5.4 应用问题

大题

1. 【1994-45-8 分】 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 $X$（毫米）服从正态分布 $N(\mu ,1)$，内径小于 $10$ 或大于 $12$ 的为不合格品，其余为合格品。已知销售利润 $T$（单位：元）与零件内径 $X$ 有如下关系：

$$T=\{\begin{array}{ll}-1,& X<10,\\ 20,& 10\le X\le 12,\\ -5,& X>12.\end{array}$$

问平均内径 $\mu$ 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

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答案：

$$\mu =11-\frac{1}{2}\ln \frac{25}{21}.$$

解析： 设 $\Phi (x)$ 和 $\phi (x)$ 分别为标准正态分布的分布函数和概率密度。由于 $X\sim N(\mu ,1)$，有

$$P(X<10)=\Phi (10-\mu ),$$$$P(10\le X\le 12)=\Phi (12-\mu )-\Phi (10-\mu ),$$$$P(X>12)=1-\Phi (12-\mu ).$$

因此平均利润为

$$\begin{array}{rl}g(\mu )=E(T)& =-\Phi (10-\mu )\\ & +20[\Phi (12-\mu )-\Phi (10-\mu )]\\ & -5[1-\Phi (12-\mu )]\\ & =25\Phi (12-\mu )-21\Phi (10-\mu )-5.\end{array}$$

求导得

$$g^{\prime }(\mu )=21\phi (10-\mu )-25\phi (12-\mu ).$$

令 $g^{\prime }(\mu )=0$，则

$$21\phi (10-\mu )=25\phi (12-\mu ).$$

利用标准正态密度公式，得

$$21e^{-\frac{(10-\mu {)}^2}{2}}=25e^{-\frac{(12-\mu {)}^2}{2}}.$$

两边取对数并整理：

$$\begin{array}{rl}\frac{(12-\mu {)}^2-(10-\mu {)}^2}{2}& =\ln \frac{25}{21},\\ 22-2\mu & =\ln \frac{25}{21}.\end{array}$$

所以唯一驻点为

$${\mu }_0=11-\frac{1}{2}\ln \frac{25}{21}.$$

又

$$\frac{21\phi (10-\mu )}{25\phi (12-\mu )}=\frac{21}{25}{e}^{22-2\mu }$$

随 $\mu$ 严格减小，故 $\mu <{\mu }_0$ 时 $g^{\prime }(\mu )>0$，$\mu >{\mu }_0$ 时 $g^{\prime }(\mu )<0$。因此 $g(\mu )$ 在 ${\mu }_0$ 处取得最大值。

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2. 【1996-45-7 分】 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 $0.2$，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润 $10$ 万元；发生一次故障仍可获利润 $5$ 万元；若发生两次故障，所获利润为 $0$ 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 $2$ 万元。求一周内利润的期望。

查看答案与解析

答案：

$$5.20896\text{ 万元}.$$

解析： 设一周五个工作日中发生故障的天数为 $X$。假设各天是否发生故障相互独立，则

$$X\sim B(5,0.2).$$

因此

$$P(X=0)=0.8^5=0.32768,$$$$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)(0.2)(0.8{)}^4=0.4096,$$$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(0.2{)}^2(0.8{)}^3=\mathrm{0.2048.}$$

从而

$$\begin{array}{rl}P(X\ge 3)& =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)\\ & =1-0.32768-0.4096-0.2048\\ & =\mathrm{0.05792.}\end{array}$$

设一周利润为 $Y$，单位为万元，则

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =10P(X=0)+5P(X=1)+0P(X=2)-2P(X\ge 3)\\ & =10\times 0.32768+5\times 0.4096-2\times 0.05792\\ & =\mathrm{5.20896.}\end{array}$$

故一周内利润的期望为 $5.20896$ 万元。

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3. 【1997-3-6 分】 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 $5$ 分钟、第 $25$ 分钟和第 $55$ 分钟从底层起行。假设一游客在早晨八点的第 $X$ 分钟到达底层候梯处，且 $X$ 在 $[0,60]$ 上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。

