Skip to main content

一、线性方程组的解的判定

小题​

(一)数值型​

  1. 【1989-4-3分】 齐次方程组
{λx1+x2+x3=0x1+λx2+x3=0x1+x2+x3=0\begin{cases} \lambda x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0 \end{cases}

只有零解，则 λ\displaystyle \lambda 应满足的条件

  1. 【1990-45-3分】 若线性方程组
{x1+x2=−a1x2+x3=a2x3+x4=−a3x4+x5=a4\begin{cases} x_1+x_2=-a_1 \\ x_2+x_3=a_2 \\ x_3+x_4=-a_3 \\ x_4+x_5=a_4 \end{cases}

有解，则常数 a1,a2,a3,a4\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4 应满足条件

  1. 【1998-3-3分】 齐次线性方程组
{λx1+x2+λ2x3=0x1+λx2+x3=0x1+x2+λx3=0\begin{cases} \lambda x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=0 \end{cases}

的系数矩阵记为 A\displaystyle A，若存在三阶矩阵 B≠O\displaystyle B \neq O，使得 AB=O\displaystyle AB=O，则

A. λ=−2 且 ∣B∣=0\displaystyle \lambda=-2 \text{ 且 } |B|=0 B. λ=−2 且 ∣B∣≠0\displaystyle \lambda=-2 \text{ 且 } |B| \neq 0 C. λ=1 且 ∣B∣=0\displaystyle \lambda=1 \text{ 且 } |B|=0 D. λ=1 且 ∣B∣≠0\displaystyle \lambda=1 \text{ 且 } |B| \neq 0

  1. 【2000-1-3分】 已知方程组
(12123a+21a−2)(x1x2x3)=(130)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}

无解，则 a=\displaystyle a=

  1. 【2001-2-3分】 设方程
(a111a111a)(x1x2x3)=(11−2)\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

有无穷多个解，则 a=\displaystyle a=

  1. 【2015-123-4分】 设矩阵
A=(11112a14a2),b=(1dd2)A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2 \end{pmatrix},\quad b= \begin{pmatrix} 1 \\ d \\ d^2 \end{pmatrix}

若集合 Ω={1,2}\displaystyle \Omega=\{1,2\}，则线性方程组 Ax=b\displaystyle Ax=b 有无穷多个解的充分必要条件为

A. a∉Ω, d∉Ω\displaystyle a \notin \Omega,\ d \notin \Omega B. a∉Ω, d∈Ω\displaystyle a \notin \Omega,\ d \in \Omega C. a∈Ω, d∉Ω\displaystyle a \in \Omega,\ d \notin \Omega D. a∈Ω, d∈Ω\displaystyle a \in \Omega,\ d \in \Omega

  1. 【2019-3-4分】 已知矩阵
A=(10−111−101a2−1),b=(01a)A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a^2-1 \end{pmatrix},\quad b= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}

Ax=b\displaystyle Ax=b 有无穷多个解，则 a=\displaystyle a=

(二)抽象型​

  1. 【1989-5-3分】 设 n\displaystyle n 元齐次线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 的系数矩阵 A\displaystyle A 的秩为 r\displaystyle r，则 Ax=0\displaystyle Ax=0 有非零解的充分必要条件是

A. r=n\displaystyle r=n    B. r<n\displaystyle r<n    C. r≥n\displaystyle r \geq n    D. r>n\displaystyle r>n

  1. 【1991-5-3分】 设 A\displaystyle A 是 m×n\displaystyle m \times n 矩阵，Ax=0\displaystyle Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b\displaystyle Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是

A. 若 Ax=0 仅有零解,则 Ax=b 有唯一解\displaystyle \text{若 } Ax=0 \text{ 仅有零解,则 } Ax=b \text{ 有唯一解} B. 若 Ax=0 有非零解,则 Ax=b 有无穷多个解\displaystyle \text{若 } Ax=0 \text{ 有非零解,则 } Ax=b \text{ 有无穷多个解} C. 若 Ax=b 有无穷多个解,则 Ax=0 仅有零解\displaystyle \text{若 } Ax=b \text{ 有无穷多个解,则 } Ax=0 \text{ 仅有零解} D. 若 Ax=b 有无穷多个解,则 Ax=0 有非零解\displaystyle \text{若 } Ax=b \text{ 有无穷多个解,则 } Ax=0 \text{ 有非零解}

