Skip to main content

5.2 运用常用公式计算数字特征

小题​

  1. 【1990-1-2 分】 已知随机变量 X 服从参数为2 的泊松分布, 则随机变量 Z=3X−2\displaystyle Z=3X-2 的数学期望 E(Z)=\displaystyle E(Z)=

  2. 【1990-5-3 分】 已知随机变量 X 服从二项分布, 且 E(X)=2.4\displaystyle E(X)=2.4, D(X)=1.44\displaystyle D(X)=1.44, 则二项分布的参数 n, p 的值为( ). A. n=4,p=0.6\displaystyle n=4, p=0.6    B. n=6,p=0.4\displaystyle n=6, p=0.4 C. n=8,p=0.3\displaystyle n=8, p=0.3    D. n=24,p=0.1\displaystyle n=24, p=0.1

  3. 【1995-1-3 分】 设 X 表示10 次独立重复射击命中目标的次数, 每次射中目标的概率为0.4, 则 X2\displaystyle X^2 的数学期望 E(X2)=\displaystyle E(X^2)=

  4. 【1998-4-3 分】 设一次试验成功的概率为 p, 进行100 次独立重复试验, 当 p=\displaystyle p= 时, 成功次数的标准差的值最大, 其最大值为

  5. 【1999-4-3 分】 设随机变量 X 服从参数为 λ\displaystyle \lambda 的泊松(Poisson) 分布, 且已知 E[(X−1)(X−2)]=1\displaystyle E[(X-1)(X-2)]=1, 则 λ=\displaystyle \lambda=

  6. 【1999-1-3 分】 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0,1)\displaystyle N(0, 1) 和 N(1,1)\displaystyle N(1, 1), 则( ). A. P{X+Y≤0}=12\displaystyle P\{X+Y \leq 0\}=\dfrac{1}{2} B. P{X+Y≤1}=12\displaystyle P\{X+Y \leq 1\}=\dfrac{1}{2} C. P{X−Y≤0}=12\displaystyle P\{X-Y \leq 0\}=\dfrac{1}{2} D. P{X−Y≤1}=12\displaystyle P\{X-Y \leq 1\}=\dfrac{1}{2}

  7. 【2004-134-4 分】 设随机变量 X 服从参数为 λ\displaystyle \lambda 的指数分布, 则 P{X>D(X)}=\displaystyle P\{X>\sqrt{D(X)}\}=

  8. 【2008-134-4 分】 设随机变量 X 服从参数为1 的泊松分布, 则 P{X=E(X2)}=\displaystyle P\{X=E(X^2)\}=

  9. 【2010-1-4 分】 设随机变量 X 的概率分布为 P{X=k}=Ck!\displaystyle P\{X=k\}=\dfrac{C}{k!}, k=0,1,2,⋯\displaystyle k=0, 1, 2, \cdots, 则 E(X2)=\displaystyle E(X^2)=

  10. 【2013-3-4 分】 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0,1)\displaystyle N(0, 1), 则 E(Xe2X)=\displaystyle E(Xe^{2X})=

  11. 【2017-1-4 分】 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.5Φ(x)+0.5Φ(x−42)\displaystyle F(x)=0.5\Phi(x)+0.5\Phi\left(\dfrac{x-4}{2}\right), 其中 Φ(x)\displaystyle \Phi(x) 为标准正态分布函数, 则 EX=\displaystyle EX=

  12. 【2022-1-5 分】 设 X∼N(0,1)\displaystyle X \sim N(0, 1), 在 X=x\displaystyle X=x 的条件下, Y∼N(x,1)\displaystyle Y \sim N(x, 1), 则 X 与 Y 的相关系数为( ). A. 14\displaystyle \dfrac{1}{4} B. 12\displaystyle \dfrac{1}{2} C. 33\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3} D. 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}

  13. 【2022-1-5 分】 设 X∼U(0,3)\displaystyle X \sim U(0, 3), Y∼P(2)\displaystyle Y \sim P(2), Cov(X,Y)=−1\displaystyle Cov(X, Y)=-1, 求 D(2X−Y+1)=\displaystyle D(2X-Y+1)=( ). A. 10\displaystyle 10    B. 9\displaystyle 9    C. 1\displaystyle 1    D. 0\displaystyle 0

