三、抽象型行列式的计算

小题

(一)按列分块的矩阵行列式

1. 【1988-12-3分】 设 $4\times 4$ 矩阵

$$A=(\alpha ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4),B=(\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4),$$

其中 $\alpha ,\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4$ 均为 4 维列向量，且已知 $|A|=4$，$|B|=1$，则行列式 $|A+B|=$

查看答案与解析

答案： $40$。

解析： 矩阵相加后

$$A+B=(\alpha +\beta ,2{\gamma }_2,2{\gamma }_3,2{\gamma }_4).$$

由行列式对列的线性性质，得

$$\begin{array}{rl}|A+B|& =2^3|\alpha +\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4|\\ & =8(|\alpha ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4|+|\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4|)\\ & =8(|A|+|B|)\\ & =8(4+1)=40.\end{array}$$

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2. 【1993-5-3分】 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1,{\beta }_2$ 都是四维列向量，且四阶行列式

$$|{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{\beta }_1|=m,|{\alpha }_1{\alpha }_2{\beta }_2{\alpha }_3|=n,$$

则四阶行列式 $|{\alpha }_3{\alpha }_2{\alpha }_1({\beta }_1+{\beta }_2)|$ 等于（　）

A. $m+n$    B. $-(m+n)$    C. $n-m$    D. $m-n$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 由行列式对最后一列的线性性质，

$$\begin{array}{rl}|{\alpha }_3{\alpha }_2{\alpha }_1({\beta }_1+{\beta }_2)|=& |{\alpha }_3{\alpha }_2{\alpha }_1{\beta }_1|\\ & +|{\alpha }_3{\alpha }_2{\alpha }_1{\beta }_2|.\end{array}$$

第一项由 $|{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{\beta }_1|=m$ 交换第一、第三列得到，因此

$$|{\alpha }_3{\alpha }_2{\alpha }_1{\beta }_1|=-m.$$

对第二项，先由已知行列式交换第三、第四列，得

$$|{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{\beta }_2|=-n,$$

再交换第一、第三列，得

$$|{\alpha }_3{\alpha }_2{\alpha }_1{\beta }_2|=n.$$

故所求为

$$-m+n=n-m.$$

选项 A、B、D 均未正确处理交换列所产生的符号，故选 C。

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3. 【2005-124-4分】 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 均为三维列向量，记矩阵

$$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3],$$ $$B=[{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\alpha }_1+3{\alpha }_2+9{\alpha }_3].$$

如果 $|A|=1$，那么 $|B|=$

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答案： $2$。

解析： 由各列在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的系数，可写成

$$B=A\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right).$$

因此

$$|B|=|A|\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|.$$

右侧行列式是以 $1,2,3$ 为节点的范德蒙德行列式，故

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=(2-1)(3-1)(3-2)=2.$$

从而

$$|B|=1\times 2=2.$$

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4. 【2006-4-4分】 已知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 为二维列向量，矩阵

$$A=(2{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_2),B=({\alpha }_1,{\alpha }_2).$$

若行列式 $|A|=6$，则 $|B|=$

查看答案与解析

答案： $-2$。

解析： 由列向量的系数关系，

$$A=B\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

因此

$$|A|=|B|\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-3|B|.$$

由 $|A|=6$，得

$$-3|B|=6,$$

故

$$|B|=-2.$$

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5. 【2018-3-4分】 设 $A$ 为 3 阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为线性无关的向量组，若

$$A{\alpha }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,A{\alpha }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3,A{\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_3,$$

则 $|A|=$ _________.

查看答案与解析

答案： $2$。

解析： 由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，故

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$$

为可逆矩阵。由题设三组关系可得

$$AP=P\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

因此

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

相似矩阵的行列式相等，所以

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1+1=2.$$

相关知识点：在线性无关向量组构成的基下，线性变换的矩阵与原矩阵相似，故二者行列式相同。

(二)抽象方阵的行列式

1. 【1987-5-2分】 判断正误：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 为常数，$|A|$、$|kA|$ 分别为 $A$ 与 $kA$ 的行列式，则 $|kA|=k|A|$。

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答案： 错误。

解析： 矩阵 $kA$ 的每一行都由矩阵 $A$ 的对应行乘以 $k$ 得到。行列式共有 $n$ 行，因此应有

$$|kA|=k^n|A|.$$

只有在 $n=1$，或某些特殊情形下，才可能恰好有 $|kA|=k|A|$，故原命题不成立。

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2. 【1989-4-3分】 设 $A$ 和 $B$ 均为 $n\times n$ 阶矩阵，则必有（ ）