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答案：

$$\frac{35}{3}\text{ 分钟}.$$

解析： 设游客的等候时间为 $Y$。除到达时刻恰好等于电梯出发时刻的零概率情形外，等候时间可写为

$$Y=\{\begin{array}{ll}5-X,& 0\le X<5,\\ 25-X,& 5<X<25,\\ 55-X,& 25<X<55,\\ 65-X,& 55<X\le 60.\end{array}$$

其中最后一段等待的是九点零五分出发的电梯。由于 $X\sim U(0,60)$，其概率密度为 $\frac{1}{60}$，故

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =\frac{1}{60}[{\int }_0^5(5-x)dx+{\int }_5^{25}(25-x)dx\\ & +{\int }_{25}^{55}(55-x)dx+{\int }_{55}^{60}(65-x)dx]\\ & =\frac{1}{60}\left(\frac{25}{2}+200+450+\frac{75}{2}\right)\\ & =\frac{700}{60}\\ & =\frac{35}{3}.\end{array}$$

因此游客平均需要等候 $\frac{35}{3}$ 分钟。

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4. 【1997-3-6 分】 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 $5$ 的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间 $T$ 的概率密度 $f_T(t)$、数学期望和方差。

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答案：

$$f_T(t)=\{\begin{array}{ll}25t{e}^{-5t},& t>0,\\ 0,& t\le 0,\end{array}$$

$$E(T)=\frac{2}{5},D(T)=\frac{2}{25}.$$

解析： 设两台记录仪各自的无故障工作时间为 $X_1,X_2$。两台仪器依次工作，故总工作时间为

$$T=X_1+X_2.$$

其中 $X_1,X_2$ 相互独立，且均服从参数为 $5$ 的指数分布，概率密度为

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}5e^{-5x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

对 $t>0$，利用卷积公式，

$$\begin{array}{rl}{f}_T(t)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X_1}(x)f_{X_2}(t-x)dx\\ & ={\int }_0^{t}5e^{-5x}\cdot 5e^{-5(t-x)}dx\\ & =25e^{-5t}{\int }_0^{t}dx\\ & =25t{e}^{-5t}.\end{array}$$

因此

$$f_T(t)=\{\begin{array}{ll}25t{e}^{-5t},& t>0,\\ 0,& t\le 0.\end{array}$$

又指数分布 $Exp(5)$ 的数学期望与方差分别为

$$E(X_i)=\frac{1}{5},D(X_i)=\frac{1}{25}.$$

由独立性，

$$E(T)=E(X_1)+E(X_2)=\frac{2}{5},$$$$D(T)=D(X_1)+D(X_2)=\frac{2}{25}.$$

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5. 【1998-4-8 分】 某种商品每周的需求量 $X$ 是服从区间 $[10,30]$ 上均匀分布的随机变量，而经销商进货数量为区间 $[10,30]$ 中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利 $500$ 元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损 $100$ 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利 $300$ 元。为使商品所获利润的期望值不小于 $9280$ 元，试确定最少进货量。

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答案： 最少进货量为 $21$ 单位。

解析： 设进货量为整数 $q$，其中 $10\le q\le 30$；每周利润为 $Y$。由于 $X\sim U[10,30]$，其概率密度为

$$f_X(x)=\frac{1}{20},10\le x\le 30.$$

当 $10\le x\le q$ 时，需求量不超过进货量。销售 $x$ 单位获利 $500x$ 元，剩余 $q-x$ 单位削价处理共亏损 $100(q-x)$ 元，故

$$Y=500x-100(q-x)=600x-100q.$$

当 $q<x\le 30$ 时，先销售库存中的 $q$ 单位，每单位获利 $500$ 元；短缺的 $x-q$ 单位由外部调剂，每单位获利 $300$ 元，故

$$Y=500q+300(x-q)=300x+200q.$$

因此

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =\frac{1}{20}\left[{\int }_{10}^q(600x-100q)dx+{\int }_q^{30}(300x+200q)dx\right]\\ & =\frac{1}{20}\left(105000+7000q-150q^2\right)\\ & =5250+350q-\frac{15}{2}{q}^2.\end{array}$$