  14. 【2022-3-5 分】 设随机变量 X∼N(0,4)\displaystyle X \sim N(0, 4), 随机变量 Y∼B(3,13)\displaystyle Y \sim B\left(3, \dfrac{1}{3}\right), 且X, Y 不相关, 则 D(X−3Y+1)=\displaystyle D(X-3Y+1)=( ) A. 2\displaystyle 2    B. 4\displaystyle 4    C. 6\displaystyle 6    D. 10\displaystyle 10

  15. 【2022-3-5 分】 设二维随机变量 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 的概率分布为

X\Y\displaystyle X\backslash Y012
-10.1ab
1c0.10.1

若事件 {max⁡{X,Y}=2}\displaystyle \{\max\{X, Y\}=2\} 与事件 {min⁡{X,Y}=1}\displaystyle \{\min\{X, Y\}=1\} 相互独立, 则 Cov(X,Y)=\displaystyle Cov(X, Y)=( ). A. −0.6\displaystyle -0.6    B. −0.36\displaystyle -0.36    C. 0\displaystyle 0    D. 0.48\displaystyle 0.48

  1. 【2023-3-5 分】 已知随机变量 X, Y 相互独立, 且 X∼B(1,p)\displaystyle X \sim B(1, p), Y∼B(2,p)\displaystyle Y \sim B(2, p), 其中 p∈(0,1)\displaystyle p \in (0, 1), X+Y\displaystyle X+Y 与 X−Y\displaystyle X-Y 的相关系数为

  2. 【2023-13-5 分】 设随机变量 X 服从参数为1 的泊松分布, 则 E(∣X−EX∣)=\displaystyle E(|X-EX|)=( ) A. 1e\displaystyle \dfrac{1}{e}    B. 12\displaystyle \dfrac{1}{2} C. 2e\displaystyle \dfrac{2}{e}    D. 1\displaystyle 1

  3. 【2023-13-5 分】 设 X1\displaystyle X_1, X2\displaystyle X_2 为来自总体 N(μ,σ2)\displaystyle N(\mu, \sigma^2) 的简单随机样本, 其中 σ(σ>0)\displaystyle \sigma(\sigma>0) 是未知参数, 记 σ^=a∣X1−X2∣\displaystyle \hat{\sigma}=a|X_1-X_2|, 若 E(σ^)=σ\displaystyle E(\hat{\sigma})=\sigma, 则 a=\displaystyle a=( ) A. π2\displaystyle \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} B. 2π2\displaystyle \dfrac{\sqrt{2\pi}}{2} C. π\displaystyle \sqrt{\pi} D. 2π\displaystyle \sqrt{2\pi}

  4. 【1989-5-3 分】 设随机变量 X1\displaystyle X_1, X2\displaystyle X_2, X3\displaystyle X_3 相互独立, 其中 X1\displaystyle X_1 在[0, 6]上服从均匀分布, X2\displaystyle X_2 服从正态分布 N(0,22)\displaystyle N(0, 2^2), X3\displaystyle X_3 服从参数为 λ=3\displaystyle \lambda=3 的泊松分布.记 Y=X1−2X2+3X3\displaystyle Y=X_1-2X_2+3X_3, 则 DY=\displaystyle DY=

  5. 【1990-5-3 分】 已知随机变量 X∼N(−3,1)\displaystyle X \sim N(-3, 1), Y∼N(2,1)\displaystyle Y \sim N(2, 1), 且X, Y 相互独立, 设随机变量 Z=X−2Y+7\displaystyle Z=X-2Y+7, 则 Z∼\displaystyle Z \sim

  6. 【1991-4-3 分】 对于任意两个随机变量 X 和 Y, 若 E(XY)=E(X)E(Y)\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y), 则(). A. D(XY)=D(X)D(Y)\displaystyle D(XY)=D(X)D(Y)    B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)\displaystyle D(X+Y)=D(X)+D(Y) C. X 和 Y 独立    D. X 和 Y 不独立

  7. 【1992-45-5 分】 一台设备由三大部件构成, 在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10, 0.20 和0.30.假设各部件的状态相互独立, 以 X 表示同时需要调整的部件数, 试求 X 的概率分布, 数学期望 E(X)\displaystyle E(X) 和方差 D(X)\displaystyle D(X) .

