2.3 常见分布

小题

1. 【2025-13-5 分】 设 $\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_{20}$ 是来自总体 $\displaystyle B(1, 0.1)$ 的简单随机样本, 令 $\displaystyle T=\sum_{i=1}^{20}X_i$, 利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $\displaystyle P\{T \leq 1\} \approx$( ) A. $\displaystyle \dfrac{1}{e^2}$ B. $\displaystyle \dfrac{2}{e^2}$ C. $\displaystyle \dfrac{3}{e^2}$ D. $\displaystyle \dfrac{4}{e^2}$

2. 【1994-4-3 分】 设随机变量 X 的概率密度为

$$f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 $\displaystyle \{X \leq \dfrac{1}{2}\}$ 出现的次数, 则 $\displaystyle P\{Y=2\}=$

3. 【1997-4-3 分】 设随机变量 X 服从参数为 $\displaystyle (2, p)$ 的二项分布, 随机变量 Y 服从 $\displaystyle (3, p)$ 的二项分布, 若 $\displaystyle P\{X \geq 1\}=\dfrac{5}{9}$ 则 $\displaystyle P\{Y \geq 1\}=$

4. 【1988-1-2 分】 设随机变量 X 服从均值为10, 均方差为0.02 的正态分布.已知 $\displaystyle \Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du$, $\displaystyle \Phi(2.5)=0.9938$ 则 X 落在区间(9.95, 10.05) 内的概率为

5. 【1991-1-3 分】 若随机变量 X 服从均值为2, 方差为 $\displaystyle \sigma^2$ 的正态分布, 且 $\displaystyle P\{2<X<4\}=0.3$, 则 $\displaystyle P\{X<0\}=$

6. 【1993-5-3 分】 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布, $\displaystyle X \sim N(\mu, 4^2)$, $\displaystyle Y \sim N(\mu, 5^2)$, 记 $\displaystyle p_1=P\{X \leq \mu-4\}$, $\displaystyle p_2=P\{Y \geq \mu+5\}$, 则( ). A. 对任何实数 $\displaystyle \mu$ 都有 $\displaystyle p_1=p_2$ B. 对任何实数 $\displaystyle \mu$, 都有 $\displaystyle p_1<p_2$ C. 只对 $\displaystyle \mu$ 的个别值, 才有 $\displaystyle p_1=p_2$ D. 对任何实数 $\displaystyle \mu$, 都有 $\displaystyle p_1>p_2$

7. 【1993-4-3 分】 设随机变量X 的概率密度为 $\displaystyle \varphi(x)$, 且 $\displaystyle \varphi(-x)=\varphi(x)$, $\displaystyle F(x)$ 是X 的分布函数, 则对任意实数 a 有( ). A. $\displaystyle F(-a)=1-\int_{0}^{a}\varphi(x)dx$ B. $\displaystyle F(-a)=\dfrac{1}{2}-\int_{0}^{a}\varphi(x)dx$ C. $\displaystyle F(-a)=F(a)$ D. $\displaystyle F(-a)=2F(a)-1$

8. 【1995-45-3 分】 设随机变量 X 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu, \sigma^2)$, 则随着 $\displaystyle \sigma$ 的增大, 概率 $\displaystyle P\{|X-\mu|<\sigma\}$( ) A. 单调增大    B. 单调减小    C. 保持不变    D. 增减不定

9. 【1998-1-4 分】 从正态总体 $\displaystyle N(3.4, 6^2)$ 中抽取容量为 n 的样本, 如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4) 内的概率不小于0.95, 问样本容量 n 至少应取多大? 附表: 标准正态分布表 $\displaystyle \Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

Z	1.28	1.645	1.96	2.33
$\displaystyle \Phi(z)$	0.900	0.950	0.975	0.990

10. 【2002-1-3 分】 设随机变量 X 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu, \sigma^2)(\sigma>0)$, 且二次方程 $\displaystyle y^2+4y+X=0$ 无实根的概率为 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$, 则 $\displaystyle \mu=$

11. 【2004-134-4 分】 设随机变量X 服从正态分布 $\displaystyle N(0, 1)$, 对给定的 $\displaystyle \alpha(0<\alpha<1)$, 数 $\displaystyle u_\alpha$ 满足 $\displaystyle P\{X>u_\alpha\}=\alpha$, 若 $\displaystyle P\{|X|<x\}=\alpha$, 则 $\displaystyle x=$( ). A. $\displaystyle u_{\frac{\alpha}{2}}$ B. $\displaystyle u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ C. $\displaystyle u_{\frac{1-\alpha}{2}}$ D. $\displaystyle u_{1-\alpha}$

