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二、逆矩阵的计算

小题​

(一)数值型​

  1. 【1988-45-1分】
(0001001001001000)−1=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}^{-1}=
  1. 【1989-12-3分】 设矩阵
A=(300140003),E=(100010001)A=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix},E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

则(A−2E)−1=\displaystyle (A-2E)^{-1}=

  1. 【1991-12-3分】 设四阶方阵
A=(52002100001−20011)A=\begin{pmatrix}5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}

则A−1=\displaystyle A^{-1}=

  1. 【1994-45-3分】 设
A=(0a10⋯000a2⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯an−1an00⋯0)A=\begin{pmatrix}0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}

其中ai≠0,i=1,2,⋯ ,n\displaystyle a_i\neq0,i=1,2,\cdots,n，则A−1=\displaystyle A^{-1}=

(二)抽象型​

  1. 【1990-4-5分】 已知对于n\displaystyle n阶方阵A\displaystyle A，存在自然数k\displaystyle k，使得Ak=0\displaystyle A^k=0，试证明矩阵E−A\displaystyle E-A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E\displaystyle E为n\displaystyle n阶单位阵）.

  2. 【1991-4-3分】 设A\displaystyle A和B\displaystyle B为可逆矩阵，X=(OABO)\displaystyle X=\begin{pmatrix}O & A \\ B & O\end{pmatrix}为分块矩阵，则X−1=\displaystyle X^{-1}=

  3. 【1992-5-3分】 设A,B,A+B,A−1+B−1\displaystyle A,B,A+B,A^{-1}+B^{-1}均为n\displaystyle n阶可逆矩阵，则(A−1+B−1)−1\displaystyle (A^{-1}+B^{-1})^{-1}等于( ).

A. A−1+B−1\displaystyle A^{-1}+B^{-1}    B. A+B\displaystyle A+B C. A(A+B)−1B\displaystyle A(A+B)^{-1}B    D. (A+B)−1\displaystyle (A+B)^{-1}

  1. 【2000-2-3分】 设
A=(1000−23000−45000−67)A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7\end{pmatrix}

E\displaystyle E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)−1(E−A)\displaystyle B=(E+A)^{-1}(E-A)，则(E+B)−1=\displaystyle (E+B)^{-1}=

  1. 【2001-1-3分】 设矩阵A\displaystyle A满足A2+A−4E=O\displaystyle A^2+A-4E=O，其中E\displaystyle E为单位矩阵，则(A−E)−1=\displaystyle (A-E)^{-1}=

  2. 【2002-4-3分】 设矩阵A=(1−123)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}，B=A2−3A+2E\displaystyle B=A^2-3A+2E，则B−1=\displaystyle B^{-1}=

  3. 【2003-4-4分】 设A,B\displaystyle A,B均为三阶矩阵，E\displaystyle E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+B\displaystyle AB=2A+B，B=(202040202)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{pmatrix}，则(A−E)−1=\displaystyle (A-E)^{-1}=

大题​

(二)抽象型​

  1. 【1988-5-6分】 已知n\displaystyle n阶方阵A\displaystyle A满足矩阵方程A2−3A−2E=O\displaystyle A^2-3A-2E=O，其中A\displaystyle A给定，而E\displaystyle E是单位矩阵，证明A\displaystyle A可逆，并求出其逆矩阵A−1\displaystyle A^{-1}