要求

$$5250+350q-\frac{15}{2}{q}^2\ge 9280,$$

等价于

$$15q^2-700q+8060\le 0.$$

因

$$15q^2-700q+8060=15\left(q-\frac{62}{3}\right)(q-26),$$

故

$$\frac{62}{3}\le q\le 26.$$

又 $q$ 必须为整数，所以满足条件的最小整数为

$$q=21.$$

检验相邻整数：

$$E(Y){|}_{q=20}=9250<9280,$$$$E(Y){|}_{q=21}=9292.5\ge 9280.$$

因此最少进货量为 $21$ 单位。

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6. 【1998-3-8 分】 一商店经销某种商品，每周进货的数量 $X$ 与顾客对该种商品的需求量 $Y$ 是相互独立的随机变量，且都服从区间 $[10,20]$ 上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 $1000$ 元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 $500$ 元。试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。

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答案：

$$E(Z)=\frac{42500}{3}\text{ 元}\approx 14166.67\text{ 元}.$$

解析： 设每周利润为 $Z$。由于 $X,Y$ 相互独立且均服从 $U[10,20]$，联合概率密度为

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{100},10\le x\le 20,10\le y\le 20.$$

当 $y\le x$ 时，进货量足以满足需求，利润为

$$Z=1000y.$$

当 $y>x$ 时，库存中的 $x$ 单位每单位获利 $1000$ 元，超出库存的 $y-x$ 单位由其他商店调剂，每单位获利 $500$ 元，故

$$Z=1000x+500(y-x)=500x+500y.$$

于是

$$\begin{array}{rl}E(Z)& =\frac{1}{100}\left[{\int }_{10}^{20}{\int }_{10}^{x}1000ydydx+{\int }_{10}^{20}{\int }_x^{20}(500x+500y)dydx\right].\end{array}$$

第一部分为

$$\begin{array}{rl}{\int }_{10}^{20}{\int }_{10}^{x}1000ydydx& ={\int }_{10}^{20}500(x^2-100)dx\\ & =\frac{2000000}{3}.\end{array}$$

第二部分为

$$\begin{array}{rl}{\int }_{10}^{20}{\int }_x^{20}(500x+500y)dydx& ={\int }_{10}^{20}\left(10000x+100000-750x^2\right)dx\\ & =\frac{2250000}{3}.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}E(Z)& =\frac{1}{100}\left(\frac{2000000}{3}+\frac{2250000}{3}\right)\\ & =\frac{42500}{3}\text{ 元}.\end{array}$$

故该商店每周所得利润的期望值为 $\frac{42500}{3}$ 元，约为 $14166.67$ 元。

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7. 【2008-4-11 分】 设某企业线上产品的合格率为 $0.96$，不合格品中只有 $\frac{3}{4}$ 的产品可进行再加工，且再加工的合格率为 $0.8$，其余均为废品。已知每件合格产品可获利 $80$ 元，每件废品亏损 $20$ 元。为保证该企业每天平均利润不低于 $2$ 万元，问该企业每天至少应生产多少件产品？

查看答案与解析

答案： 每天至少应生产 $256$ 件产品。

解析： 任取一件产品。它直接成为合格品的概率为

$$\mathrm{0.96.}$$

产品初次不合格的概率为 $0.04$。其中可再加工且再加工后合格的概率为

$$0.04\times \frac{3}{4}\times 0.8=\mathrm{0.024.}$$

因此一件产品最终成为合格品的概率为

$$p=0.96+0.024=\mathrm{0.984.}$$

相应地，最终成为废品的概率为

$$1-p=\mathrm{0.016.}$$

设一件产品带来的利润为 $Y$，则

$$Y=\{\begin{array}{ll}80,& \text{产品最终合格},\\ -20,& \text{产品最终成为废品}.\end{array}$$

所以每件产品的平均利润为

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =80\times 0.984-20\times 0.016\\ & =78.72-0.32\\ & =78.4\text{ 元}.\end{array}$$

设企业每天生产 $n$ 件产品，则每天平均利润为 $78.4n$ 元。要求

$$78.4n\ge 20000,$$

即

$$n\ge \frac{20000}{78.4}=\frac{12500}{49}\approx \mathrm{255.10.}$$

由于 $n$ 为整数，故最小取值为

$$n=256.$$

因此企业每天至少应生产 $256$ 件产品。