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一、低阶数值型行列式的计算

小题​

  1. 【1988-45-1分】
∣1110110110110111∣=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix}=
  1. 【1989-5-3分】 行列式
∣1−11x−11−1x+1−11x−11−1x+1−11−1∣=\begin{vmatrix}1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1\end{vmatrix}=
  1. 【1996-5-3分】 五阶行列式
D=∣1−aa000−11−aa000−11−aa000−11−aa000−11−a∣=D=\begin{vmatrix}1-a & a & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1-a & a \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1-a\end{vmatrix}=
  1. 【2020-123-4分】 行列式
∣a0−110a1−1−11a01−10a∣=\begin{vmatrix}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{vmatrix}=
  1. 【1996-12-3分】 四阶行列式
∣a100b10a2b200b3a30b400a4∣\begin{vmatrix}a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4}\end{vmatrix}

的值等于( )

A. a1a2a3a4−b1b2b3b4\displaystyle a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}-b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} B. a1a2a3a4+b1b2b3b4\displaystyle a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} C. (a1a2−b1b2)(a3a4−b3b4)\displaystyle (a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2})(a_{3} a_{4}-b_{3} b_{4}) D. (a2a3−b2b3)(a1a4−b1b4)\displaystyle (a_{2} a_{3}-b_{2} b_{3})(a_{1} a_{4}-b_{1} b_{4})

  1. 【1999-2-3分】 记行列式
f(x)=∣x−2x−1x−2x−32x−22x−12x−22x−33x−33x−24x−53x−54x4x−35x−74x−3∣f(x)=\begin{vmatrix}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2x-2 & 2x-1 & 2x-2 & 2x-3 \\ 3x-3 & 3x-2 & 4x-5 & 3x-5 \\ 4x & 4x-3 & 5x-7 & 4x-3\end{vmatrix}

则方程f(x)=0\displaystyle f(x)=0的根的个数为( )

A. 1\displaystyle 1    B. 2\displaystyle 2    C. 3\displaystyle 3    D. 4\displaystyle 4

  1. 【2025-3-5分】
f(x)=∣2x+132x+112x−34x−22x+122x+112x−44x−2∣f(x)=\begin{vmatrix}2x+1 & 3 & 2x+1 & 1 \\ 2x & -3 & 4x & -2 \\ 2x+1 & 2 & 2x+1 & 1 \\ 2x & -4 & 4x & -2\end{vmatrix} g(x)=∣2x+112x+135x+1−24x−3012x+122x−24x−4∣g(x)=\begin{vmatrix}2x+1 & 1 & 2x+1 & 3 \\ 5x+1 & -2 & 4x & -3 \\ 0 & 1 & 2x+1 & 2 \\ 2x & -2 & 4x & -4\end{vmatrix}

则方程f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)的不同根的个数为

  1. 【2014-123-4分】 行列式
∣0ab0a00b0cd0c00d∣\begin{vmatrix}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{vmatrix}

等于( )

A. (ad−bc)2\displaystyle (ad-bc)^{2} B. −(ad−bc)2\displaystyle -(ad-bc)^{2} C. a2d2−b2c2\displaystyle a^{2} d^{2}-b^{2} c^{2} D. b2c2−a2d2\displaystyle b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}

  1. 【2001-4-3分】 设行列式
D=∣304022220−70053−22∣D=\begin{vmatrix}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}

则第四行各元素余子式之和

  1. 【2019-2-4分】 已知矩阵
A=(1−100−21−113−22−10034)A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 4\end{pmatrix}

Aij\displaystyle A_{ij}为∣A∣\displaystyle |A|的(i,j)\displaystyle (i,j)元素的代数余子式，则A11+A12=\displaystyle A_{11}+A_{12}=_______.

  1. 【2024-3-5分】
A=(a+1b3ab21112)A=\begin{pmatrix}a+1 & b & 3 \\ a & \frac{b}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}

Mij\displaystyle M_{ij}表示A\displaystyle A的i\displaystyle i行j\displaystyle j列元素的余子式，若−M21+M22−M23=0\displaystyle -M_{21}+M_{22}-M_{23}=0，则( )

A. a=0 或 a=−32\displaystyle a=0\text{ 或 }a=-\dfrac{3}{2} B. a=0 或 a=32\displaystyle a=0\text{ 或 }a=\dfrac{3}{2} C. b=1 或 b=−12\displaystyle b=1\text{ 或 }b=-\dfrac{1}{2} D. b=−1 或 b=12\displaystyle b=-1\text{ 或 }b=\dfrac{1}{2}

  1. 【2021-23-5分】 多项式f(x)=∣xx121x2−121x12−11x∣\displaystyle f(x)=\begin{vmatrix}x & x & 1 & 2 \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{vmatrix}中x3\displaystyle x^{3}的系数为