4.1 一维随机变量函数的分布

小题

1. 【1993-1-3 分】 设随机变量 X 服从(0, 2) 上的均匀分布, 则随机变量 $\displaystyle Y=X^2$ 在(0, 4) 内概率密度函数 $\displaystyle f_Y(y)=$

大题

1. 【1988-1-6 分】 设随机变量 X 的概率密度函数为 $\displaystyle f_X(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$, 求随机变量 $\displaystyle Y=1-\sqrt[3]{X}$ 的概率密度函数 $\displaystyle f_Y(y)$ .

2. 【1988-45-6 分】 假设随机变量 X 在区间(1, 2) 上服从均匀分布.试求随机变量 $\displaystyle Y=e^{2X}$ 的概率密度 $\displaystyle f(y)$ .

3. 【1995-1-6 分】 设 X 的概率密度为

$$f_X(x)= \begin{cases} e^{-x}, & x \geq 0, \\ 0, & x<0, \end{cases}$$

求 $\displaystyle Y=e^X$ 的概率密度 $\displaystyle f_Y(y)$ .

4. 【1995-5-7 分】 假设随机变量 X 服从参数为2 的指数分布, 证明: $\displaystyle Y=1-e^{-2X}$ 在区间(0, 1) 上服从均匀分布.

5. 【1997-3-7 分】 假设随机变量 X 的绝对值不大于 1, $\displaystyle P\{X=-1\}=\dfrac{1}{8}$, $\displaystyle P\{X=1\}=\dfrac{1}{4}$, 在事件 $\displaystyle \{-1<X<1\}$ 出现的条件下, X 在(-1, 1) 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求 X 的分布函数 $\displaystyle F(x)=P\{X \leq x\}$ .

6. 【2003-34-13 分】 设随机变量 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, & x \in [1,8] \\ 0, & \text{其他}; \end{cases}$$

$\displaystyle F(x)$ 是 X 的分布函数.求随机变量 $\displaystyle Y=F(X)$ 的分布函数.

7. 【2006-1-9 分】 设随机变量 X 的概率密度为

$$f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}, & -1<x<0 \\ \frac{1}{4}, & 0 \leq x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

令 $\displaystyle Y=X^2$, $\displaystyle F(x, y)$ 为二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的分布函数.求 (1) Y 的概率密度 $\displaystyle f_Y(y)$; (2) $\displaystyle F\left(-\dfrac{1}{2}, 4\right)$.

8. 【2013-1-11 分】 设随机变量的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{9}x^2, & 0<x<3 \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

令

$$Y= \begin{cases} 2, & X \leq 1 \\ X, & 1<X<2 \\ 1, & X \geq 2 \end{cases}$$

(1)求 Y 的分布函数; (2) 求概率 $\displaystyle P\{X \leq Y\}$.

9. 【2023-3-12 分】 设随机变量 X 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}$, $\displaystyle -\infty<x<+\infty$, 令 $\displaystyle Y=e^X$ (1)求 X 的分布函数; (2)求 Y 的概率密度; (3) Y 的数学期望是否存在.

10. 【2025-13-12 分】 投保人的损失事件发生时, 保险公司的赔付额 Y 与投保人的损失额 X 的关系为

$$Y= \begin{cases} 0, & X \leq 100 \\ X-100, & X>100 \end{cases}$$

设损失事件发生时, 投保人的损失额 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} \frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$

(1)求 $\displaystyle P\{Y>0\}$ 及 $\displaystyle E(Y)$; (2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为 N, 保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 M, 假设 N 服从参数为8 的泊松分布, 在 $\displaystyle N=n(n \geq 1)$ 的条件下, M 服从二项分布 $\displaystyle B(n, P)$, 其中 $\displaystyle P=P\{Y>0\}$, 求 M 的概率分布.