3.3 边缘分布及条件分布的计算

小题

1. 【1992-4-4 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} e^{-y}, & 0<x<y \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

(1) 求随机变量X 的概率密度 $\displaystyle f_X(x)$; (2) 求概率 $\displaystyle P\{X+Y \leq 1\}$.

2. 【1998-1-3 分】 设平面区域 D 由曲线 $\displaystyle y=\dfrac{1}{x}$ 及直线 $\displaystyle y=0$, $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=e^2$ 所围成, 二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 在区域 D 上服从均匀分布, 则 $\displaystyle (X, Y)$ 关于 X 的边缘概率密度在 $\displaystyle x=2$ 处的值为

3. 【2007-134-4 分】 设随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从二维正态分布, 且 X 与 Y 不相关, $\displaystyle f_X(x)$, $\displaystyle f_Y(y)$ 分别表示 X, Y 的概率密度, 则在 $\displaystyle Y=y$ 的条件下, X 的条件概率密度 $\displaystyle f_{X|Y}(x|y)$ 为( ) A. $\displaystyle f_X(x)$    B. $\displaystyle f_Y(y)$ C. $\displaystyle f_X(x)f_Y(y)$    D. $\displaystyle \dfrac{f_X(x)}{f_Y(y)}$

大题

1. 【2001-1-7 分】 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 $\displaystyle \lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布, 每位乘客在中途下车的概率为 $\displaystyle p(0<p<1)$, 且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数, 求: (1) 在发车时有 n 个乘客的条件下, 中途有 m 人下车的概率; (2) 二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率分布.

2. 【2004-4-13 分】 设随机变量 X 在区间(0, 1) 上服从均匀分布, 在 $\displaystyle X=x(0<x<1)$ 的条件下随机变量 Y 在区间 $\displaystyle (0, x)$ 上服从均匀分布, 求: (1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度; (2) Y 的概率密度; (3)概率 $\displaystyle P\{X+Y>1\}$.

3. 【2009-3-11 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} e^{-x}, & 0<y<x \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

(1) 求条件概率密度 $\displaystyle f_{Y|X}(y|x)$; (2) 求条件概率 $\displaystyle P\{X \leq 1|Y \leq 1\}$.

4. 【2010-13-11 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)=Ae^{-2x^2+2xy-y^2},-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty;$$

求常数 A 及条件概率密度 $\displaystyle f_{Y|X}(y|x)$ .

5. 【2011-3-11 分】 设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 服从区域 G 上的均匀分布, 其中 G 是由 $\displaystyle x-y=0, x+y=2$ 与 $\displaystyle y=0$ 所围成的三角形区域. (1) 求X 的概率密度 $\displaystyle f_X(x)$; (2) 求条件密度函数 $\displaystyle f_{X|Y}(x|y)$ .

6. 【2013-3-11 分】 设 $\displaystyle (X, Y)$ 是二维随机变量, X 的边缘概率密度

$$f_X(x)= \begin{cases} 3x^2, & 0<x<1, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

在给定 $\displaystyle X=x(0<x<1)$ 的条件下 Y 的条件概率密度为

$$f_{Y|X}(y|x)= \begin{cases} \frac{3y^2}{x^3}, & 0<y<x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 求 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度 $\displaystyle f(x, y)$; (2)求 Y 的边缘概率密度 $\displaystyle f_Y(y)$; (3)求 $\displaystyle P\{X>2Y\}$.