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三、与伴随矩阵有关的问题

小题​

  1. 【1987-12-3分】 设A\displaystyle A为n\displaystyle n阶方阵，且∣A∣=a≠0\displaystyle |A|=a\neq0，而A∗\displaystyle A^*是A\displaystyle A的伴随矩阵，则∣A∗∣=\displaystyle |A^*|=( ).

A. a\displaystyle a    B. 1a\displaystyle \dfrac{1}{a} C. an−1\displaystyle a^{n-1}    D. an\displaystyle a^n

  1. 【1990-5-3分】 设A\displaystyle A为n\displaystyle n阶可逆矩阵，A∗\displaystyle A^*是A\displaystyle A的伴随矩阵，则∣A∗∣=\displaystyle |A^*|=( ).

A. ∣A∣n−1\displaystyle |A|^{n-1}    B. ∣A∣\displaystyle |A| C. ∣A∣n\displaystyle |A|^n    D. ∣A∣−1\displaystyle |A|^{-1}

  1. 【1995-45-3分】 若A=(100220345)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{pmatrix}，A∗\displaystyle A^*是A\displaystyle A的伴随矩阵，则(A∗)−1=\displaystyle (A^*)^{-1}=

  2. 【1996-45-3分】 设n\displaystyle n阶矩阵A\displaystyle A可逆(n≥2)\displaystyle (n\geq2)，A∗\displaystyle A^*是矩阵A\displaystyle A的伴随矩阵，则( ).

A. (A∗)∗=∣A∣n−1A\displaystyle (A^*)^*=|A|^{n-1}A B. (A∗)∗=∣A∣n+1A\displaystyle (A^*)^*=|A|^{n+1}A C. (A∗)∗=∣A∣n−2A\displaystyle (A^*)^*=|A|^{n-2}A D. (A∗)∗=∣A∣n+2A\displaystyle (A^*)^*=|A|^{n+2}A

  1. 【1998-2-3分】 设A\displaystyle A是任一n(n≥3)\displaystyle n(n\geq3)阶方阵，A∗\displaystyle A^*是其伴随矩阵，又k\displaystyle k为常数，且k≠0,±1\displaystyle k\neq0,\pm1，则必有(kA)∗=\displaystyle (kA)^*=( ).

A. kA∗\displaystyle kA^*    B. kn−1A∗\displaystyle k^{n-1}A^* C. knA∗\displaystyle k^nA^*    D. k−1A∗\displaystyle k^{-1}A^*

  1. 【2002-4-3分】 设A,B\displaystyle A,B为n\displaystyle n阶矩阵，A∗,B∗\displaystyle A^*,B^*分别为A,B\displaystyle A,B对应的伴随矩阵，分块矩阵C=(AOOB)\displaystyle C=\begin{pmatrix}A & O \\ O & B\end{pmatrix}，则C\displaystyle C的伴随矩阵C∗=\displaystyle C^*=( )

A. (∣A∣A∗OO∣B∣B∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|A|A^* & O \\ O & |B|B^*\end{pmatrix} B. (∣B∣B∗OO∣A∣A∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|B|B^* & O \\ O & |A|A^*\end{pmatrix} C. (∣A∣B∗OO∣B∣A∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|A|B^* & O \\ O & |B|A^*\end{pmatrix} D. (∣B∣A∗OO∣A∣B∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|B|A^* & O \\ O & |A|B^*\end{pmatrix}

  1. 【2023-23-5分】 设A,B\displaystyle A,B为n\displaystyle n阶矩阵，E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位矩阵，M∗\displaystyle M^*为矩阵M\displaystyle M的伴随矩阵，则(AEOB)∗=\displaystyle \begin{pmatrix}A & E \\ O & B\end{pmatrix}^*=( )

