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四、正定二次型

小题​

  1. 【1997-3-3分】 若二次型f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+tx_2x_3是正定的，则t\displaystyle t的取值范围是

  2. 【2024-1-5分】 A=(a+1aaa)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a+1&a\\a&a\end{pmatrix}，对于任意的实向量α=(x1x2)\displaystyle \alpha=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}，β=(y1y2)\displaystyle \beta=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}都有(αTAβ)2≤αTAα⋅βTAβ\displaystyle (\alpha^TA\beta)^2\leq\alpha^TA\alpha\cdot\beta^TA\beta，则a\displaystyle a的取值范围是

  3. 【2025-3-5分】 设矩阵A=(12−2−a)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&-a\end{pmatrix}，B=(101a)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\1&a\end{pmatrix}，若f(x,y)=∣xA+yB∣\displaystyle f(x,y)=|xA+yB|是正定二次型，则a\displaystyle a的取值范围是( )

A. (0,2−3)\displaystyle (0,2-\sqrt{3}) B. (2−3,2+3)\displaystyle (2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}) C. (2+3,4)\displaystyle (2+\sqrt{3},4) D. (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty)

大题​

  1. 【1991-4-6分】 考虑二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2−2x1x3+4x2x3\displaystyle f=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2\lambda x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3，问λ\displaystyle \lambda取何值时，f\displaystyle f为正定二次型？

  2. 【1991-12-6分】 设A\displaystyle A是n\displaystyle n阶正定阵，E\displaystyle E是n\displaystyle n阶单位阵，证明A+E\displaystyle A+E的行列式大于1。

  3. 【1992-4-6分】 设A\displaystyle A，B\displaystyle B分别为m\displaystyle m，n\displaystyle n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=(AOOB)\displaystyle C=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}是否为正定矩阵。

  4. 【1998-3-8分】 设矩阵A=(101020101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}，矩阵B=(kE+A)2\displaystyle B=(kE+A)^2，其中k\displaystyle k为实数，E\displaystyle E为单位矩阵，求对角矩阵Λ\displaystyle \Lambda，使B\displaystyle B与Λ\displaystyle \Lambda相似，并求k\displaystyle k为何值时，B\displaystyle B为正定矩阵。

  5. 【1999-1-6分】 设A\displaystyle A为m\displaystyle m阶实对称矩阵且正定，B\displaystyle B为m×n\displaystyle m\times n实矩阵，BT\displaystyle B^T为B\displaystyle B的转置矩阵，试证：BTAB\displaystyle B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B\displaystyle B的秩r(B)=n\displaystyle r(B)=n。

  6. 【1999-3-7分】 设A\displaystyle A为m×n\displaystyle m\times n实矩阵，E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA\displaystyle B=\lambda E+A^TA，试证：当λ>0\displaystyle \lambda>0时，矩阵B\displaystyle B为正定矩阵。

  7. 【2000-3-9分】 设有n\displaystyle n元实二次型

f(x1,x2,⋯ ,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+⋯+(xn−1+an−1xn)2+(xn+anx1)2f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1+a_1x_2)^2+(x_2+a_2x_3)^2+\cdots+(x_{n-1}+a_{n-1}x_n)^2+(x_n+a_nx_1)^2

其中ai(i=1,2,⋯ ,n)\displaystyle a_i(i=1,2,\cdots,n)为实数，试问：当a1,a2,⋯ ,an\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n满足何种条件时，二次型f(x1,x2,⋯ ,xn)\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)为正定二次型。

  1. 【2002-3-8分】 设A\displaystyle A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O\displaystyle A^2+2A=O，已知A\displaystyle A的秩r(A)=2\displaystyle r(A)=2 (1)求A\displaystyle A的全部特征值； (2)当k\displaystyle k为何值时，矩阵A+kE\displaystyle A+kE为正定矩阵，其中E\displaystyle E为三阶单位矩阵。

  2. 【2005-3-13分】 设D=(ACCTB)\displaystyle D=\begin{pmatrix}A&C\\C^T&B\end{pmatrix}为正定矩阵，其中A,B\displaystyle A,B分别为m\displaystyle m阶，n\displaystyle n阶对称矩阵，C\displaystyle C为m×n\displaystyle m\times n矩阵。 (1)计算PTDP\displaystyle P^TDP，其中P=(Em−A−1COEn)\displaystyle P=\begin{pmatrix}E_m&-A^{-1}C\\O&E_n\end{pmatrix}； (2)利用(1)的结果判断矩阵B−CTA−1C\displaystyle B-C^TA^{-1}C是否为正定矩阵，并证明你的结论。

  3. 【2021-1-12分】 A=(a1−11a−1−1−1a)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&1&-1\\1&a&-1\\-1&-1&a\end{pmatrix} (I)求正交矩阵P\displaystyle P，PTAP\displaystyle P^TAP为对角矩阵； (II)求正定矩阵C\displaystyle C，C2=(a+3)E−A\displaystyle C^2=(a+3)E-A。