7.2 抽样分布

小题

1. 【1997-3-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N(0,3^2)$，而 $X_1,\cdots ,X_9$ 和 $Y_1,\cdots ,Y_9$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，则统计量

$$U=\frac{X_1+\cdots +X_9}{\sqrt{Y_1^2+\cdots +Y_9^2}}$$

服从_____分布，参数为_____。

查看答案与解析

答案： $t$ 分布，自由度为 $9$，即 $U\sim t(9)$。

解析： 由于 $X_i\sim N(0,9)$，故

$$Z=\frac{X_1+\cdots +X_9}{9}\sim N(0,1).$$

同时，由 $Y_i\sim N(0,9)$，得

$$V=\sum _{i=1}^9{\left(\frac{Y_i}{3}\right)}^2=\frac{Y_1^2+\cdots +Y_9^2}{9}\sim {\chi }^2(9).$$

两组样本相互独立，所以 $Z$ 与 $V$ 相互独立。于是

$$\begin{array}{rl}U& =\frac{9Z}{3\sqrt{V}}=\frac{Z}{\sqrt{V/9}}.\end{array}$$

根据 $t$ 分布的定义，$U\sim t(9)$。

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2. 【1998-3-3 分】 设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 是来自正态总体 $N(0,2^2)$ 的简单随机样本，

$$T=a(X_1-2X_2{)}^2+b(3X_3-4X_4{)}^2,$$

则当 $a=$_____，$b=$时，统计量 $T$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，其自由度为。

查看答案与解析

答案： $a=\frac{1}{20}$，$b=\frac{1}{100}$，自由度为 $2$。

解析： 因为 $X_i\sim N(0,4)$ 且相互独立，所以

$$X_1-2X_2\sim N\left(0,4+4\cdot 4\right)=N(0,20),$$

从而

$$\frac{(X_1-2X_2{)}^2}{20}\sim {\chi }^2(1).$$

同理，

$$3X_3-4X_4\sim N\left(0,9\cdot 4+16\cdot 4\right)=N(0,100),$$

故

$$\frac{(3X_3-4X_4{)}^2}{100}\sim {\chi }^2(1).$$

上述两个随机变量分别由两组互不相交的样本构成，因而相互独立。取

$$a=\frac{1}{20},b=\frac{1}{100},$$

则 $T$ 是两个相互独立的 ${\chi }^2(1)$ 随机变量之和，因此

$$T\sim {\chi }^2(2).$$

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3. 【2001-3-3 分】 设总体 $X$ 服从正态分布 $N(0,2^2)$，而 $X_1,X_2,\cdots ,X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量

$$Y=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{2(X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2)}$$

服从_____分布，参数为_____。

查看答案与解析

答案： $F$ 分布，参数为 $(10,5)$，即 $Y\sim F(10,5)$。

解析： 由于 $X_i/2\sim N(0,1)$，故

$$U=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{4}\sim {\chi }^2(10),$$$$V=\frac{X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2}{4}\sim {\chi }^2(5).$$

并且 $U,V$ 相互独立。将原统计量化为

$$\begin{array}{rl}Y& =\frac{4U}{2\cdot 4V}=\frac{U}{2V}\\ & =\frac{U/10}{V/5}.\end{array}$$

根据 $F$ 分布的定义，得到

$$Y\sim F(10,5).$$

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4. 【2002-3-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则（ ）。

A. $X+Y$ 服从正态分布    B. $X^2+Y^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布

C. $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 ${\chi }^2$ 分布    D. $\frac{X^2}{Y^2}$ 服从 $F$ 分布

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答案： C。

解析： 只要 $X\sim N(0,1)$，就必有

$$X^2\sim {\chi }^2(1).$$

同理，$Y^2\sim {\chi }^2(1)$，因此 C 必然正确。

题目只说明 $X,Y$ 各自服从标准正态分布，并未说明二者相互独立。A 要保证 $X+Y$ 为正态分布，通常还需二者联合正态；B 要使平方和服从 ${\chi }^2(2)$，需 $X,Y$ 相互独立；D 要使平方之比服从 $F(1,1)$，同样需要独立性。因此 A、B、D 均不能由题设必然推出。

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5. 【2003-1-4 分】 已知一批零件的长度 $X$（单位：cm）服从正态分布 $N(\mu ,1)$，从中随机地抽取 $16$ 个零件，得到长度的平均值为 $40\mathrm{cm}$，则 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间是_____。（注：标准正态分布函数值 $\Phi (1.96)=0.975$，$\Phi (1.645)=0.95$。）