A. $|A+B|=|A|+|B|$    B. $AB=BA$    C. $|AB|=|BA|$    D. $(A+B{)}^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

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答案： C。

解析： 由行列式的乘法性质，

$$|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|,$$

故 C 必然成立。

A 错误，行列式一般不满足加法分配律；B 错误，矩阵乘法一般不满足交换律；D 错误，即使有关矩阵均可逆，和的逆也一般不等于逆的和。

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3. 【1991-5-3分】 设 $A$ 与 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $AB=O$，则必有（ ）。

A. $A=O\text{ 或 }B=O$    B. $AB=BA$    C. $|A|=0\text{ 或 }|B|=0$    D. $|A|+|B|=0$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 对等式 $AB=O$ 两边取行列式，得

$$|A||B|=|AB|=|O|=0.$$

因此至少有一个因子为零，即

$$|A|=0\text{或}|B|=0.$$

故选 C。矩阵乘积为零并不要求其中一个矩阵必为零，因此 A 错误；也不能推出 $BA=O$，故 B 错误；D 更无必然性。

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4. 【1992-4-3分】 设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=a$，$|B|=b$，

$$C=\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right),$$

则 $|C|=$

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答案： $(-1{)}^{mn}ab$。

解析： 矩阵 $C$ 的左侧列块有 $n$ 列，右侧列块有 $m$ 列。将这两个列块整体交换，需要进行 $mn$ 次相邻列交换，于是

$$(-1{)}^{mn}|C|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|=ab.$$

因为 $(-1{)}^{mn}$ 的倒数仍为其本身，故

$$|C|=(-1{)}^{mn}ab.$$

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5. 【1998-4-3分】 设 $A,B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$|A|=2$，$|B|=-3$，则 $|2A^{\ast }{B}^{-1}|=$

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答案： $-\frac{2^{2n-1}}{3}$。

解析： 由伴随矩阵行列式公式

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}=2^{n-1},$$

以及

$$|B^{-1}|=\frac{1}{|B|}=-\frac{1}{3}.$$

又因 $2A^{\ast }{B}^{-1}$ 为 $n$ 阶矩阵，所以

$$|2A^{\ast }{B}^{-1}|=2^n|A^{\ast }||B^{-1}|=2^n\cdot 2^{n-1}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2^{2n-1}}{3}.$$

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6. 【2003-2-4分】 设三阶方阵 $A,B$ 满足

$$A^{2}B-A-B=E,$$

其中 $E$ 为三阶单位矩阵，若

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right),$$

则 $|B|=$

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答案： $\frac{1}{2}$。

解析： 原方程可整理为

$$(A^2-E)B=A+E.$$

利用 $A^2-E=(A+E)(A-E)$，得

$$(A+E)(A-E)B=A+E.$$

先计算

$$|A+E|=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 3& 0\\ -2& 0& 2\end{array}\right|=18\ne 0,$$

故 $A+E$ 可逆，可以约去，得到

$$(A-E)B=E.$$

于是

$$B=(A-E{)}^{-1},|B|=\frac{1}{|A-E|}.$$

而

$$|A-E|=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 0\end{array}\right|=2,$$

所以

$$|B|=\frac{1}{2}.$$

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7. 【2004-12-4分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

矩阵 $B$ 满足

$$AB{A}^{\ast }=2B{A}^{\ast }+E,$$

其中 $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$

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答案： $\frac{1}{9}$。

解析： 将等式左侧合并，得

$$(A-2E)B{A}^{\ast }=E.$$

两边取行列式：

$$|A-2E||B||A^{\ast }|=1.$$

先计算

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=3,$$

故三阶矩阵的伴随矩阵满足

$$|A^{\ast }|=|A{|}^2=9.$$

又

$$|A-2E|=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right|=1.$$

因此

$$1\cdot |B|\cdot 9=1,$$

从而

$$|B|=\frac{1}{9}.$$

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8. 【2006-123-4分】 设矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right),$$

$E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $BA=B+2E$，则 $|B|=$

查看答案与解析

答案： $2$。

解析： 由

$$BA=B+2E$$

可得

$$B(A-E)=2E.$$

由于

$$|A-E|=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right|=2\ne 0,$$

故 $A-E$ 可逆，并且

$$B=2(A-E{)}^{-1}.$$

因此

$$|B|=2^2|(A-E{)}^{-1}|=4\cdot \frac{1}{|A-E|}=4\cdot \frac{1}{2}=2.$$

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9. 【2010-23-4分】 设 $A,B$ 为 3 阶矩阵，且 $|A|=3$，$|B|=2$，$|A^{-1}+B|=2$，则 $|A+B^{-1}|=$ _________.