  1. 【1992-4-3分】 设 A\displaystyle A 为 m×n\displaystyle m \times n 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0\displaystyle Ax=0 仅有零解的充分条件是

A. A 的列向量线性无关\displaystyle A \text{ 的列向量线性无关} B. A 的列向量线性相关\displaystyle A \text{ 的列向量线性相关} C. A 的行向量线性无关\displaystyle A \text{ 的行向量线性无关} D. A 的行向量线性相关\displaystyle A \text{ 的行向量线性相关}

  1. 【1997-4-3分】 非齐次线性方程组 Ax=b\displaystyle Ax=b 中未知数的个数为 n\displaystyle n，方程个数为 m\displaystyle m，系数矩阵 A\displaystyle A 的秩为 r\displaystyle r，则

A. r=m 时,方程组 Ax=b 有解\displaystyle r=m \text{ 时,方程组 } Ax=b \text{ 有解} B. r=n 时,方程组 Ax=b 有唯一解\displaystyle r=n \text{ 时,方程组 } Ax=b \text{ 有唯一解} C. m=n 时,方程组 Ax=b 有唯一解\displaystyle m=n \text{ 时,方程组 } Ax=b \text{ 有唯一解} D. r<n 时,方程组 Ax=b 有无穷多解\displaystyle r<n \text{ 时,方程组 } Ax=b \text{ 有无穷多解}

  1. 【2001-3-3分】 设 A\displaystyle A 是 n\displaystyle n 阶矩阵，α\displaystyle \alpha 是 n\displaystyle n 维列向量，若
r(AααT0)=r(A)r\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \alpha^T & 0 \end{pmatrix}=r(A)

则线性方程组

A. Ax=α 必有无穷多解\displaystyle Ax=\alpha \text{ 必有无穷多解} B. Ax=α 必有唯一解\displaystyle Ax=\alpha \text{ 必有唯一解} C. (AααT0)(xy)=0 仅有零解\displaystyle \begin{pmatrix}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=0 \text{ 仅有零解} D. (AααT0)(xy)=0 必有非零解\displaystyle \begin{pmatrix}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=0 \text{ 必有非零解}

  1. 【2002-3-3分】 设 A\displaystyle A 是 m×n\displaystyle m \times n 矩阵，B\displaystyle B 是 n×m\displaystyle n \times m 矩阵，则线性方程组 (AB)x=0\displaystyle (AB)x=0

A. 当 n>m 时仅有零解\displaystyle \text{当 } n>m \text{ 时仅有零解} B. 当 n>m 时必有非零解\displaystyle \text{当 } n>m \text{ 时必有非零解} C. 当 m>n 时仅有零解\displaystyle \text{当 } m>n \text{ 时仅有零解} D. 当 m>n 时必有非零解\displaystyle \text{当 } m>n \text{ 时必有非零解}

(三)与空间解析几何的结合(数一)​

  1. 【1997-1-3分】 设
α1=(a1a2a3),α2=(b1b2b3),α3=(c1c2c3)\alpha_1= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\quad \alpha_2= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},\quad \alpha_3= \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}

则三条直线 a1x+b1y+c1=0\displaystyle a_1x+b_1y+c_1=0，a2x+b2y+c2=0\displaystyle a_2x+b_2y+c_2=0，a3x+b3y+c3=0\displaystyle a_3x+b_3y+c_3=0（其中 ai2+bi2≠0,i=1,2,3\displaystyle a_i^2+b_i^2 \neq 0,i=1,2,3）交于一点的充要条件是

A. α1,α2,α3 线性相关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \text{ 线性相关} B. α1,α2,α3 线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \text{ 线性无关} C. r(α1,α2,α3)=r(α1,α2)\displaystyle r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=r(\alpha_1,\alpha_2) D. α1,α2,α3 线性相关,α1,α2 线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \text{ 线性相关,}\alpha_1,\alpha_2 \text{ 线性无关}

  1. 【1998-1-3分】 设矩阵
(a1b1c1a2b2c2a3b3c3)\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}

是满秩的，则直线

x−a3a1−a2=y−b3b1−b2=z−c3c1−c2\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}

