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一、相似关系的判断与计算

小题​

  1. 【1999-3-3分】 设A\displaystyle A，B\displaystyle B为n\displaystyle n阶矩阵，且A\displaystyle A与B\displaystyle B相似，E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵，则( )。

A. λE−A=λE−B\displaystyle \lambda E-A=\lambda E-B B. A\displaystyle A与B\displaystyle B有相同的特征值和特征向量 C. A\displaystyle A与B\displaystyle B都相似于一个对角矩阵 D. 对任意常数t\displaystyle t,tE−A\displaystyle tE-A与tE−B\displaystyle tE-B相似

  1. 【2003-4-4分】 设矩阵B=(001010100)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}。已知矩阵A\displaystyle A相似于B\displaystyle B，则r(A−2E)\displaystyle r(A-2E)与r(A−E)\displaystyle r(A-E)之和等于( )。

A. 2\displaystyle 2    B. 3\displaystyle 3    C. 4\displaystyle 4    D. 5\displaystyle 5

  1. 【2009-3-4分】 设α=[1,1,1]T\displaystyle \alpha=[1,1,1]^T，β=[1,0,k]T\displaystyle \beta=[1,0,k]^T，矩阵αβT\displaystyle \alpha\beta^T相似于(300000000)\displaystyle \begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}，则k=\displaystyle k=_________。

  2. 【2009-2-4分】 设α\displaystyle \alpha，β\displaystyle \beta为3维列向量，βT\displaystyle \beta^T为β\displaystyle \beta的转置，若矩阵αβT\displaystyle \alpha\beta^T相似于(200000000)\displaystyle \begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}，则βTα=\displaystyle \beta^T\alpha=_________。

  3. 【2016-123-4分】 设A\displaystyle A，B\displaystyle B是可逆矩阵，且A\displaystyle A与B\displaystyle B相似，则下列结论错误的是( )。

A. AT\displaystyle A^T与BT\displaystyle B^T相似 B. A−1\displaystyle A^{-1}与B−1\displaystyle B^{-1}相似 C. A+AT\displaystyle A+A^T与B+BT\displaystyle B+B^T相似 D. A+A−1\displaystyle A+A^{-1}与B+B−1\displaystyle B+B^{-1}相似

  1. 【2017-123-4分】 已知矩阵 A=(200021001)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}，B=(210020001)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}，C=(100020002)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}，则( )

A. A\displaystyle A与C\displaystyle C相似,B\displaystyle B与C\displaystyle C相似 B. A\displaystyle A与C\displaystyle C相似,B\displaystyle B与C\displaystyle C不相似 C. A\displaystyle A与C\displaystyle C不相似,B\displaystyle B与C\displaystyle C相似 D. A\displaystyle A与C\displaystyle C不相似,B\displaystyle B与C\displaystyle C不相似

  1. 【2018-123-4分】 下列矩阵中，与矩阵(110011001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}相似的为( )

A. (11−1011001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} B. (10−1011001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} C. (11−1010001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} D. (10−1010001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

大题​

  1. 【2001-1-8分】 已知3阶矩阵A\displaystyle A与三维向量x\displaystyle x，使得向量组x\displaystyle x，Ax\displaystyle Ax，A2x\displaystyle A^2x线性无关，且满足A3x=3Ax−2A2x\displaystyle A^3x=3Ax-2A^2x。 (1)记P=(x,Ax,A2x)\displaystyle P=(x,Ax,A^2x)，求3阶矩阵B\displaystyle B，使A=PBP−1\displaystyle A=PBP^{-1}； (2)计算行列式∣A+E∣\displaystyle |A+E|。

  2. 【2002-1-8分】 设A\displaystyle A，B\displaystyle B为同阶方阵， (1)如果A\displaystyle A，B\displaystyle B相似，试证A\displaystyle A，B\displaystyle B的特征值相等； (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立； (3)当A\displaystyle A，B\displaystyle B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立。

  3. 【2014-123-11分】 证明n\displaystyle n阶矩阵(11⋯111⋯1⋮⋮⋮11⋯1)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\1&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&1&\cdots&1\end{pmatrix}与(0⋯010⋯02⋮⋮⋮0⋯0n)\displaystyle \begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\0&\cdots&0&2\\\vdots&&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&n\end{pmatrix}相似。