三、实对称矩阵

小题

(一)实对称矩阵的特殊性质

1. 【2010-123-4分】 设$\displaystyle A$为4阶实对称矩阵，且$\displaystyle A^2+A=O$，若$\displaystyle A$的秩为3，则$\displaystyle A$相似于( )

A. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ B. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ C. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ D. $\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

2. 【2013-123-4分】 矩阵$\displaystyle \begin{pmatrix}1&a&1\\a&b&a\\1&a&1\end{pmatrix}$与$\displaystyle \begin{pmatrix}2&0&0\\0&b&0\\0&0&0\end{pmatrix}$相似的充分必要条件为( )

A. $\displaystyle a=0,b=2$    B. $\displaystyle a=0,b\text{为任意常数}$ C. $\displaystyle a=2,b=0$    D. $\displaystyle a=2,b\text{为任意常数}$

(二)实对称矩阵的正交相似对角化

1. 【2021-23-5分】 已知矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&-1&1\\-1&2&-5\end{pmatrix}$，存在可逆矩阵$\displaystyle P$和上三角可逆矩阵$\displaystyle Q$，使$\displaystyle PAQ$为对角矩阵，则$\displaystyle P$，$\displaystyle Q$可以分别取( )

A. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ B. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ C. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ D. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&3&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&-1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$

2. 【2022-23-5分】 设$\displaystyle A$为3阶矩阵，$\displaystyle A$的特征值为1,1,0的充要条件是( )。

A. 存在可逆矩阵$\displaystyle P,Q$,使$\displaystyle A=P\Lambda Q$ B. 存在可逆矩阵$\displaystyle P$,使$\displaystyle A=P\Lambda P^{-1}$ C. 存在正交矩阵$\displaystyle Q$,使$\displaystyle A=Q\Lambda Q^{-1}$ D. 存在可逆矩阵$\displaystyle P$,使$\displaystyle A=P\Lambda P^T$

3. 【2022-1-5分】 下列四个选项中，是$\displaystyle A_{3\times 3}$可对角化的充分而非必要条件的选项为( )。

A. $\displaystyle A$有3个不同的特征值 B. $\displaystyle A$有3个线性无关的特征向量 C. $\displaystyle A$有3个两两线性无关的特征向量 D. $\displaystyle A$的属于不同特征值的特征向量正交

4. 【2024-2-5分】 设$\displaystyle A$，$\displaystyle B$为二阶矩阵，且$\displaystyle AB=BA$，则“$\displaystyle A$有两个不相等的特征值”是“$\displaystyle B$可对角化”的( )。

A. 充分必要条件    B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件    D. 既不充分也不必要条件

大题

(一)实对称矩阵的特殊性质

1. 【1995-12-7分】 设三阶实对称阵$\displaystyle A$的特征值为$\displaystyle \lambda_1=-1$，$\displaystyle \lambda_2=\lambda_3=1$，对应于$\displaystyle \lambda_1$的特征向量为$\displaystyle \xi_1=(0,1,1)^T$，求$\displaystyle A$。

2. 【1997-3-10分】 设三阶实对称矩阵$\displaystyle A$的特征值为1,2,3；矩阵$\displaystyle A$的属于特征值1,2的特征向量分别是$\displaystyle \alpha_1=(-1,-1,1)^T$，$\displaystyle \alpha_2=(1,-2,-1)^T$。 (1)求$\displaystyle A$的属于特征值3的特征向量； (2)求矩阵$\displaystyle A$。

3. 【2004-4-12分】 设三阶实对称矩阵$\displaystyle A$的秩为2，$\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=6$为矩阵$\displaystyle A$的二重特征值。若$\displaystyle \alpha_1=(1,1,0)^T$，$\displaystyle \alpha_2=(2,1,1)^T$，$\displaystyle \alpha_3=(-1,2,-3)^T$都是$\displaystyle A$的属于特征值6的特征向量。 (1)求$\displaystyle A$的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵$\displaystyle A$。