  8. 【1995-4-3 分】 设随机变量 X 和 Y 独立同分布, 记 U=X−Y\displaystyle U=X-Y, V=X+Y\displaystyle V=X+Y, 则随机变量 U 与 V 必然( ). A. 不独立    B. 独立    C. 相关系数不为零    D. 相关系数为零

  9. 【1996-1-3 分】 设 ξ\displaystyle \xi 和 η\displaystyle \eta 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0,12)\displaystyle N(0, \dfrac{1}{2}) 的随机变量, 则 E(∣ξ−η∣)=\displaystyle E(|\xi-\eta|)=

  10. 【1997-1-3 分】 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为4 和2, 则随机变量 3X−2Y\displaystyle 3X-2Y 的方差是( ). A. 8\displaystyle 8    B. 16\displaystyle 16    C. 28\displaystyle 28    D. 44\displaystyle 44

  11. 【1997-4-3 分】 设 X 是一随机变量, E(X)=μ\displaystyle E(X)=\mu, D(X)=σ2(μ,σ>0\displaystyle D(X)=\sigma^2(\mu, \sigma>0 常数), 则对任意常数 C 必有( ). A. E(X−c)=E(X2)−c2\displaystyle E(X-c)=E(X^2)-c^2 B. E(X−c)2=E(X−μ)2\displaystyle E(X-c)^2=E(X-\mu)^2 C. E(X−c)2<E(X−μ)2\displaystyle E(X-c)^2<E(X-\mu)^2 D. E(X−c)2≥E(X−μ)2\displaystyle E(X-c)^2 \geq E(X-\mu)^2

  12. 【1999-3-3 分】 设随机变量 Xij(i,j=1,2,⋯ ,n;n≥2)\displaystyle X_{ij}(i, j=1, 2, \cdots, n;n \geq 2) 独立同分布, E(Xij)=2\displaystyle E(X_{ij})=2, 则行列式

Y=∣X11X12⋯X1nX21X22⋯X2n⋮⋮⋮Xn1Xn2⋯Xnn∣Y=\begin{vmatrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1n} \\ X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{nn} \end{vmatrix}

的数学期望 E(Y)=\displaystyle E(Y)=

  1. 【2003-4-4 分】 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为0.5, E(X)=E(Y)=0\displaystyle E(X)=E(Y)=0, E(X2)=E(Y2)=2\displaystyle E(X^2)=E(Y^2)=2, 则 E[(X+Y)2]=\displaystyle E[(X+Y)^2]=

  2. 【2004-14-4 分】 设随机变量 X1,X2,⋯ ,Xn(n>1)\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1) 独立同分布, 且其方差为 σ2>0\displaystyle \sigma^2>0 .令 Y=1n∑i=1nXi\displaystyle Y=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, 则( ). A. Cov(X1,Y)=σ2n\displaystyle Cov(X_1,Y)=\dfrac{\sigma^2}{n} B. Cov(X1,Y)=σ2\displaystyle Cov(X_1,Y)=\sigma^2 C. D(X1+Y)=n+2nσ2\displaystyle D(X_1+Y)=\dfrac{n+2}{n}\sigma^2 D. D(X1−Y)=n+1nσ2\displaystyle D(X_1-Y)=\dfrac{n+1}{n}\sigma^2

  3. 【2011-13-4 分】 设二维随机变量 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 服从正态分布 N(μ,μ;σ2,σ2;0)\displaystyle N(\mu, \mu;\sigma^2, \sigma^2;0), 则 E(XY2)=\displaystyle E(XY^2)=

