Skip to main content

三、惯性指数与合同规范型

小题​

(一)惯性指数的计算与讨论​

  1. 【2008-1-4分】 设A\displaystyle A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程[x,y,z]A(xyz)=1\displaystyle [x,y,z]A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=1在正交变换下的标准方程的图形如图，则A\displaystyle A的正特征值个数为( )

A. 0\displaystyle 0    B. 1\displaystyle 1    C. 2\displaystyle 2    D. 3\displaystyle 3

  1. 【2011-2-4分】 二次型f(x1,x2,x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3，则f\displaystyle f的正惯性指数为

  2. 【2014-123-4分】 设二次型f(x1,x2,x3)=x12−x22+2ax1x3+4x2x3\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2ax_1x_3+4x_2x_3的负惯性指数是1，则a\displaystyle a的取值范围是

  3. 【2016-23-4分】 设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3的正、负惯性指数分别为1,2，则( )

A. a>1\displaystyle a>1    B. a<−2\displaystyle a<-2 C. −2<a<1\displaystyle -2<a<1    D. a=1 或 a=−2\displaystyle a=1\text{ 或 }a=-2

  1. 【2025-1-5分】 二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x1x3\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3的正惯性指数为( )

A. 0\displaystyle 0    B. 1\displaystyle 1    C. 2\displaystyle 2    D. 3\displaystyle 3

  1. 【2016-1-4分】 设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3，则f(x1,x2,x3)=2\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )

A. 单叶双曲面    B. 双叶双曲面    C. 椭球面    D. 柱面

  1. 【2019-123-4分】 设A\displaystyle A是3阶实对称矩阵，E\displaystyle E是3阶单位矩阵。若A2+A=2E\displaystyle A^2+A=2E，且∣A∣=4\displaystyle |A|=4，则二次型xTAx\displaystyle x^TAx的规范形为( )

A. y12+y22+y32\displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2 B. y12+y22−y32\displaystyle y_1^2+y_2^2-y_3^2 C. y12−y22−y32\displaystyle y_1^2-y_2^2-y_3^2 D. −y12−y22−y32\displaystyle -y_1^2-y_2^2-y_3^2

  1. 【2021-123-5分】 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x3−x1)2\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )

A. 2,0\displaystyle 2,0    B. 1,1\displaystyle 1,1    C. 2,1\displaystyle 2,1    D. 1,2\displaystyle 1,2

  1. 【2023-23-5分】 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x1+x3)2−4(x2−x3)2\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_1+x_3)^2-4(x_2-x_3)^2的规范形为( )

A. y12+y22\displaystyle y_1^2+y_2^2 B. y12−y22\displaystyle y_1^2-y_2^2 C. y12+y22−y32\displaystyle y_1^2+y_2^2-y_3^2 D. y12−y22−y32\displaystyle y_1^2-y_2^2-y_3^2

  1. 【2024-3-5分】 设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx在正交变换下可化为y12−2y22+3y32\displaystyle y_1^2-2y_2^2+3y_3^2，则二次型f\displaystyle f的矩阵A\displaystyle A的行列式与迹分别为( )

A. −6,−2\displaystyle -6,-2    B. −6,2\displaystyle -6,2    C. 6,−2\displaystyle 6,-2    D. 6,2\displaystyle 6,2

(二)合同关系的讨论​

  1. 【2001-1-3分】 设A=(1111111111111111)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}，B=(4000000000000000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}，则A\displaystyle A与B\displaystyle B( )

A. 合同且相似    B. 合同但不相似    C. 不合同但相似    D. 不合同且不相似

  1. 【2007-1234-4分】 设矩阵A=(2−1−1−12−1−1−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}，B=(100010000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}，则A\displaystyle A与B\displaystyle B( )

A. 合同且相似    B. 合同,但不相似    C. 不合同,但相似    D. 既不合同也不相似

  1. 【2008-234-4分】 设A=(1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}，则在实数域上与A\displaystyle A合同的矩阵为( )

A. (−211−2)\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix} B. (2−1−12)\displaystyle \begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix} C. (−1−2−21)\displaystyle \begin{pmatrix}-1&-2\\-2&1\end{pmatrix} D. (1−2−21)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}

大题​

(一)惯性指数的计算与讨论​

  1. 【1996-12-8分】 已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32−2x1x2+6x1x3−6x2x3\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+cx_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3的秩为2。 (1)求参数c\displaystyle c及此二次型对应矩阵的特征值； (2)指出方程f(x1,x2,x3)=1\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=1表示何种二次曲面。

  2. 【2001-3-8分】 设A\displaystyle A为n\displaystyle n阶实对称矩阵，r(A)=n\displaystyle r(A)=n，Aij\displaystyle A_{ij}是A=(aij)n×n\displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n}中元素aij\displaystyle a_{ij}的代数余子式(i,j=1,2,⋯ ,n)\displaystyle (i,j=1,2,\cdots,n)，二次型f(x1,x2,⋯ ,xn)=∑i=1n∑j=1nAij∣A∣xixj\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{A_{ij}}{|A|}x_ix_j。 (1)记x=(x1,x2,⋯ ,xn)T\displaystyle x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T，把f(x1,x2,⋯ ,xn)\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)\displaystyle f(x)的矩阵为A−1\displaystyle A^{-1}； (2)二次型g(x)=xTAx\displaystyle g(x)=x^TAx与f(x)\displaystyle f(x)的规范形是否相同？说明理由。

  3. 【2009-123-11分】 设二次型

f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a−1)x32+2x1x3−2x2x3f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+ax_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1x_3-2x_2x_3

(1)求二次型f\displaystyle f的矩阵的所有特征值； (2)若二次型f\displaystyle f的规范形为y12+y22\displaystyle y_1^2+y_2^2，求a\displaystyle a的值。

  1. 【2018-123-11分】 设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1−x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1+ax_3)^2，其中a\displaystyle a是参数。 (1)求f(x1,x2,x3)=0\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=0的解； (2)求f(x1,x2,x3)\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)的规范形。

(二)合同关系的讨论​

  1. 【2025-2-12分】 A=(41−2111−21a)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1&-2\\1&1&1\\-2&1&a\end{pmatrix}与B=(k00060000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}k&0&0\\0&6&0\\0&0&0\end{pmatrix}合同。 (1)求a\displaystyle a的值及k\displaystyle k的取值范围； (2)若存在正交矩阵Q\displaystyle Q，使得QTAQ=B\displaystyle Q^TAQ=B，求k\displaystyle k及Q\displaystyle Q。