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三、综合讨论

小题​

  1. 【2018-2-4分】 设 A\displaystyle A 为3阶矩阵，α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 为线性无关的向量组，若 Aα1=2α1+α2+α3\displaystyle A\alpha_1=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3，Aα2=α2+2α3\displaystyle A\alpha_2=\alpha_2+2\alpha_3，Aα3=−α2+α3\displaystyle A\alpha_3=-\alpha_2+\alpha_3，则 A\displaystyle A 的实特征值为

  2. 【2008-4-4分】 设3阶矩阵 A\displaystyle A 的特征值互不相同，若行列式 ∣A∣=0\displaystyle |A|=0，则 A\displaystyle A 的秩

  3. 【2024-1-5分】 设 A\displaystyle A 是秩为2的三阶矩阵，α\displaystyle \alpha 是满足 Aα=0\displaystyle A\alpha=0 非零向量，若对满足 βTα=0\displaystyle \beta^T\alpha=0 的三维向量 β\displaystyle \beta，均有 Aβ=β\displaystyle A\beta=\beta，则

A. A3\displaystyle A^3 的迹为 2\displaystyle 2    B. A3\displaystyle A^3 的迹为 5\displaystyle 5 C. A2\displaystyle A^2 的迹为 8\displaystyle 8    D. A2\displaystyle A^2 的迹为 9\displaystyle 9

  1. 【2025-2-5分】 设矩阵 (1202a000b)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&0\\2&a&0\\0&0&b\end{pmatrix} 有一个正特征值和两个负特征值，则

A. a>4,b>0\displaystyle a>4,b>0    B. a<4,b>0\displaystyle a<4,b>0 C. a>4,b<0\displaystyle a>4,b<0    D. a<4,b<0\displaystyle a<4,b<0

大题​

  1. 【1992-12-7分】 设三阶矩阵 A\displaystyle A 的特征值为 λ1=1\displaystyle \lambda_1=1，λ2=2\displaystyle \lambda_2=2，λ3=3\displaystyle \lambda_3=3，对应的特征向量依次为 ξ1=(111)\displaystyle \xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}，ξ2=(124)\displaystyle \xi_2=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}，ξ3=(139)\displaystyle \xi_3=\begin{pmatrix}1\\3\\9\end{pmatrix}。又向量 β=(113)\displaystyle \beta=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix} (1)将 β\displaystyle \beta 用 ξ1,ξ2,ξ3\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3 线性表出； (2)求 Anβ\displaystyle A^n\beta（n\displaystyle n 为自然数）。

  2. 【2003-1-10分】 设矩阵 A=(322232223)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&3&2\\2&2&3\end{pmatrix}，P=(010101001)\displaystyle P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}，B=P−1A∗P\displaystyle B=P^{-1}A^*P，求 B+2E\displaystyle B+2E 的特征值与特征向量，其中 A∗\displaystyle A^* 为 A\displaystyle A 的伴随矩阵，E\displaystyle E 为三阶单位矩阵。

  3. 【2025-1-12分】 设矩阵 A=(0−12−102−1−1a)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&-1&2\\-1&0&2\\-1&-1&a\end{pmatrix}，已知1是 A\displaystyle A 的特征多项式的重根 (1)求 a\displaystyle a 的值。 (2)求所有满足 Aα=α+β\displaystyle A\alpha=\alpha+\beta，A2α=α+2β\displaystyle A^2\alpha=\alpha+2\beta 的非零列向量 α,β\displaystyle \alpha,\beta。