  4. 【2011-1-4 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且 E(X)\displaystyle E(X) 与 E(Y)\displaystyle E(Y) 存在, 记 U=max⁡{X,Y}\displaystyle U=\max\{X, Y\}, V=min⁡{X,Y}\displaystyle V=\min\{X, Y\}, 则 E(UV)=\displaystyle E(UV)=( ) A. E(U)⋅E(V)\displaystyle E(U) \cdot E(V)    B. E(X)⋅E(Y)\displaystyle E(X) \cdot E(Y) C. E(U)⋅E(Y)\displaystyle E(U) \cdot E(Y)    D. E(X)⋅E(V)\displaystyle E(X) \cdot E(V)

  5. 【2014-3-4 分】 设总体 X 的概率密度为

f(x,θ)={2x3θ2,θ<x<2θ0,其它f(x,\theta)= \begin{cases} \frac{2x}{3\theta^2}, & \theta<x<2\theta \\ 0, & \text{其它} \end{cases}

其中θ\displaystyle \theta 是未知参数, X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 是来自总体 X 的简单样本, 若 E(c∑i=1nXi2)=θ2\displaystyle E\left(c\sum_{i=1}^{n}X_i^2\right)=\theta^2, 则常数 C=\displaystyle C=

  1. 【2014-1-4 分】 设连续型随机变量 X1\displaystyle X_1 与 X2\displaystyle X_2 相互独立, 且方差均存在, X1\displaystyle X_1 与 X2\displaystyle X_2 的概率密度分别为 f1(x)\displaystyle f_1(x) 与 f2(x)\displaystyle f_2(x), 随机变量 Y1\displaystyle Y_1 的概率密度为 fY1(y)=12(f1(y)+f2(y))\displaystyle f_{Y_1}(y)=\dfrac{1}{2}(f_1(y)+f_2(y)), 随机变量 Y2=12(X1+X2)\displaystyle Y_2=\dfrac{1}{2}(X_1+X_2), 则( ) A. EY1>EY2,DY1>DY2\displaystyle EY_1>EY_2, DY_1>DY_2 B. EY1=EY2,DY1=DY2\displaystyle EY_1=EY_2, DY_1=DY_2 C. EY1=EY2,DY1<DY2\displaystyle EY_1=EY_2, DY_1<DY_2 D. EY1=EY2,DY1>DY2\displaystyle EY_1=EY_2, DY_1>DY_2

  2. 【2015-1-4 分】 设随机变量 X, Y 不相关, 且 EX=2\displaystyle EX=2, EY=1\displaystyle EY=1, DX=3\displaystyle DX=3, 则 E[X(X+Y−2)]=\displaystyle E[X(X+Y-2)]=( ) A. −3\displaystyle -3    B. 3\displaystyle 3    C. −5\displaystyle -5    D. 5\displaystyle 5

  3. 【2016-3-4 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且 X∼N(1,2)\displaystyle X \sim N(1, 2), Y∼N(1,4)\displaystyle Y \sim N(1, 4), 则 D(XY)=\displaystyle D(XY)=( ) A. 6\displaystyle 6    B. 8\displaystyle 8    C. 14\displaystyle 14    D. 15\displaystyle 15

  4. 【2024-3-5 分】 设随机变量 X 的概率密度为

f(x)={6x(1−x),0<x<10,elsef(x)= \begin{cases} 6x(1-x), & 0<x<1 \\ 0, & \text{else} \end{cases}

则 X 的三阶中心矩 E(X−EX)3=\displaystyle E(X-EX)^3=( ) A. −132\displaystyle -\dfrac{1}{32}    B. 0\displaystyle 0 C. 116\displaystyle \dfrac{1}{16}    D. 12\displaystyle \dfrac{1}{2}

  1. 【2025-1-5 分】 设二维随机变量 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 服从正态分布 N(0,0;1,1;ρ)\displaystyle N(0, 0;1, 1;\rho), 其中 ρ∈(−1,1)\displaystyle \rho \in (-1, 1), 若 a,b\displaystyle a, b 为满足 a2+b2=1\displaystyle a^2+b^2=1 的任意实数, 则 D(aX+bY)\displaystyle D(aX+bY) 的最大值为( ) A. 1\displaystyle 1    B. 2\displaystyle 2    C. 1+∣ρ∣\displaystyle 1+|\rho|    D. 1+ρ2\displaystyle 1+\rho^2

大题​

  1. 【1997-1-7 分】 从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗, 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是 25\displaystyle \dfrac{2}{5}, 设 X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量 X 的分布律、分布函数和数学期望.

