c$，则$(u{v}^T{)}^n=c^{n-1}u{v}^T$。

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8. 【1991-12-3分】 设$n$阶方阵$A,B,C$满足关系式$ABC=E$，其中$E$是$n$阶单位矩阵，则必有( ).

A. $ACB=E$    B. $CBA=E$    C. $BAC=E$    D. $BCA=E$

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答案： D

解析： 由$ABC=E$可知

$|A||B||C|=1$，

所以$A,B,C$均可逆。由原式得

$BC=A^{-1}$。

于是

$BCA=A^{-1}A=E$。

故选D。

需要注意，矩阵乘法一般不满足交换律，因此不能任意改变$A,B,C$的排列顺序。$BCA$只是对$ABC$作循环移位，可以利用$BC=A^{-1}$得到单位矩阵；A、B、C三个选项在一般情况下均不一定成立。

大题

(一)对概念和运算法则的考查

1. 【1988-12-6分】 已知

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，

$AP=PB$，求$A$及$A^5$。

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答案： $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 6& -1& -1\end{array}\right),A^5=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 6& -1& -1\end{array}\right)$。

解析： 由$AP=PB$，且$P$可逆，可得

$A=PB{P}^{-1}$。

先求$P^{-1}$。对$P$作初等变换，或直接验证，可得

$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -4& 1& 1\end{array}\right)$。

因此

$$A=PB{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -4& 1& 1\end{array}\right)$$

$=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 6& -1& -1\end{array}\right)$。

又因为

$B^5=\left(\begin{array}{ccc}{1}^5& 0& 0\\ 0& 0^5& 0\\ 0& 0& (-1{)}^5\end{array}\right)=B$，

所以由相似矩阵的幂运算性质，

$A^5=(PB{P}^{-1}{)}^5=P{B}^5{P}^{-1}=PB{P}^{-1}=A$。

故

$A^5=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 6& -1& -1\end{array}\right)$。

本题的关键是由$AP=PB$识别出$A$与$B$相似；若直接连续计算$A^2,A^3,\dots ,A^5$，步骤会明显更繁琐。