12. 【2006-13-4 分】 设随机变量 X 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu_1, \sigma_1^2)$, Y 服从正态分布 $\displaystyle N(\mu_2, \sigma_2^2)$, 且 $\displaystyle P\{|X-\mu_1|<1\}>P\{|Y-\mu_2|<1\}$, 则必有( ) A. $\displaystyle \sigma_1<\sigma_2$ B. $\displaystyle \sigma_1>\sigma_2$ C. $\displaystyle \mu_1<\mu_2$ D. $\displaystyle \mu_1>\mu_2$

13. 【2013-13-4 分】 设 $\displaystyle X_1$, $\displaystyle X_2$, $\displaystyle X_3$ 是随机变量, 且 $\displaystyle X_1 \sim N(0, 1^2)$, $\displaystyle X_2 \sim N(0, 2^2)$, $\displaystyle X_3 \sim N(5, 3^2)$, $\displaystyle P_i=P\{-2 \leq X_i \leq 2\}(i=1, 2, 3)$, 则( ) A. $\displaystyle P_1>P_2>P_3$    B. $\displaystyle P_2>P_1>P_3$ C. $\displaystyle P_3>P_1>P_2$    D. $\displaystyle P_1>P_3>P_2$

14. 【2016-1-4 分】 设随机变量 $\displaystyle X \sim N(\mu, \sigma^2)(\sigma>0)$, 记 $\displaystyle p=P\{X \leq \mu+\sigma^2\}$, 则( ) A. p 随着 $\displaystyle \mu$ 增加而增加    B. p 随着 $\displaystyle \sigma$ 增加而增加 C. p 随着 $\displaystyle \mu$ 增加而减少    D. p 随着 $\displaystyle \sigma$ 增加而减少

15. 【2018-13-4 分】 设随机变量 X 的概率密度 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(1+x)=f(1-x)$, 且 $\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)dx=0.6$, 则 $\displaystyle P\{X<0\}=$( ) A. $\displaystyle 0.2$    B. $\displaystyle 0.3$    C. $\displaystyle 0.4$    D. $\displaystyle 0.5$

16. 【2024-1-5 分】 设随机变量 X, Y 相互独立, 且 $\displaystyle X \sim N(0, 2)$, $\displaystyle Y \sim N(-2, 2)$, 若 $\displaystyle P\{2X+Y<a\}=P\{X>Y\}$, 则 $\displaystyle a=$( ) A. $\displaystyle -2-\sqrt{10}$    B. $\displaystyle -2+\sqrt{10}$ C. $\displaystyle -2-\sqrt{6}$    D. $\displaystyle -2+\sqrt{6}$

17. 【2024-3-5 分】 设随机变量 X, Y 相互独立, 且 $\displaystyle X \sim N(0, 2)$, $\displaystyle Y \sim N(-1, 1)$, 若 $\displaystyle p_1=P\{2X>Y\}$, $\displaystyle p_2=P\{X-2Y>1\}$ 则( ). A. $\displaystyle p_1>p_2>\dfrac{1}{2}$ B. $\displaystyle p_2>p_1>\dfrac{1}{2}$ C. $\displaystyle p_1<p_2<\dfrac{1}{2}$ D. $\displaystyle p_2<p_1<\dfrac{1}{2}$

大题

1. 【1989-4-8 分】 设随机变量在[2, 5]上服从均匀分布, 现在对 X 进行三次独立观测, 试求至少有两次观测值大于3 的概率.

2. 【1992-45-7 分】 假设测量的随机误差 $\displaystyle X \sim N(0, 10^2)$, 试求在100 次独立重复测量中, 至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率 $\displaystyle \alpha$, 并利用泊松分布求出 $\displaystyle \alpha$ 的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表]

$\displaystyle \lambda$	1	2	3	4	5	6	7
$\displaystyle e^{-\lambda}$	0.368	0.135	0.050	0.018	0.007	0.002	0.001

3. 【1990-45-7 分】 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为72 分, 96 分以上的占考生总数的2.3%, 试求考生的外语成绩在60 分至84 分之间的概率. [附表] (表中 $\displaystyle \Phi(x)$ 是标准正态分布函数)

X	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
$\displaystyle \Phi(x)$	0.500	0.692	0.841	0.933	0.977	0.994	0.999

4. 【1991-5-6 分】 在电源电压不超过200 伏, 在200240 伏和超过240 伏三种情况下, 某种电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.001 和0.2, 假设电源电压 X 服从正态分布 $\displaystyle N(220, 25^2)$, 试求: (1) 该电子元件损坏的概率 $\displaystyle \alpha$; (2) 该电子元件损坏时, 电源电压在200240 伏的概率 $\displaystyle \beta$. [附表] (表中 $\displaystyle \Phi(x)$ 是标准正态分布函数)

X	0.10	0.20	0.40	0.60	0.80	1.00	1.20	1.40
$\displaystyle \Phi(x)$	0.530	0.579	0.655	0.726	0.788	0.841	0.885	0.919