4. 【2007-1234-11分】 设三阶实对称矩阵$\displaystyle A$的特征值$\displaystyle \lambda_1=1$，$\displaystyle \lambda_2=2$，$\displaystyle \lambda_3=-2$，$\displaystyle \alpha_1=[1,-1,1]^T$是$\displaystyle A$的属于$\displaystyle \lambda_1=1$的一个特征向量，记$\displaystyle B=A^5-4A^3+E$，其中$\displaystyle E$为3阶单位矩阵。 (1)验证$\displaystyle \alpha_1$是矩阵$\displaystyle B$的特征向量，并求$\displaystyle B$的全部特征值与特征向量； (2)求矩阵$\displaystyle B$。

5. 【2011-123-11分】 设$\displaystyle A$为3阶实对称矩阵，$\displaystyle A$的秩为2，且$\displaystyle A\begin{pmatrix}1&1\\0&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\\1&1\end{pmatrix}$ (1)求$\displaystyle A$的所有特征值与特征向量； (2)求矩阵$\displaystyle A$。

(二)实对称矩阵的正交相似对角化

1. 【1996-4-8分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&y&1\\0&0&1&2\end{pmatrix}$ (1)已知$\displaystyle A$的一个特征值为3，试求$\displaystyle y$； (2)求矩阵$\displaystyle P$，使$\displaystyle (AP)^T(AP)$为对角矩阵。

2. 【2001-34-9分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}$，$\displaystyle \beta=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$，已知线性方程组$\displaystyle Ax=\beta$有解但不唯一，试求 (1)$\displaystyle a$的值； (2)正交矩阵$\displaystyle Q$，使$\displaystyle Q^TAQ$为对角矩阵。

3. 【2006-3-13分】 设3阶实对称矩阵$\displaystyle A$的各行元素之和均为3，向量$\displaystyle \alpha_1=[-1,2,-1]^T$，$\displaystyle \alpha_2=[0,-1,1]^T$是线性方程组$\displaystyle Ax=0$的两个解。 (1)求$\displaystyle A$的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵$\displaystyle Q$和对角矩阵$\displaystyle \Lambda$，使得$\displaystyle Q^TAQ=\Lambda$； (3)求$\displaystyle A$及$\displaystyle (A-\dfrac{3}{2}E)^6$，其中$\displaystyle E$为3阶单位矩阵。

4. 【2006-12-9分】 设3阶实对称矩阵$\displaystyle A$的各行元素之和均为3，向量$\displaystyle \alpha_1=[-1,2,-1]^T$，$\displaystyle \alpha_2=[0,-1,1]^T$是线性方程组$\displaystyle Ax=0$的两个解。 (1)求$\displaystyle A$的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵$\displaystyle Q$和对角矩阵$\displaystyle \Lambda$，使得$\displaystyle Q^TAQ=\Lambda$。

5. 【2010-23-11分】 设$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&-1&4\\-1&3&a\\4&a&0\end{pmatrix}$，正交矩阵$\displaystyle Q$使得$\displaystyle Q^TAQ$为对角矩阵，若$\displaystyle Q$的第1列为$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{6}}[1,2,1]^T$，求$\displaystyle a$，$\displaystyle Q$。

6. 【2021-23-12分】 矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b\end{pmatrix}$仅有两个不同的特征值。若$\displaystyle A$相似于对角矩阵，求$\displaystyle a$，$\displaystyle b$的值，并求可逆矩阵$\displaystyle P$，使$\displaystyle P^{-1}AP$为对角矩阵。

7. 【2024-1-12分】 已知数列$\displaystyle \{x_n\}$，$\displaystyle \{y_n\}$，$\displaystyle \{z_n\}$满足$\displaystyle x_0=-1$，$\displaystyle y_0=0$，$\displaystyle z_0=2$，且

$$\begin{cases}x_n=-2x_{n-1}+2z_{n-1},\\y_n=-2y_{n-1}-2z_{n-1},\\z_n=-6x_{n-1}-3y_{n-1}+3z_{n-1},\end{cases}$$

记$\displaystyle \alpha_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}$，写出满足$\displaystyle \alpha_n=A\alpha_{n-1}$的矩阵$\displaystyle A$，并求$\displaystyle A^n$及$\displaystyle \{x_n\}$，$\displaystyle \{y_n\}$，$\displaystyle \{z_n\}$的通项表达式。