4.2 二维随机变量函数的分布

小题

1. 【1994-1-3 分】 设相互独立的随机变量 X, Y 具有同一分布律, 且 X 的分布律为

X	0	1
P	1/2	1/2

则随机变量 $\displaystyle Z=\max\{X, Y\}$ 的分布律为

2. 【2008-134-4 分】 设随机变量 X, Y 独立同分布且 X 的分布函数为 $\displaystyle F(x)$, 则 $\displaystyle Z=\max\{X, Y\}$ 的分布函数为( ) A. $\displaystyle F^2(x)$    B. $\displaystyle F(x)F(y)$ C. $\displaystyle 1-[1-F(x)]^2$    D. $\displaystyle [1-F(x)][1-F(y)]$

大题

1. 【1994-4-8 分】 假设随机变量 $\displaystyle X_1$, $\displaystyle X_2$, $\displaystyle X_3$, $\displaystyle X_4$ 相互独立, 且同分布. $\displaystyle P\{X_i=0\}=0.6$, $\displaystyle P\{X_i=1\}=0.4(i=1, 2, 3, 4)$ .求行列式 $\displaystyle X=\begin{vmatrix}X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4\end{vmatrix}$ 的概率分布.

2. 【2006-4-8 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布为

$\displaystyle X\backslash Y$	-1	0	1
-1	a	0	0.2
0	0.1	b	0.2
1	0	0.1	c

其中 a, b, c 为常数, 且 X 的数学期望 $\displaystyle E(X)=-0.2$, $\displaystyle P\{Y \leq 0|X \leq 0\}=0.5$, 记 $\displaystyle Z=X+Y$, 求: (1)a, b, c 的值; (2)Z 的概率分布; (3) $\displaystyle P\{X=Z\}$.

3. 【2018-13-11 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\dfrac{1}{2}$ . Y 服从参数为 $\displaystyle \lambda$ 的泊松分布.令 $\displaystyle Z=XY$ (I)求 $\displaystyle Cov(X, Z)$; (II)求 Z 的概率分布.

4. 【1987-1-6 分】 设随机变量 X, Y 相互独立, 其概率密度函数分别为

$$f_X(x)= \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} \quad f_Y(y)= \begin{cases} e^{-y}, & y>0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$$

求随机变量 $\displaystyle Z=2X+Y$ 的概率密度函数.

5. 【1989-1-6 分】 设随机变量 X 与 Y 独立, 且 X 服从均值为1, 标准差为 $\displaystyle \sqrt{2}$ 的正态分布, 而 Y 服从标准正态分布, 试求随机变量 $\displaystyle Z=2X-Y+3$ 的概率密度函数.

6. 【1991-6 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-(x+2y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

求 $\displaystyle Z=X+2Y$ 的分布函数.

7. 【1999-4-9 分】 设二位随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在矩形 $\displaystyle G=\{(x, y)|0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1\}$ 上服从均匀分布, 试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 $\displaystyle f(s)$ .

8. 【2001-3-8 分】 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 $\displaystyle G=\{(x, y)|1 \leq x \leq 3, 1 \leq y \leq 3\}$ 上的均匀分布, 试求随机变量 $\displaystyle U=|X-Y|$ 的概率密度 $\displaystyle p(u)$ .

9. 【2005-34-13 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} 1, & 0<x<1,0<y<2x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

求: (1) $\displaystyle (X, Y)$ 的边缘概率密度 $\displaystyle f_X(x), f_Y(y)$; (2) $\displaystyle Z=2X-Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_Z(z)$; (3) $\displaystyle P\left\{Y \leq \dfrac{1}{2} | X \leq \dfrac{1}{2}\right\}$.

10. 【2005-1-9 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} 1, & 0<x<1,0<y<2x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

求: (1) $\displaystyle (X, Y)$ 的边缘概率密度 $\displaystyle f_X(x), f_Y(y)$; (2) $\displaystyle Z=2X-Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_Z(z)$ .

