Skip to main content

一、线性表出的判定与证明

小题​

(二)抽象型向量的线性表出​

  1. 【1989-1245-3分】 设A是4阶矩阵，且A的行列式∣A∣=0\displaystyle |A|=0，则A中（）

A. 必有一列元素全为0\displaystyle \text{必有一列元素全为} 0 B. 必有两列元素对应成比例\displaystyle \text{必有两列元素对应成比例} C. 必有一列向量是其余列向量的线性组合\displaystyle \text{必有一列向量是其余列向量的线性组合} D. 任一列向量是其余列向量的线性组合\displaystyle \text{任一列向量是其余列向量的线性组合}

  1. 【1998-4-3分】 若向量组α,β,γ\displaystyle \alpha,\beta,\gamma线性无关，α,β,δ\displaystyle \alpha,\beta,\delta线性相关，则（）。

A. α必可由β,γ,δ线性表示\displaystyle \alpha \text{必可由} \beta,\gamma,\delta \text{线性表示} B. β必不可由α,γ,δ线性表示\displaystyle \beta \text{必不可由} \alpha,\gamma,\delta \text{线性表示} C. δ必可由α,β,γ线性表示\displaystyle \delta \text{必可由} \alpha,\beta,\gamma \text{线性表示} D. δ必不可由α,β,γ线性表示\displaystyle \delta \text{必不可由} \alpha,\beta,\gamma \text{线性表示}

  1. 【1999-34-3分】 设向量β\displaystyle \beta可由向量组α1,α2,⋯ ,αm\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1,α2,⋯ ,αm−1\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{m-1}线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1,α2,⋯ ,αm−1,β\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{m-1},\beta，则（）。

A. αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示\displaystyle \alpha_m \text{不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示} B. αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示\displaystyle \alpha_m \text{不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示} C. αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示\displaystyle \alpha_m \text{可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示} D. αm可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示\displaystyle \alpha_m \text{可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示}

(三)向量组的线性表出​

  1. 【2000-1-3分】 设n维列向量组α1,⋯ ,αm(m<n)\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m(m<n)线性无关，则n维列向量组β1,⋯ ,βm\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_m线性无关的充分必要条件为（）

A. 向量组α1,⋯ ,αm可由向量组β1,⋯ ,βm线性表示\displaystyle \text{向量组} \alpha_1,\cdots,\alpha_m \text{可由向量组} \beta_1,\cdots,\beta_m \text{线性表示} B. 向量组β1,⋯ ,βm可由向量组α1,⋯ ,αm线性表示\displaystyle \text{向量组} \beta_1,\cdots,\beta_m \text{可由向量组} \alpha_1,\cdots,\alpha_m \text{线性表示} C. 向量组α1,⋯ ,αm与向量组β1,⋯ ,βm等价\displaystyle \text{向量组} \alpha_1,\cdots,\alpha_m \text{与向量组} \beta_1,\cdots,\beta_m \text{等价} D. 矩阵A=(α1,⋯ ,αm)与矩阵B=(β1,⋯ ,βm)等价\displaystyle \text{矩阵} A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m) \text{与矩阵} B=(\beta_1,\cdots,\beta_m) \text{等价}

  1. 【2022-123-5分】 设α1=(λ11)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}\lambda\\1\\1\end{pmatrix}，α2=(1λ1)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\\lambda\\1\end{pmatrix}，α3=(11λ)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}1\\1\\\lambda\end{pmatrix}，α4=(1λλ2)\displaystyle \alpha_4=\begin{pmatrix}1\\\lambda\\\lambda^2\end{pmatrix}，若向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3与α1,α2,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_4等价，则λ\displaystyle \lambda的取值范围是（）。

A. {λ∣λ∈R}\displaystyle \{\lambda|\lambda\in R\} B. {λ∣λ∈R,λ≠−1}\displaystyle \{\lambda|\lambda\in R,\lambda\ne -1\} C. {λ∣λ∈R,λ≠−1,λ≠−2}\displaystyle \{\lambda|\lambda\in R,\lambda\ne -1,\lambda\ne -2\} D. {λ∣λ∈R,λ≠−2}\displaystyle \{\lambda|\lambda\in R,\lambda\ne -2\}

  1. 【2021-1-5分】 α1=(101)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}，α2=(121)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}，α3=(312)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}，记β1=α1\displaystyle \beta_1=\alpha_1，β2=α2−kβ1\displaystyle \beta_2=\alpha_2-k\beta_1，β3=α3−l1β1−l2β2\displaystyle \beta_3=\alpha_3-l_1\beta_1-l_2\beta_2，若β1,β2,β3\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3两两正交，则l1,l2\displaystyle l_1,l_2依次为（）

A. 52,12\displaystyle \dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2} B. −52,12\displaystyle -\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2} C. 52,−12\displaystyle \dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{2} D. −52,−12\displaystyle -\dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{2}

