8.4 假设检验（数一）

小题

1. 【1995-4-3 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的简单随机样本，其中参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 未知，记

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,Q^2=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2,$$

则假设 $H_0:\mu =0$ 的 $t$ 检验使用统计量 $t=$ ______。

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答案：

$$t=\frac{\sqrt{n(n-1)}\bar{X}}{Q}.$$

解析： 总体方差未知时，检验正态总体均值使用统计量

$$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1),$$

其中

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\frac{Q^2}{n-1}.$$

在原假设 $H_0:\mu =0$ 下，${\mu }_0=0$，且

$$S=\frac{Q}{\sqrt{n-1}}.$$

所以

$$\begin{array}{rl}T& =\frac{\bar{X}}{Q/\sqrt{n-1}}\sqrt{n}\\ & =\frac{\sqrt{n(n-1)}\bar{X}}{Q}.\end{array}$$

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2. 【1998-1-4 分】 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取 $36$ 位考生的成绩，算得平均成绩为 $66.5$ 分，标准差为 $15$ 分。问在显著性水平 $0.05$ 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 $70$ 分？并给出检验过程。（附表：$t$ 分布表 $P\{t(n)\le t_p(n)\}=p$）

$p$	$0.95$	$0.975$
$35$	$1.6896$	$2.0301$
$36$	$1.6883$	$2.0281$

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答案： 在显著性水平 $0.05$ 下不能拒绝 $H_0:\mu =70$，因此可以认为总体平均成绩为 $70$ 分。

解析： 总体为正态分布，方差未知，故采用双侧 $t$ 检验。

提出假设

$$H_0:\mu =70,H_1:\mu \ne 70.$$

在 $H_0$ 成立时，检验统计量为

$$T=\frac{\bar{X}-70}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)=t(35).$$

由样本数据，

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{66.5-70}{15/\sqrt{36}}\\ & =\frac{-3.5}{2.5}\\ & =-\mathrm{1.4.}\end{array}$$

显著性水平为 $\alpha =0.05$，双侧拒绝域为

$$|T|>t_{0.975}(35)=\mathrm{2.0301.}$$

由于

$$|t|=1.4<2.0301,$$

故样本观测值未落入拒绝域，不能拒绝 $H_0$。因此，在显著性水平 $0.05$ 下，样本没有提供足够证据说明总体均值不同于 $70$ 分，可以认为总体平均成绩为 $70$ 分。

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3. 【2018-1-4 分】 设总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，据此样本检验假设

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0,$$

则（ ）

A. 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必拒绝 $H_0$

B. 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$，那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必接受 $H_0$

C. 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$，那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必拒绝 $H_0$

D. 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$，那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必接受 $H_0$

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答案： D

解析： 对同一双侧检验，显著性水平越小，拒绝域越小。具体地，

$$W_{0.01}\subset W_{0.05}.$$

若在 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$，说明检验统计量不属于较大的拒绝域 $W_{0.05}$，因而更不可能属于较小的拒绝域 $W_{0.01}$。所以在 $\alpha =0.01$ 下也必接受 $H_0$，故 D 正确。

A 错误：在 $0.05$ 水平下拒绝时，统计量可能落在 $W_{0.05}\setminus W_{0.01}$ 中，因此在 $0.01$ 水平下不一定拒绝。

B 错误：在 $0.05$ 水平下拒绝，并不能推出在 $0.01$ 水平下一定接受，也可能仍然拒绝。

C 与拒绝域随显著性水平减小而缩小的规律相反。

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4. 【2021-1-5 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{16}$ 是来自总体 $N(\mu ,4)$ 的简单随机样本，考虑假设检验问题

$$H_0:\mu \le 10,H_1:\mu >10.$$

$\Phi (x)$ 表示标准正态分布函数。若该检验问题的拒绝域为

$$W=\{\bar{X}>11\},qquad\bar{X}=\frac{1}{16}\sum _{i=1}^{16}{X}_i,$$

则 $\mu =11.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）

A. $1-\Phi (0.5)$    B. $1-\Phi (1)$    C. $1-\Phi (1.5)$    D. $1-\Phi (2)$

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答案： B

解析： 当真实参数 $\mu =11.5$ 时，备择假设成立。第二类错误是“未拒绝错误的原假设”，即事件

$$\bar{X}\le 11.$$

因为总体方差为 $4$，故总体标准差为 $2$，从而

$$\bar{X}\sim N\left(11.5,\frac{4}{16}\right)=N(11.5,0.25).$$

即 $\bar{X}$ 的标准差为 $0.5$。因此第二类错误概率为

$$\begin{array}{rl}\beta (11.5)& =P_{\mu =11.5}(\bar{X}\le 11)\\ & =P\left(\frac{\bar{X}-11.5}{0.5}\le \frac{11-11.5}{0.5}\right)\\ & =\Phi (-1)\\ & =1-\Phi (1).\end{array}$$

故选 B。

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5. 【2025-1-5 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu ,2)$ 的简单随机样本，记

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,$$

$Z_{\alpha }$ 表示标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数。假设检验问题

$$H_0:\mu \le 1,H_1:\mu >1$$

的显著性水平为 $\alpha$ 的检验的拒绝域为（ ）

A. $\left\{(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\mid \bar{X}>1+\frac{2}{n}{Z}_{\alpha }\right\}$

B. $\left\{(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\mid \bar{X}>1+\frac{\sqrt{2}}{n}{Z}_{\alpha }\right\}$

C. $\left\{(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\mid \bar{X}>1+\frac{2}{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha }\right\}$

D. $\left\{(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\mid \bar{X}>1+\sqrt{\frac{2}{n}}{Z}_{\alpha }\right\}$

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答案： D

解析： 由总体分布 $X\sim N(\mu ,2)$ 可知总体方差为 $2$，故

$$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{2}{n}\right).$$

这是右侧检验。对于复合原假设 $H_0:\mu \le 1$，拒绝概率在边界点 $\mu =1$ 处最大，因此应在 $\mu =1$ 时确定临界值。

在 $\mu =1$ 下，

$$Z=\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{2/n}}\sim N(0,1).$$

因为 $Z_{\alpha }$ 为标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数，所以

$$P(Z>Z_{\alpha })=\alpha .$$

故显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域为

$$\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{2/n}}>Z_{\alpha },$$

即

$$\bar{X}>1+\sqrt{\frac{2}{n}}{Z}_{\alpha }.$$

所以应选 D。A、B、C 均错误地使用了样本均值标准差的尺度；正确标准误为 $\sqrt{2/n}$。