A. (∣A∣B∗−B∗A∗O∣B∣A∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|A|B^* & -B^*A^* \\ O & |B|A^*\end{pmatrix} B. (∣B∣A∗−A∗B∗O∣A∣B∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|B|A^* & -A^*B^* \\ O & |A|B^*\end{pmatrix} C. (∣B∣A∗−B∗A∗O∣A∣B∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|B|A^* & -B^*A^* \\ O & |A|B^*\end{pmatrix} D. (∣A∣B∗−A∗B∗O∣B∣A∗)\displaystyle \begin{pmatrix}|A|B^* & -A^*B^* \\ O & |B|A^*\end{pmatrix}

  1. 【2005-3-4分】 设矩阵A=(aij)3×3\displaystyle A=(a_{ij})_{3\times3}满足A∗=AT\displaystyle A^*=A^T，其中A∗\displaystyle A^*为A\displaystyle A的伴随矩阵，AT\displaystyle A^T为A\displaystyle A的转置矩阵，若a11,a12,a13\displaystyle a_{11},a_{12},a_{13}为三个相等的正数，则a11\displaystyle a_{11}为( )

A. 33\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3}    B. 3\displaystyle 3 C. 13\displaystyle \dfrac{1}{3}    D. 3\displaystyle \sqrt{3}

  1. 【2013-123-4分】 设A=(aij)\displaystyle A=(a_{ij})是三阶非零矩阵，∣A∣\displaystyle |A|为A\displaystyle A的行列式，Aij\displaystyle A_{ij}为aij\displaystyle a_{ij}的代数余子式，若aij+Aij=0(i,j=1,2,3)\displaystyle a_{ij}+A_{ij}=0(i,j=1,2,3)，则∣A∣=\displaystyle |A|=________.

  2. 【2009-123-4分】 设A,B\displaystyle A,B均为2阶方阵，A∗,B∗\displaystyle A^*,B^*分别为A,B\displaystyle A,B的伴随矩阵，若∣A∣=2\displaystyle |A|=2，∣B∣=3\displaystyle |B|=3，则分块矩阵(OABO)\displaystyle \begin{pmatrix}O & A \\ B & O\end{pmatrix}的伴随矩阵为( )

A. (O3B∗2A∗O)\displaystyle \begin{pmatrix}O & 3B^* \\ 2A^* & O\end{pmatrix} B. (O2B∗3A∗O)\displaystyle \begin{pmatrix}O & 2B^* \\ 3A^* & O\end{pmatrix} C. (O3A∗2B∗O)\displaystyle \begin{pmatrix}O & 3A^* \\ 2B^* & O\end{pmatrix} D. (O2A∗3B∗O)\displaystyle \begin{pmatrix}O & 2A^* \\ 3B^* & O\end{pmatrix}

  1. 【2021-1-5分】 设A=(aij)\displaystyle A=(a_{ij})为3阶矩阵，Aij\displaystyle A_{ij}为元素aij\displaystyle a_{ij}的代数余子式，若A\displaystyle A的每行元素之和均为2，且∣A∣=3\displaystyle |A|=3，则A11+A21+A31=\displaystyle A_{11}+A_{21}+A_{31}=

大题​

  1. 【1992-5-6分】 已知实矩阵A=(aij)3×3\displaystyle A=(a_{ij})_{3\times3}满足条件：(1)Aij=aij(i,j=1,2,3)\displaystyle A_{ij}=a_{ij}(i,j=1,2,3)，其中Aij\displaystyle A_{ij}是aij\displaystyle a_{ij}的代数余子式；(2)a11≠0\displaystyle a_{11}\neq0，计算行列式∣A∣\displaystyle |A|

  2. 【1993-5-8分】 已知三阶矩阵A\displaystyle A的逆矩阵为A−1=(111121113)\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}，试求伴随矩阵A∗\displaystyle A^*的逆矩阵.

  3. 【1994-2-6分】 设A\displaystyle A为n\displaystyle n阶非零方阵，A∗\displaystyle A^*是A\displaystyle A的伴随矩阵，AT\displaystyle A^T是A\displaystyle A的转置矩阵，当A∗=AT\displaystyle A^*=A^T时，证明∣A∣≠0\displaystyle |A|\neq0.