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答案： $(39.51,40.49)$。

解析： 总体方差已知为 ${\sigma }^2=1$，样本容量 $n=16$，样本均值 $\bar{X}=40$。正态总体均值在方差已知时的双侧置信度 $1-\alpha =0.95$ 的置信区间为

$$\left(\bar{X}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right).$$

这里 $\alpha =0.05$，且 $z_{0.025}=1.96$，故

$$40\pm 1.96\times \frac{1}{4}=40\pm \mathrm{0.49.}$$

因此置信区间为

$$(39.51,40.49).$$

$1.645$ 对应的是单侧 $95\%$ 分位点，不应用于本题的双侧置信区间。

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6. 【2012-3-4 分】 设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 为来自总体 $N(1,{\sigma }^2)(\sigma >0)$ 的简单随机样本，则统计量

$$\frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}$$

的分布为（ ）。

A. $N(0,1)$    B. $t(1)$    C. ${\chi }^2(1)$    D. $F(1,1)$

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答案： B。

解析： 由独立正态变量的线性组合性质，

$$X_1-X_2\sim N(0,2{\sigma }^2),$$$$X_3+X_4-2\sim N(0,2{\sigma }^2).$$

令

$$Z_1=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma },Z_2=\frac{X_3+X_4-2}{\sqrt{2}\sigma },$$

则 $Z_1,Z_2$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$。故

$$\frac{X_1-X_2}{|X_3+X_4-2|}=\frac{Z_1}{|Z_2|}=\frac{Z_1}{\sqrt{Z_2^2/1}}.$$

又 $Z_2^2\sim {\chi }^2(1)$，所以该统计量服从自由度为 $1$ 的 $t$ 分布，即选择 B。

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7. 【2013-1-4 分】 设随机变量 $X\sim t(n)$，$Y\sim F(1,n)$，给定 $\alpha (0<\alpha <0.5)$，常数 $c$ 满足 $P\{X>c\}=\alpha$，则 $P\{Y>c^2\}=$（ ）。

A. $\alpha$    B. $1-\alpha$    C. $2\alpha$    D. $1-2\alpha$

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答案： C。

解析： 若 $X\sim t(n)$，则

$$X^2\sim F(1,n).$$

因此 $Y$ 与 $X^2$ 同分布。又因 $0<\alpha <0.5$，由 $t$ 分布关于原点对称可知 $c>0$。于是

$$\begin{array}{rl}P\{Y>c^2\}& =P\{X^2>c^2\}\\ & =P\{|X|>c\}\\ & =P\{X>c\}+P\{X<-c\}\\ & =2\alpha .\end{array}$$

故选择 C。

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8. 【2014-3-4 分】 设 $X_1,X_2,X_3$ 为来自正态总体 $N(0,{\sigma }^2)$ 的简单随机样本，则统计量

$$S=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}|X_3|}$$

服从的分布为（ ）。

A. $F(1,1)$    B. $F(2,1)$    C. $t(1)$    D. $t(2)$

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答案： C。

解析： 有

$$Z=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1),$$

而

$$V=\frac{X_3^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(1).$$

由于 $X_1,X_2$ 与 $X_3$ 相互独立，故 $Z$ 与 $V$ 相互独立。于是

$$S=\frac{Z}{|X_3|/\sigma }=\frac{Z}{\sqrt{V/1}}\sim t(1).$$

因此选择 C。若对 $S$ 再平方，才有 $S^2\sim F(1,1)$，故 A 不是本题答案。

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9. 【2017-13-4 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n(n\ge 2)$ 为来自总体 $N(\mu ,1)$ 的简单随机样本，记

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,$$

则下列结论中不正确的是（ ）。

A. $\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布    B. $2(X_n-X_1{)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布

C. $\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布    D. $n(\bar{X}-\mu {)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布

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答案： B。

解析： 逐项判断：

A 中，$X_i-\mu \sim N(0,1)$ 且相互独立，所以

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n),$$

A 正确。

由于

$$X_n-X_1\sim N(0,2),$$

故正确的标准化形式应为

$$\frac{(X_n-X_1{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(1),$$

而不是 $2(X_n-X_1{)}^2\sim {\chi }^2$，所以 B 错误。

C 中，由正态总体样本方差的分布，

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1),$$

C 正确。

D 中，$\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )\sim N(0,1)$，从而

$$n(\bar{X}-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(1),$$

D 正确。因此不正确的是 B。