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6.3 中心极限定理

小题​

  1. 【2002-4-3 分】 设随机变量 X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 相互独立, Sn=X1+X2+⋯+Xn\displaystyle S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n, 则根据列维-林德柏格(Levy-Lindberg) 中心极限定理, 当 n 充分大时, Sn\displaystyle S_n 近似服从正态分布, 只要 X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n( ) A. 有相同的数学期望    B. 有相同的方差 C. 服从同一指数分布    D. 服从同一离散型分布

  2. 【2005-4-5 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn,⋯\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots 为独立同分布的随机变量列, 且均服从参数为 λ(λ>1)\displaystyle \lambda(\lambda>1) 的指数分布, 记 Φ(x)\displaystyle \Phi(x) 为标准正态分布函数, 则( )

A. lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nλλn≤x}=Φ(x)\displaystyle \lim_{n \to \infty}P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\lambda\sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x) B. lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nλnλ≤x}=Φ(x)\displaystyle \lim_{n \to \infty}P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x) C. lim⁡n→∞P{λ∑i=1nXi−nn≤x}=Φ(x)\displaystyle \lim_{n \to \infty}P\left\{\dfrac{\lambda\sum_{i=1}^{n}X_i-n}{\sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x) D. lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−λnλ≤x}=Φ(x)\displaystyle \lim_{n \to \infty}P\left\{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}X_i-\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x)

  1. 【2020-1-4 分】 设 X1,X2,⋯ ,X100\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_{100} 为来自总体 X 的简单随机样本, 其中 P{X=0}=P{X=1}=12\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=1\}=\dfrac{1}{2}, Φ(x)\displaystyle \Phi(x) 表示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 P{∑i=1100Xi≤55}\displaystyle P\left\{\sum_{i=1}^{100}X_i \leq 55\right\} 的近似值为( ) A. 1−Φ(1)\displaystyle 1-\Phi(1)    B. Φ(1)\displaystyle \Phi(1) C. 1−Φ(2)\displaystyle 1-\Phi(2)    D. Φ(2)\displaystyle \Phi(2)

大题​

  1. 【1988-4-6 分】 某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占20%, 以 X 表示在随意抽查的100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1)写出 X 的概率分布; (2) 利用棣莫佛-拉普拉斯定理, 求出索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率的近似值.

  2. 【1996-4-6 分】 假设 X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 是来自总体 X 的简单随机样本, 已知 E(Xk)=ak(k=1,2,3,4)\displaystyle E(X^k)=a_k(k=1, 2, 3, 4) .证明: 当 n 充分大时, 随机变量 Zn=1n∑i=1nXi2\displaystyle Z_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 近似服从正态分布, 并指出其分布参数.

  3. 【2001-34-8 分】 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重50 千克, 标准差为5 千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱, 才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977\displaystyle \Phi(2)=0.977, 其中 Φ(x)\displaystyle \Phi(x) 是标准正态分布函数)