  1. 【2023-123-5分】 已知向量α1=(123)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}，α2=(211)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}，β1=(259)\displaystyle \beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix}，β2=(101)\displaystyle \beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}，若γ\displaystyle \gamma既可由α1,α2\displaystyle \alpha_1,\alpha_2线性表示，又可由β1,β2\displaystyle \beta_1,\beta_2线性表示，则γ=\displaystyle \gamma=（）

A. k(123),k∈R\displaystyle k\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},k\in R B. k(3510),k∈R\displaystyle k\begin{pmatrix}3\\5\\10\end{pmatrix},k\in R C. k(−112),k∈R\displaystyle k\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix},k\in R D. k(5813),k∈R\displaystyle k\begin{pmatrix}5\\8\\13\end{pmatrix},k\in R

  1. 【2023-1-5分】 已知向量α1=(1011)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}，α2=(−1−101)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}，α3=(01−11)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}，β=(111−1)\displaystyle \beta=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}，γ=k1α1+k2α2+k3α3\displaystyle \gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3，若γTαi=βTαi(i=1,2,3)\displaystyle \gamma^T\alpha_i=\beta^T\alpha_i(i=1,2,3)，则k12+k22+k32=\displaystyle k_1^2+k_2^2+k_3^2=

  2. 【2013-123-4分】 设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C\displaystyle AB=C，且B可逆，则（）

A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价\displaystyle \text{矩阵} C \text{的行向量组与矩阵} A \text{的行向量组等价} B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价\displaystyle \text{矩阵} C \text{的列向量组与矩阵} A \text{的列向量组等价} C. 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价\displaystyle \text{矩阵} C \text{的行向量组与矩阵} B \text{的行向量组等价} D. 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价\displaystyle \text{矩阵} C \text{的列向量组与矩阵} B \text{的列向量组等价}

大题​

(一)数值型向量的线性表出​

  1. 【1991-45-7分】 设α1=(1+λ11)\displaystyle \alpha_{1}=\begin{pmatrix}1+\lambda\\1\\1\end{pmatrix}，α2=(11+λ1)\displaystyle \alpha_{2}=\begin{pmatrix}1\\1+\lambda\\1\end{pmatrix}，α3=(111+λ)\displaystyle \alpha_{3}=\begin{pmatrix}1\\1\\1+\lambda\end{pmatrix}，β=(0λλ2)\displaystyle \beta=\begin{pmatrix}0\\\lambda\\\lambda^2\end{pmatrix}， 问λ\displaystyle \lambda取何值时： (1)β\displaystyle \beta可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，且表达式唯一？ (2)β\displaystyle \beta可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，但表达式不唯一？ (3)β\displaystyle \beta不能由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示？

  2. 【1991-12-8分】 已知α1=(1,0,2,3)T\displaystyle \alpha_1=(1,0,2,3)^T，α2=(1,1,3,5)T\displaystyle \alpha_2=(1,1,3,5)^T，α3=(1,−1,a+2,1)T\displaystyle \alpha_3=(1,-1,a+2,1)^T，α4=(1,2,4,a+8)T\displaystyle \alpha_4=(1,2,4,a+8)^T，β=(1,1,b+3,5)T\displaystyle \beta=(1,1,b+3,5)^T，问： (1)a,b\displaystyle a,b为何值时，β\displaystyle \beta不能表示成α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4的线性组合？ (2)a,b\displaystyle a,b为何值时，β\displaystyle \beta有α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4的唯一线性表示式？并写出表示式。

  3. 【1998-2-6分】 已知α1=(1,4,0,2)T\displaystyle \alpha_1=(1,4,0,2)^T，α2=(2,7,1,3)T\displaystyle \alpha_2=(2,7,1,3)^T，α3=(0,1,−1,a)T\displaystyle \alpha_3=(0,1,-1,a)^T，β=[3,10,b,4]T\displaystyle \beta=[3,10,b,4]^T，问： (1)a,b\displaystyle a,b取何值时，β\displaystyle \beta不能由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示？ (2)a,b\displaystyle a,b取何值时，β\displaystyle \beta可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示？并写出此表示式。

  4. 【2000-34-8分】 设向量组α1=(a,2,10)T\displaystyle \alpha_1=(a,2,10)^T，α2=(−2,1,5)T\displaystyle \alpha_2=(-2,1,5)^T，α3=(−1,1,4)T\displaystyle \alpha_3=(-1,1,4)^T，β=(1,b,c)T\displaystyle \beta=(1,b,c)^T。试问：当a,b,c\displaystyle a,b,c满足什么条件时， (1)β\displaystyle \beta可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表出，且表示唯一？ (2)β\displaystyle \beta不能由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表出？ (3)β\displaystyle \beta可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。

