二、相似对角化

小题

(一)相似对角化的判断

1. 【1993-4-3分】 $\displaystyle n$阶方阵$\displaystyle A$具有$\displaystyle n$个不同的特征值是$\displaystyle A$与对角阵相似的( )。

A. 充分必要条件    B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件    D. 既非充分也非必要条件

2. 【2022-23-5分】 设$\displaystyle A$为3阶矩阵，交换$\displaystyle A$的第2行和第3行，再将第2列的$\displaystyle -1$倍加到第1列，得到矩阵$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$，则$\displaystyle A^{-1}$的$\displaystyle tr(A^{-1})=$

3. 【2023-1-5分】 下列矩阵不能相似于对角矩阵的是( )

A. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&a\\1&2&0\\a&0&3\end{pmatrix}$ B. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}$ C. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$ D. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&a\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}$

4. 【2025-3-5分】 设$\displaystyle A$为三阶矩阵，则“$\displaystyle A^3-A^2$可对角化”是“$\displaystyle A$可对角化”的( )

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

(二)相似变换矩阵及相似对角阵的计算

1. 【2020-23-4分】 设$\displaystyle A$为3阶矩阵，$\displaystyle \alpha_1$，$\displaystyle \alpha_2$为$\displaystyle A$属于特征值为1的线性无关的特征向量，$\displaystyle \alpha_3$为$\displaystyle A$属于特征值为$\displaystyle -1$的特征向量，则满足$\displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$的可逆矩阵$\displaystyle P$为( )。

A. $\displaystyle (\alpha_1+\alpha_3,\alpha_2,-\alpha_3)$ B. $\displaystyle (\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,-\alpha_3)$ C. $\displaystyle (\alpha_1+\alpha_3,-\alpha_3,\alpha_2)$ D. $\displaystyle (\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3,\alpha_2)$

(三)相似对角化的综合应用

1. 【2012-1-4分】 设$\displaystyle \alpha$为3维单位列向量，$\displaystyle E$为3阶单位矩阵，则矩阵$\displaystyle E-\alpha\alpha^T$的秩为

大题

(一)相似对角化的判断

1. 【1997-1-6分】 已知$\displaystyle \zeta=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$是矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&a&3\\-1&b&-2\end{pmatrix}$的一个特征向量。 (1)试确定参数$\displaystyle a$，$\displaystyle b$及特征向量$\displaystyle \zeta$所对应的特征值； (2)问$\displaystyle A$能否相似于对角阵？说明理由。

2. 【2004-12-9分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\-1&4&-3\\1&a&5\end{pmatrix}$的特征方程有一个二重根，求$\displaystyle a$的值，并讨论$\displaystyle A$是否可相似对角化。

(二)相似变换矩阵及相似对角阵的计算

1. 【1988-12-8分】 已知矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&1&x\end{pmatrix}$与$\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&y&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$相似， (1)求$\displaystyle x$与$\displaystyle y$； (2)求一个满足$\displaystyle P^{-1}AP=B$的可逆矩阵$\displaystyle P$。

2. 【1992-4-7分】 设矩阵$\displaystyle A$，$\displaystyle B$相似，其中$\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&0&0\\2&x&2\\3&1&1\end{pmatrix}$，$\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&y\end{pmatrix}$ (1)求$\displaystyle x$和$\displaystyle y$的值； (2)求可逆矩阵$\displaystyle P$，使得$\displaystyle P^{-1}AP=B$。

3. 【1997-4-9分】 设矩阵$\displaystyle A$与$\displaystyle B$相似，且$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&4&-2\\-3&-3&a\end{pmatrix}$，$\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&b\end{pmatrix}$。 (1)求$\displaystyle a$，$\displaystyle b$的值； (2)求可逆矩阵$\displaystyle P$，使得$\displaystyle P^{-1}AP=B$。

4. 【1999-4-7分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2&-2\\-k&-1&k\\4&2&-3\end{pmatrix}$，$\displaystyle k$为何值时，存在可逆矩阵$\displaystyle P$，使得$\displaystyle P^{-1}AP$为对角矩阵？并求出$\displaystyle P$和相应的对角矩阵。

5. 【2000-4-9分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\x&4&y\\-3&-3&5\end{pmatrix}$，已知$\displaystyle A$有三个线性无关的特征向量，$\displaystyle \lambda=2$是$\displaystyle A$的二重特征值，试求可逆矩阵$\displaystyle P$，使得$\displaystyle P^{-1}AP$为对角矩阵。