与直线

x−a1a2−a3=y−b1b2−b3=z−c1c2−c3\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}

A. 相交于一点\displaystyle \text{相交于一点}    B. 重合\displaystyle \text{重合} C. 平行但不重合\displaystyle \text{平行但不重合}    D. 异面\displaystyle \text{异面}

  1. 【2002-1-3分】 设有三张不同平面的方程 ai1x+ai2y+ai3z=bi,i=1,2,3\displaystyle a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i,i=1,2,3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为

  2. 【2019-1-4分】 如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 ai1x+ai2y+ai3z=di(i=1,2,3)\displaystyle a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i(i=1,2,3) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A,A‾\displaystyle A,\overline{A}，则

A. r(A)=2, r(A‾)=2\displaystyle r(A)=2,\ r(\overline{A})=2 B. r(A)=2, r(A‾)=3\displaystyle r(A)=2,\ r(\overline{A})=3 C. r(A)=1, r(A‾)=2\displaystyle r(A)=1,\ r(\overline{A})=2 D. r(A)=1, r(A‾)=1\displaystyle r(A)=1,\ r(\overline{A})=1

  1. 【2020-1-4分】 已知直线 L1:x−a2a1=y−b2b1=z−c2c1\displaystyle L_1:\dfrac{x-a_2}{a_1}=\dfrac{y-b_2}{b_1}=\dfrac{z-c_2}{c_1} 与 L2:x−a3a2=y−b3b2=z−c3c2\displaystyle L_2:\dfrac{x-a_3}{a_2}=\dfrac{y-b_3}{b_2}=\dfrac{z-c_3}{c_2} 相交于一点，设向量 αi=(aibici),i=1,2,3\displaystyle \alpha_i=\begin{pmatrix}a_i\\b_i\\c_i\end{pmatrix},i=1,2,3，则

A. α1 可由 α2,α3 线性表示\displaystyle \alpha_1 \text{ 可由 } \alpha_2,\alpha_3 \text{ 线性表示} B. α2 可由 α1,α3 线性表示\displaystyle \alpha_2 \text{ 可由 } \alpha_1,\alpha_3 \text{ 线性表示} C. α3 可由 α1,α2 线性表示\displaystyle \alpha_3 \text{ 可由 } \alpha_1,\alpha_2 \text{ 线性表示} D. α1,α2,α3 线性无关\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \text{ 线性无关}

  1. 【2024-1-5分】 在空间直角坐标系中，三张平面 πi:aix+biy+ciz=di(i=1,2,3)\displaystyle \pi_i:a_ix+b_iy+c_iz=d_i(i=1,2,3) 的位置关系如下图所示。记 αi=(ai,bi,ci),βi=(ai,bi,ci,di)\displaystyle \alpha_i=(a_i,b_i,c_i),\beta_i=(a_i,b_i,c_i,d_i)，若 r(α1α2α3)=m\displaystyle r\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{pmatrix}=m，r(β1β2β3)=n\displaystyle r\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{pmatrix}=n，则

A. m=1,n=2\displaystyle m=1,n=2    B. m=n=2\displaystyle m=n=2 C. m=2,n=3\displaystyle m=2,n=3    D. m=n=3\displaystyle m=n=3

  1. 【2025-1-5分】 设 α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 是 n\displaystyle n 维向量，α1,α2\displaystyle \alpha_1,\alpha_2 线性无关，α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性相关，且 α1+α2+α4=0\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\alpha_4=0，在空间直角坐标系中，关于 x,y,z\displaystyle x,y,z 的方程组 xα1+yα2+zα3=α4\displaystyle x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3=\alpha_4 的几何图形是

A. 过原点的一个平面\displaystyle \text{过原点的一个平面} B. 过原点的一条直线\displaystyle \text{过原点的一条直线} C. 不过原点的一个平面\displaystyle \text{不过原点的一个平面} D. 不过原点的一条直线\displaystyle \text{不过原点的一条直线}

大题​

(三)与空间解析几何的结合(数一)​

  1. 【2003-12-8分】 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax+2by+3c=0;l2:bx+2cy+3a=0;l3:cx+2ay+3b=0l_1:ax+2by+3c=0; \quad l_2:bx+2cy+3a=0; \quad l_3:cx+2ay+3b=0

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0\displaystyle a+b+c=0。