二、二次型的合同标准型

小题

(一)正交变换法

1. 【2002-1-3分】 已知实二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$经正交变换$\displaystyle x=Py$可化成标准形$\displaystyle f=6y_1^2$，则$\displaystyle a=$

2. 【2011-1-4分】 若二次曲面的方程$\displaystyle x^2+3y^2+z^2+2axy+2xz+2yz=4$经正交变换化为$\displaystyle y_1^2+4z_1^2=4$，则$\displaystyle a=$_________。

3. 【2011-3-4分】 设二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx$的秩为1，$\displaystyle A$中各行元素之和为3，则$\displaystyle f$在正交变换$\displaystyle x=Qy$下的标准形为

4. 【2015-123-4分】 设二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换$\displaystyle x=Py$下的标准形为$\displaystyle 2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，其中$\displaystyle P=(e_1,e_2,e_3)$，若$\displaystyle Q=(e_1,-e_3,e_2)$，则$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换$\displaystyle x=Qy$下的标准形为( )

A. $\displaystyle 2y_1^2-y_2^2+y_3^2$ B. $\displaystyle 2y_1^2+y_2^2-y_3^2$ C. $\displaystyle 2y_1^2-y_2^2-y_3^2$ D. $\displaystyle 2y_1^2+y_2^2+y_3^2$

大题

(一)正交变换法

1. 【1990-12-8分】 求一个正交变换化二次型$\displaystyle f=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3-8x_2x_3$成标准形。

2. 【1993-4-9分】 设二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\alpha x_1x_2+2\beta x_2x_3+2x_1x_3$经正交变换$\displaystyle X=PY$化成$\displaystyle f=y_2^2+2y_3^2$，其中$\displaystyle X=(x_1,x_2,x_3)^T$和$\displaystyle Y=(y_1,y_2,y_3)^T$是三维列向量，$\displaystyle P$是3阶正交矩阵。试求常数$\displaystyle \alpha$，$\displaystyle \beta$。

3. 【1993-12-8分】 已知二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2ax_2x_3(a>0)$，通过正交变换化成标准形$\displaystyle f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$，求参数$\displaystyle a$及所用的正交变换矩阵。

4. 【1995-4-10分】 已知二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4x_2^2-3x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3+8x_2x_3$ (1)写出二次型$\displaystyle f$的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型$\displaystyle f$化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

5. 【1998-1-6分】 已知二次曲面方程$\displaystyle x^2+ay^2+z^2+2bxy+2xz+2yz=4$可以经过正交变换$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}\xi\\\eta\\\zeta\end{pmatrix}$化为椭圆柱面方程$\displaystyle \eta^2+4\zeta^2=4$，求$\displaystyle a$，$\displaystyle b$的值和正交矩阵$\displaystyle P$。

6. 【2003-3-13分】 设二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx=ax_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2bx_1x_3(b>0)$，其中二次型的矩阵$\displaystyle A$的特征值之和为1，特征值之积为12。 (1)求$\displaystyle a$，$\displaystyle b$之值； (2)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

7. 【2005-1-9分】 已知二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1x_2$的秩为2， (1)求$\displaystyle a$的值； (2)求正交变换$\displaystyle x=Qy$，把$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$化为标准形； (3)求方程$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=0$的解。

8. 【2010-1-11分】 已知二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx$在正交变换$\displaystyle x=Qy$下的标准形为$\displaystyle y_1^2+y_2^2$，且$\displaystyle Q$的第三列为$\displaystyle [\dfrac{\sqrt{2}}{2},0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}]^T$ (1)求矩阵$\displaystyle A$； (2)证明$\displaystyle A+E$为正定矩阵，其中$\displaystyle E$为三阶单位矩阵。

9. 【2012-123-11分】 已知$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&0&a\\0&a&-1\end{pmatrix}$，二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x^T(A^TA)x$的秩为2。 (1)求实数$\displaystyle a$的值； (2)求正交变换$\displaystyle x=Qy$将$\displaystyle f$化为标准形。

10. 【2013-123-11分】 设二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2+(b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3)^2$，记$\displaystyle \alpha=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$，$\displaystyle \beta=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ (I)证明二次型$\displaystyle f$对应的矩阵为$\displaystyle 2\alpha\alpha^T+\beta\beta^T$； (II)若$\displaystyle \alpha$，$\displaystyle \beta$正交且均为单位向量，证明$\displaystyle f$在正交变换下的标准形为$\displaystyle 2y_1^2+y_2^2$。

11. 【2017-123-11分】 设二次型

$$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-x_2^2+ax_3^2+2x_1x_2-8x_1x_3+2x_2x_3$$

在正交变换$\displaystyle x=Qy$下的标准形为$\displaystyle \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2$，求$\displaystyle a$的值及一个正交矩阵$\displaystyle Q$。

12. 【2020-13-11分】 设$\displaystyle f(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2$，经正交变换$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$得$\displaystyle g(y_1,y_2)=ay_1^2+4y_1y_2+by_2^2$，$\displaystyle a\geq b$。 (1)求$\displaystyle a$，$\displaystyle b$的值； (2)求正交矩阵$\displaystyle Q$。

(二)配方法

1. 【2020-2-11分】 设二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2ax_1x_3+2ax_2x_3$，经可逆线性变换$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$得$\displaystyle g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+4y_3^2+2y_1y_2$。 (1)求$\displaystyle a$的值； (2)求可逆矩阵$\displaystyle P$。

2. 【2022-23-12分】 已知二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1x_3$。 (1)求正交变换$\displaystyle x=Qy$将$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$化为标准型； (2)证明：$\displaystyle \min\limits_{x\neq0}\dfrac{f(x)}{x^Tx}=2$。

3. 【2022-1-12分】 设二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3ijx_ix_j$ (1)求二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$的矩阵； (2)求正交阵$\displaystyle Q$，经正交变换$\displaystyle x=Qy$化二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$为标准型； (3)求$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=0$的解。

4. 【2023-1-12分】 已知二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3$，$\displaystyle g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2y_2y_3$。 (1)求可逆变换$\displaystyle x=Py$将$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$化成$\displaystyle g(y_1,y_2,y_3)$； (2)是否存在正交变换$\displaystyle x=Qy$将$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$化成$\displaystyle g(y_1,y_2,y_3)$。

5. 【2023-23-12分】 矩阵$\displaystyle A$满足对任意$\displaystyle x_1,x_2,x_3$均$\displaystyle A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3\\2x_1-x_2+x_3\\x_2-x_3\end{pmatrix}$。 (1)求$\displaystyle A$； (2)求可逆矩阵$\displaystyle P$与对角矩阵$\displaystyle \Lambda$，使得$\displaystyle P^{-1}AP=\Lambda$。

6. 【2024-2-12分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&a\\1&0&1\\a&1&0\end{pmatrix}$，$\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\b&2&2\end{pmatrix}$，二次型$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x^TBAx$，已知方程组$\displaystyle Ax=0$的解均是$\displaystyle B^Tx=0$的解，但两个方程组不同解。 (1)求$\displaystyle a$，$\displaystyle b$的值； (2)求正交变换$\displaystyle x=Qy$将$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$化为标准形。