查看答案与解析

答案： $3$。

解析： 先将已知行列式分解：

$$A^{-1}+B=A^{-1}(E+AB).$$

因此

$$|A^{-1}+B|=|A^{-1}||E+AB|=\frac{1}{|A|}|E+AB|.$$

代入 $|A^{-1}+B|=2$、$|A|=3$，得

$$|E+AB|=6.$$

另一方面，

$$A+B^{-1}=(AB+E)B^{-1},$$

故

$$|A+B^{-1}|=|AB+E||B^{-1}|=6\cdot \frac{1}{|B|}=6\cdot \frac{1}{2}=3.$$

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10. 【2012-23-4分】 设 $A$ 为 3 阶矩阵，$|A|=3$，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B$，则 $|B{A}^{\ast }|=$

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答案： $-27$。

解析： 交换行列式的两行，行列式变号，因此

$$|B|=-|A|=-3.$$

对于 3 阶矩阵 $A$，伴随矩阵满足

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{3-1}=|A{|}^2=9.$$

由行列式的乘法性质，

$$|B{A}^{\ast }|=|B||A^{\ast }|=(-3)\times 9=-27.$$

(三)结合特征值求行列式

1. 【2000-3-3分】 若四阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，矩阵 $A$ 的特征值为 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$，则行列式 $|B^{-1}-E|=$

查看答案与解析

答案： $24$。

解析： 相似矩阵具有相同的特征值，因此 $B$ 的特征值也是

$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}.$$

这些特征值均非零，所以 $B$ 可逆，$B^{-1}$ 的特征值分别为

$$2,3,4,5.$$

从而 $B^{-1}-E$ 的特征值分别为

$$1,2,3,4.$$

矩阵的行列式等于全部特征值之积，故

$$|B^{-1}-E|=1\times 2\times 3\times 4=24.$$

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2. 【2000-4-3分】 设 $\alpha =(1,0,-1{)}^T$，矩阵 $A=\alpha {\alpha }^T$，$n$ 为正整数，则 $|aE-A^n|=$

查看答案与解析

答案： $a^2(a-2^n)$。

解析： 先计算

$${\alpha }^T\alpha =1^2+0^2+(-1{)}^2=2.$$

于是

$$A^2=(\alpha {\alpha }^T)(\alpha {\alpha }^T)=\alpha ({\alpha }^T\alpha ){\alpha }^T=2\alpha {\alpha }^T=2A.$$

递推可得

$$A^n=2^{n-1}A.$$

由于 $A=\alpha {\alpha }^T$ 的秩为 $1$，并且

$$A\alpha =\alpha ({\alpha }^T\alpha )=2\alpha ,$$

故 $A$ 的特征值为 $2,0,0$，从而 $A^n$ 的特征值为 $2^n,0,0$。因此 $aE-A^n$ 的特征值为

$$a-2^n,a,a,$$

所以

$$|aE-A^n|=a^2(a-2^n).$$

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3. 【2008-3-4分】 设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2$，$E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|4A^{-1}-E|=$

查看答案与解析

答案： $3$。

解析： 矩阵 $A$ 的特征值均非零，因此 $A$ 可逆。$A^{-1}$ 的特征值为

$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}.$$

于是 $4A^{-1}-E$ 的特征值分别为

$$4\times 1-1=3,4\times \frac{1}{2}-1=1,4\times \frac{1}{2}-1=1.$$

故

$$|4A^{-1}-E|=3\times 1\times 1=3.$$

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4. 【2008-2-4分】 设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,3,\lambda$，若行列式 $|2A|=-48$，则 $\lambda =$

查看答案与解析

答案： $-1$。

解析： 三阶矩阵满足

$$|2A|=2^3|A|=8|A|.$$

又因为矩阵的行列式等于其全部特征值之积，所以

$$|A|=2\times 3\times \lambda =6\lambda .$$

因此

$$|2A|=8\times 6\lambda =48\lambda .$$

由 $48\lambda =-48$，得到

$$\lambda =-1.$$

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5. 【2015-23-4分】 设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,2,-1$，$B=A^2-A+E$，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，则行列式 $|B|=$