11. 【2023-1-12 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} \frac{2(x^2+y^2)}{\pi}, & x^2+y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1)求 X 与 Y 的协方差; (2)求 X 与 Y 是否相互独立; (3)求 $\displaystyle Z=X^2+Y^2$ 的概率密度.

12. 【1992-1-6 分】 设随机变量 X 与 Y 独立, X 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu, \sigma^2)$, Y 服从 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的均匀分布, 试求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的概率密度函数. (计算结果用标准正态分布函数 $\displaystyle \Phi(x)$ 表示, 其中 $\displaystyle \Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$)

13. 【2007-134-11 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} 2-x-y, & 0<x<1,0<y<1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$$

(1)求 $\displaystyle P\{X>2Y\}$; (2)求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的概率密度 $\displaystyle f_Z(z)$ .

14. 【2003-3-13 分】 设随机变量X 与Y 独立, 其中X 的概率分布为 $\displaystyle X \sim \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0.3 & 0.7\end{pmatrix}$, 而 Y 的概率密度为 $\displaystyle f(y)$, 求随机变量 $\displaystyle U=X+Y$ 的概率密度 $\displaystyle g(u)$ .

15. 【2008-134-11 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=i\}=\dfrac{1}{3}(i=-1, 0, 1)$, Y 的概率密度为

$$f_Y(y)= \begin{cases} 1, & 0 \leq y<1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

记 $\displaystyle Z=X+Y$ (1) $\displaystyle P\left\{Z \leq \dfrac{1}{2} | X=0\right\}$; (2) 求Z 的概率密度 $\displaystyle f_Z(z)$ .

16. 【2016-13-11 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在区域 $\displaystyle D=\{(x, y)|0<x<1, x^2<y<\sqrt{x}\}$ 上服从均匀分布, 令

$$U= \begin{cases} 1, & X \leq Y \\ 0, & X>Y \end{cases}$$

(1)写出 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度; (2)问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由; (3) 求 $\displaystyle Z=U+X$ 的分布函数 $\displaystyle F(z)$ .

17. 【2017-13-11 分】 设随机变量 X, Y 相互独立, 且 X 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=2\}=\dfrac{1}{2}$, Y 的概率密度为

$$f(y)= \begin{cases} 2y, & 0<y<1 \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

(I)求 $\displaystyle P\{Y \leq EY\}$; (II)求 $\displaystyle Z=X+Y$ 的概率密度.

18. 【1996-5-9 分】 假设一电路装有三个同种电气元件, 其工作状态相互独立, 且无故障工作时间都服从参数 $\displaystyle \lambda>0$ 的指数分布.当三个元件都无故障工作时, 电路正常工作, 否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间 T 的概率分布.

19. 【2002-34-8 分】 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布, 平均无故障工作的时间 $\displaystyle E(X)$ 为5 小时.设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工作2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 $\displaystyle F(y)$ .

20. 【2012-3-11 分】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且都服从参数为1 的指数分布, $\displaystyle U=\max\{X, Y\}$, $\displaystyle V=\min\{X, Y\}$, (1) 求V 的概率密度 $\displaystyle f_V(v)$; (2)求 $\displaystyle E(U+V)$ .

21. 【2016-3-11 分】 设总体 X 的概率密度为

$$f(x;\theta)= \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0<x<\theta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其中 $\displaystyle \theta \in (0, +\infty)$ 为未知参数, $\displaystyle X_1$, $\displaystyle X_2$, $\displaystyle X_3$ 为来自总体 X 的简单随机样本, 令 $\displaystyle T=\max\{X_1, X_2, X_3\}$ (1)求 T 的概率密度; (2)确定 a 使得 $\displaystyle E(aT)=\theta$ .

22. 【2021-13-12 分】 在区间(0, 2) 上随机取一点, 将该区间分成两段, 较短一段的长度记为 X, 较长的一段长度记为 Y, 令 $\displaystyle Z=\dfrac{Y}{X}$ . (1)求 X 的概率密度; (2)求 Z 的概率密度; (3)求 $\displaystyle E\left(\dfrac{X}{Y}\right)$ .