6. 【2002-4-8分】 设实对称矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}$，求可逆矩阵$\displaystyle P$，使$\displaystyle P^{-1}AP$为对角矩阵，并计算行列式$\displaystyle |A-E|$的值。

7. 【2003-2-10分】 若矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&2&0\\8&2&a\\0&0&6\end{pmatrix}$相似于对角矩阵$\displaystyle \Lambda$，试确定常数$\displaystyle a$的值；并求可逆矩阵$\displaystyle P$，使$\displaystyle P^{-1}AP=\Lambda$。

8. 【2004-3-13分】 设$\displaystyle n$阶矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&b&\cdots&b\\b&1&\cdots&b\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b&b&\cdots&1\end{pmatrix}$ (1)求特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵$\displaystyle P$，使得$\displaystyle P^{-1}AP$为对角矩阵。

9. 【2005-4-6分】 设$\displaystyle A$为3阶矩阵，$\displaystyle \alpha_1$，$\displaystyle \alpha_2$，$\displaystyle \alpha_3$是线性无关的三维列向量，且满足$\displaystyle A\alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，$\displaystyle A\alpha_2=2\alpha_2+\alpha_3$，$\displaystyle A\alpha_3=2\alpha_2+3\alpha_3$ (1)求矩阵$\displaystyle B$，使得$\displaystyle A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)B$； (2)求矩阵$\displaystyle A$的特征值； (3)求可逆矩阵$\displaystyle P$，使得$\displaystyle P^{-1}AP$为对角矩阵。

10. 【2015-123-11分】 设矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2&-3\\-1&3&-3\\1&-2&a\end{pmatrix}$相似于矩阵$\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&b&0\\0&3&1\end{pmatrix}$ (1)求$\displaystyle a$，$\displaystyle b$的值； (2)求可逆矩阵$\displaystyle P$，使$\displaystyle P^{-1}AP$为对角矩阵。

(三)相似对角化的综合应用

1. 【1995-5-8分】 设三阶矩阵$\displaystyle A$满足$\displaystyle A\alpha_i=i\alpha_i(i=1,2,3)$，其中列向量$\displaystyle \alpha_1=(1,2,2)^T$，$\displaystyle \alpha_2=(2,-2,1)^T$，$\displaystyle \alpha_3=(-2,-1,2)^T$，试求矩阵$\displaystyle A$。

2. 【2000-1-8分】 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将$\displaystyle \dfrac{1}{6}$熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有$\displaystyle \dfrac{2}{5}$成为熟练工。设第$\displaystyle n$年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为$\displaystyle x_n$和$\displaystyle y_n$，记成向量$\displaystyle \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$。 (1)求$\displaystyle \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$与$\displaystyle \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$的关系式并写成矩阵形式； (2)验证$\displaystyle \eta_1=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$，$\displaystyle \eta_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$是$\displaystyle A$的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$时，求$\displaystyle \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$。

3. 【2016-123-11分】 已知矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&-1&1\\2&-3&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ (1)求$\displaystyle A^{99}$； (2)设三阶矩阵$\displaystyle B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$满足$\displaystyle B^2=BA$，记$\displaystyle B^{100}=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，将$\displaystyle \beta_1$，$\displaystyle \beta_2$，$\displaystyle \beta_3$分别表示为$\displaystyle \alpha_1$，$\displaystyle \alpha_2$，$\displaystyle \alpha_3$的线性组合。

4. 【2019-123-11分】 已知矩阵$\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\end{pmatrix}$与$\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\end{pmatrix}$相似。 (1)求$\displaystyle x$，$\displaystyle y$； (2)求可逆矩阵$\displaystyle P$使得$\displaystyle P^{-1}AP=B$。

5. 【2020-123-11分】 设$\displaystyle A$为2阶矩阵，$\displaystyle P=(\alpha,A\alpha)$，其中$\displaystyle \alpha$是非零向量且不是$\displaystyle A$的特征向量。 (1)证明$\displaystyle P$为可逆矩阵； (2)若$\displaystyle A^2\alpha+A\alpha-6\alpha=0$，求$\displaystyle P^{-1}AP$并判断$\displaystyle A$是否相似于对角矩阵。