查看答案与解析

答案： $27$。

解析： 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则多项式矩阵

$$B=A^2-A+E$$

对应的特征值为

$${\lambda }^2-\lambda +1.$$

当 $\lambda =2$ 时，

$${\lambda }^2-\lambda +1=4-2+1=3;$$

当 $\lambda =-1$ 时，

$${\lambda }^2-\lambda +1=1+1+1=3.$$

故 $B$ 的三个特征值均为 $3$，于是

$$|B|=3^3=27.$$

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6. 【2018-1-4分】 设 2 阶矩阵 $A$ 有两个不同特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是 $A$ 的线性无关的特征向量，且满足 $A^2({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2$，则 $|A|=$

查看答案与解析

答案： $-1$。

解析： 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别对应于特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，则

$$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2.$$

因此

$$A^2({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\lambda }_1^2{\alpha }_1+{\lambda }_2^2{\alpha }_2.$$

由题设，

$$({\lambda }_1^2-1){\alpha }_1+({\lambda }_2^2-1){\alpha }_2=0.$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，所以

$${\lambda }_1^2=1,{\lambda }_2^2=1.$$

即 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \{1,-1\}$。又因两个特征值不同，故它们必分别为 $1$ 与 $-1$。因此

$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2=-1.$$

大题

(二)抽象方阵的行列式

1. 【1988-4-7分】 设 $A$ 是三阶方阵，$A^{\ast }$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$A$ 的行列式 $|A|=\frac{1}{2}$，求行列式 $|(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }|$ 的值。

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答案： $-\frac{16}{27}$。

解析： 由于 $|A|=\frac{1}{2}\ne 0$，所以 $A$ 可逆，并且

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{-1}.$$

同时，

$$(3A{)}^{-1}=\frac{1}{3}{A}^{-1}.$$

因此

$$(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }=\frac{1}{3}{A}^{-1}-2\cdot \frac{1}{2}{A}^{-1}=-\frac{2}{3}{A}^{-1}.$$

因为 $A$ 为三阶矩阵，所以

$$\left|-\frac{2}{3}{A}^{-1}\right|={\left(-\frac{2}{3}\right)}^3|A^{-1}|.$$

又有

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=2,$$

故

$$|(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }|=-\frac{8}{27}\times 2=-\frac{16}{27}.$$

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2. 【1995-12-6分】 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $A{A}^T=E$（$E$ 是 $n$ 阶单位阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵），$|A|<0$，求 $|A+E|$。

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答案： $0$。

解析： 由

$$A{A}^T=E$$

可知 $A$ 可逆，且

$$A^{-1}=A^T.$$

两边取行列式，得

$$|A||A^T|=|E|=1.$$

由于 $|A^T|=|A|$，所以

$$|A{|}^2=1.$$

结合题设 $|A|<0$，可得

$$|A|=-1.$$

又因为

$$A+E=A(E+A^{-1})=A(E+A^T),$$

所以

$$|A+E|=|A||E+A^T|.$$

注意到

$$|E+A^T|=|(E+A{)}^T|=|E+A|=|A+E|,$$

故

$$|A+E|=-|A+E|.$$

于是

$$2|A+E|=0,$$

从而

$$|A+E|=0.$$

相关知识点：正交矩阵满足 $A^{-1}=A^T$，其行列式只能取 $1$ 或 $-1$。本题中 $|A|=-1$，因此 $-1$ 必为 $A$ 的特征值，故 $A+E$ 必为奇异矩阵。

(三)结合特征值求行列式

1. 【1994-2-6分】 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$2,4,6,\cdots ,2n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值，$E$ 是 $n$ 阶单位阵，计算行列式 $|A-3E|$ 的值。

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答案： $-(2n-3)!!$。

解析： 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda -3$ 是 $A-3E$ 的特征值。

因此 $A-3E$ 的全部特征值为

$$2-3,4-3,6-3,\cdots ,2n-3,$$

即

$$-1,1,3,\cdots ,2n-3.$$

矩阵的行列式等于其全部特征值之积，故

$$|A-3E|=(-1)\cdot 1\cdot 3\cdots (2n-3)=-(2n-3)!!.$$

其中

$$(2n-3)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-3).$$