8.3 区间估计（数一）

小题

1. 【1993-4-3 分】 设总体 $X$ 的方差为 $1$，根据来自 $X$ 的容量为 $100$ 的简单随机样本，测得样本均值为 $5$，则 $X$ 的数学期望的置信度近似等于 $0.95$ 的置信区间为 ______。

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答案：

$$(4.804,5.196).$$

解析： 设总体均值为 $\mu$。总体方差已知为 ${\sigma }^2=1$，样本容量 $n=100$ 较大。由中心极限定理，

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\approx N(0,1).$$

置信度为 $0.95$ 时，取标准正态分布双侧分位数

$$z_{0.025}=\mathrm{1.96.}$$

故 $\mu$ 的近似置信区间为

$$\begin{array}{rl}\left(\bar{x}-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)& =\left(5-1.96\frac{1}{10},5+1.96\frac{1}{10}\right)\\ & =(4.804,5.196).\end{array}$$

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2. 【1996-4-3 分】 设有来自正态总体 $X\sim N(\mu ,0.9^2)$、容量为 $9$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{X}=5$，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间为 ______。

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答案：

$$(4.412,5.588).$$

解析： 总体方差已知，且总体服从正态分布，因此

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为

$$\left(\bar{x}-z_{0.025}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{0.025}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right).$$

代入 $\bar{x}=5$、$\sigma =0.9$、$n=9$、$z_{0.025}=1.96$，得

$$\begin{array}{rl}\mu & \in \left(5-1.96\frac{0.9}{3},5+1.96\frac{0.9}{3}\right)\\ & =(5-0.588,5+0.588)\\ & =(4.412,5.588).\end{array}$$

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3. 【2003-1-4 分】 已知一批零件的长度 $X$（单位：cm）服从正态分布 $N(\mu ,1)$，从中随机地抽取 $16$ 个零件，得到长度的平均值为 $40\text{ cm}$，则 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间是 ______。（注：标准正态分布函数值 $\Phi (1.96)=0.975$，$\Phi (1.645)=0.95$。）

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答案：

$$(39.51,40.49).$$

解析： 由题意，总体方差已知为 ${\sigma }^2=1$，故 $\sigma =1$。置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为

$$\left(\bar{x}-z_{0.025}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{0.025}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right).$$

代入 $\bar{x}=40$、$n=16$、$z_{0.025}=1.96$，得

$$\begin{array}{rl}\mu & \in \left(40-1.96\frac{1}{4},40+1.96\frac{1}{4}\right)\\ & =(40-0.49,40+0.49)\\ & =(39.51,40.49).\end{array}$$

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4. 【2005-3-4 分】 设一批零件的长度服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu ,{\sigma }^2$ 均未知。现从中随机抽取 $16$ 个零件，测得样本均值 $\bar{x}=20\text{ cm}$，样本标准差 $s=1\text{ cm}$，则 $\mu$ 的置信度为 $0.90$ 的置信区间是（ ）

A. $\left(20-\frac{1}{4}{t}_{0.05}(16),20+\frac{1}{4}{t}_{0.05}(16)\right)$

B. $\left(20-\frac{1}{4}{t}_{0.1}(16),20+\frac{1}{4}{t}_{0.1}(16)\right)$

C. $\left(20-\frac{1}{4}{t}_{0.05}(15),20+\frac{1}{4}{t}_{0.05}(15)\right)$

D. $\left(20-\frac{1}{4}{t}_{0.1}(15),20+\frac{1}{4}{t}_{0.1}(15)\right)$

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答案： C

解析： 总体为正态分布，但总体方差未知，因此使用统计量

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1).$$

置信度为 $1-\alpha =0.90$，故

$$\alpha =0.10,\frac{\alpha }{2}=\mathrm{0.05.}$$

样本容量 $n=16$，自由度为

$$n-1=15.$$

于是 $\mu$ 的双侧置信区间为

$$\left(\bar{x}-t_{0.05}(15)\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{x}+t_{0.05}(15)\frac{s}{\sqrt{n}}\right).$$

代入 $\bar{x}=20$、$s=1$、$\sqrt{n}=4$，得到

$$\left(20-\frac{1}{4}{t}_{0.05}(15),20+\frac{1}{4}{t}_{0.05}(15)\right).$$

故选 C。A 的自由度错误；B、D 使用了单侧概率 $0.1$，没有将双侧显著性水平平均分配到两端。

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5. 【2016-1-4 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{X}=9.5$，参数 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 $10.8$，则 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为 ______。

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答案：

$$(8.2,10.8).$$

解析： 正态总体均值的双侧置信区间均以样本均值 $\bar{X}$ 为中心，具有形式

$$(\bar{X}-d,\bar{X}+d).$$

已知上限为 $10.8$，故半区间长度为

$$d=10.8-9.5=\mathrm{1.3.}$$

因此下限为

$$9.5-1.3=\mathrm{8.2.}$$

故置信区间为

$$(8.2,10.8).$$

大题

1. 【2000-3-8 分】 假设 $0.50,1.25,0.80,2.00$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本值。已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布 $N(\mu ,1)$。

（1）求 $X$ 的数学期望 $EX$（记 $EX$ 为 $b$）；

（2）求 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间。

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答案： （1）

$$b=E(X)=e^{\mu +\frac{1}{2}};$$

（2）

$$(-0.98,0.98).$$

解析： （1）因为 $Y=\ln X\sim N(\mu ,1)$，所以

$$X=e^Y.$$

正态随机变量的矩母函数满足

$$E(e^{tY})=\exp \left(\mu t+\frac{1}{2}{t}^2\right).$$

取 $t=1$，得

$$b=E(X)=E(e^Y)=e^{\mu +\frac{1}{2}}.$$

（2）令

$$Y_i=\ln X_i,i=1,2,3,4.$$

则 $Y_1,Y_2,Y_3,Y_4$ 是来自 $N(\mu ,1)$ 的简单随机样本。样本均值为

$$\begin{array}{rl}\bar{y}& =\frac{1}{4}\left(\ln 0.50+\ln 1.25+\ln 0.80+\ln 2.00\right)\\ & =\frac{1}{4}\ln (0.50\times 1.25\times 0.80\times 2.00)\\ & =\frac{1}{4}\ln 1\\ & =0.\end{array}$$

由于总体方差已知为 $1$，故

$$\frac{\bar{Y}-\mu }{1/\sqrt{4}}\sim N(0,1).$$

置信度为 $0.95$ 时，$z_{0.025}=1.96$，所以 $\mu$ 的置信区间为

$$\begin{array}{rl}\left(\bar{y}-1.96\frac{1}{\sqrt{4}},\bar{y}+1.96\frac{1}{\sqrt{4}}\right)& =\left(-\frac{1.96}{2},\frac{1.96}{2}\right)\\ & =(-0.98,0.98).\end{array}$$