  5. 【2000-2-7分】 已知向量组α1=(12−3)\displaystyle \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}，α2=(301)\displaystyle \alpha_2=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}，α3=(96−7)\displaystyle \alpha_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-7\end{pmatrix}与向量组β1=(01−1)\displaystyle \beta_1=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}，β2=(a21)\displaystyle \beta_2=\begin{pmatrix}a\\2\\1\end{pmatrix}，β3=(b10)\displaystyle \beta_3=\begin{pmatrix}b\\1\\0\end{pmatrix}具有相同的秩，且β3\displaystyle \beta_3可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，求a,b\displaystyle a,b的值。

  6. 【2004-3-13分】 设α1=(1,2,0)T\displaystyle \alpha_1=(1,2,0)^T，α2=(1,a+2,−3a)T\displaystyle \alpha_2=(1,a+2,-3a)^T，α3=(−1,−b−2,a+2b)T\displaystyle \alpha_3=(-1,-b-2,a+2b)^T，β=(1,3,−3)T\displaystyle \beta=(1,3,-3)^T，试讨论当a,b\displaystyle a,b为何值时， (1)β\displaystyle \beta不能由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示； (2)β\displaystyle \beta可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3唯一地线性表示，并求出表示式； (3)β\displaystyle \beta可由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

  7. 【2006-34-13分】 设4维向量组α1=[1+a,1,1,1]T\displaystyle \alpha_1=[1+a,1,1,1]^T，α2=[2,2+a,2,2]T\displaystyle \alpha_2=[2,2+a,2,2]^T，α3=[3,3,3+a,3]T\displaystyle \alpha_3=[3,3,3+a,3]^T，α4=[4,4,4,4+a]T\displaystyle \alpha_4=[4,4,4,4+a]^T，问a\displaystyle a为何值时α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性相关？当α1,α2,α3,α4\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

(二)抽象型向量的线性表出​

  1. 【1992-12-7分】 设向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关，向量组α2,α3,α4\displaystyle \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性无关，问： (1)α1\displaystyle \alpha_1能否由α2,α3\displaystyle \alpha_2,\alpha_3线性表出？证明你的结论； (2)α4\displaystyle \alpha_4能否由α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表出？证明你的结论。

(三)向量组的线性表出​

  1. 【2003-4-13分】 设有向量组α1=(1,0,2)T\displaystyle \alpha_1=(1,0,2)^T，α2=(1,1,3)T\displaystyle \alpha_2=(1,1,3)^T，α3=(1,−1,a+2)T\displaystyle \alpha_3=(1,-1,a+2)^T和向量组β1=(1,2,a+3)T\displaystyle \beta_1=(1,2,a+3)^T，β2=(2,1,a+6)T\displaystyle \beta_2=(2,1,a+6)^T，β3=(2,1,a+4)T\displaystyle \beta_3=(2,1,a+4)^T。试问：当a\displaystyle a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价？当a\displaystyle a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价？

  2. 【2005-2-9分】 确定常数a\displaystyle a，使向量组α1=[1,1,a]T\displaystyle \alpha_1=[1,1,a]^T，α2=[1,a,1]T\displaystyle \alpha_2=[1,a,1]^T，α3=[a,1,1]T\displaystyle \alpha_3=[a,1,1]^T可由向量组β1=[1,1,a]T\displaystyle \beta_1=[1,1,a]^T，β2=[−2,a,4]T\displaystyle \beta_2=[-2,a,4]^T，β3=[−2,a,a]T\displaystyle \beta_3=[-2,a,a]^T线性表示，但向量组β1,β2,β3\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3不能由向量组α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示。

  3. 【2011-123-11分】 设向量组α1=[1,0,1]T\displaystyle \alpha_1=[1,0,1]^T，α2=[0,1,1]T\displaystyle \alpha_2=[0,1,1]^T，α3=[1,3,5]T\displaystyle \alpha_3=[1,3,5]^T不能由向量组β1=[1,1,1]T\displaystyle \beta_1=[1,1,1]^T，β2=[1,2,3]T\displaystyle \beta_2=[1,2,3]^T，β3=[3,4,a]T\displaystyle \beta_3=[3,4,a]^T线性表示。 (1)求a\displaystyle a的值； (2)将β1,β2,β3\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3用α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示。

  4. 【2019-23-11分】 已知向量组 Ⅰ：α1=(1,1,4)T\displaystyle \alpha_1=(1,1,4)^T，α2=(1,0,4)T\displaystyle \alpha_2=(1,0,4)^T，α3=(1,2,a2+3)T\displaystyle \alpha_3=(1,2,a^2+3)^T， Ⅱ：β1=(1,1,a+3)T\displaystyle \beta_1=(1,1,a+3)^T，β2=(0,2,1−a)T\displaystyle \beta_2=(0,2,1-a)^T，β3=(1,3,a2+3)T\displaystyle \beta_3=(1,3,a^2+3)^T， 若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a\displaystyle a的取值，并将β3\displaystyle \beta_3用α1,α2,α3\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示。