  2. 【2002-1-7 分】 设随机变量 X 的概率密度为

f(x)={12cos⁡x2,0≤x≤π,0,其他,f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq \pi, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

对 X 独立地重复观察4 次, 用 Y 表示观察值大于 π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} 的次数, 求 Y2\displaystyle Y^2 的数学期望.

  1. 【1994-1-6 分】 若随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(1,32)\displaystyle N(1, 3^2) 和 N(0,42)\displaystyle N(0, 4^2), 且 X 与 Y 的相关系数 ρXY=−12\displaystyle \rho_{XY}=-\dfrac{1}{2}, 设 Z=X3+Y2\displaystyle Z=\dfrac{X}{3}+\dfrac{Y}{2}, (1)求 Z 的数学期望 E(Z)\displaystyle E(Z) 和方差 D(Z)\displaystyle D(Z); (2)求 X 与 Z 的相关系数 ρXZ\displaystyle \rho_{XZ}; (3)问 X 与 Z 是否独立?为什么?

  2. 【2005-4-11 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn(n>2)\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2) 为独立同分布的随机变量, 且均服从 N(0,1)\displaystyle N(0, 1), 记 Xˉ=1n∑i=1nXi\displaystyle \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, Yi=Xi−Xˉ\displaystyle Y_i=X_i-\bar{X}, i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1, 2, \cdots, n .求: (1) Yi\displaystyle Y_i 的方差 D(Yi)\displaystyle D(Y_i), i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1, 2, \cdots, n; (2) Y1\displaystyle Y_1 与 Yn\displaystyle Y_n 的协方差 Cov(Y1,Yn)\displaystyle Cov(Y_1, Y_n); (3) P{Y1+Yn≤0}\displaystyle P\{Y_1+Y_n \leq 0\}.

  3. 【2005-1-9 分】 设 X1,X2,⋯ ,Xn(n>2)\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2) 为来自总体 N(0,1)\displaystyle N(0, 1) 的简单随机样本, Xˉ\displaystyle \bar{X} 为样本均值, 记 Yi=Xi−Xˉ\displaystyle Y_i=X_i-\bar{X}, i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1, 2, \cdots, n .求: (1) Yi\displaystyle Y_i 的方差 D(Yi)\displaystyle D(Y_i), i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1, 2, \cdots, n; (2) Y1\displaystyle Y_1 与 Yn\displaystyle Y_n 的协方差 Cov(Y1,Yn)\displaystyle Cov(Y_1, Y_n).

  4. 【2012-13-11 分】 设二维离散型随机变量 (X,Y)\displaystyle (X, Y) 的概率分布为

X\Y\displaystyle X\backslash Y012
01/401/4
101/30
21/1201/12

(1) 求 P{X=2Y}\displaystyle P\{X=2Y\}; (2) 求 Cov(X−Y,Y)\displaystyle Cov(X-Y, Y) .

  1. 【2024-3-12 分】 已知总体 X 服从[0, θ\displaystyle \theta]上的均匀分布, θ∈(0,+∞)\displaystyle \theta \in (0, +\infty) 为未知参数, X1,X2,⋯ ,Xn\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n 是来自总体 X 的简单随机样本, 记 X(n)=max⁡{X1,X2,⋯ ,Xn}\displaystyle X_{(n)}=\max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}, Tc=cX(n)\displaystyle T_c=cX_{(n)} (1) 求c, 使得 E(Tc)=θ\displaystyle E(T_c)=\theta; (2)记 h(c)=E(Tc−θ)2\displaystyle h(c)=E(T_c-\theta)^2, 求 c, 使得 h(c)\displaystyle h(c) 最小.