5.1 运用基本概念计算数字特征｜小题与大题

小题

1. 【2000-34-3 分】 设随机变量 $X$ 在区间 $[-1,2]$ 上服从均匀分布，随机变量

$$Y=\{\begin{array}{ll}1,& X>0,\\ 0,& X=0,\\ -1,& X<0,\end{array}$$

则方差 $D(Y)=$

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答案： $\frac{8}{9}$。

解析： 由于 $X\sim U[-1,2]$，且连续型随机变量在单点取值的概率为零，所以

$$P(Y=-1)=P(X<0)=\frac{1}{3},P(Y=1)=P(X>0)=\frac{2}{3}.$$

于是

$$E(Y)=-1\times \frac{1}{3}+1\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3},$$$$E(Y^2)=1^2\times \frac{1}{3}+1^2\times \frac{2}{3}=1.$$

故

$$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y){]}^2=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}.$$

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2. 【2017-3-4 分】 设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=-2\}=\frac{1}{2}$，$P\{X=1\}=a$，$P\{X=3\}=b$，若 $EX=0$，则 $DX=$

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答案： $\frac{9}{2}$。

解析： 由概率之和为 $1$，得

$$a+b=\frac{1}{2}.$$

又由 $EX=0$，得

$$-2\times \frac{1}{2}+a+3b=0,$$

即

$$a+3b=1.$$

联立解得

$$a=b=\frac{1}{4}.$$

因此

$$E(X^2)=4\times \frac{1}{2}+1\times \frac{1}{4}+9\times \frac{1}{4}=\frac{9}{2}.$$

由于 $EX=0$，故

$$DX=E(X^2)-(EX{)}^2=\frac{9}{2}.$$

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3. 【2020-3-4 分】 随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^k}$，$k=1,2,3,\cdots$，$Y$ 表示 $X$ 被 $3$ 除所得的余数，则 $E(Y)=$

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答案： $\frac{8}{7}$。

解析： $Y$ 只能取 $0,1,2$。分别求其概率：

$$P(Y=0)=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{2^{3m}}=\frac{1/8}{1-1/8}=\frac{1}{7},$$$$P(Y=1)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{1}{2^{3m+1}}=\frac{1/2}{1-1/8}=\frac{4}{7},$$$$P(Y=2)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{1}{2^{3m+2}}=\frac{1/4}{1-1/8}=\frac{2}{7}.$$

所以

$$E(Y)=0\times \frac{1}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}=\frac{8}{7}.$$

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4. 【1987-1-2 分】 已知连续随机变量 $X$ 的密度为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2+2x-1}$，则 $X$ 的数学期望为_____；$X$ 的方差为_____。

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答案： $EX=1$，$DX=\frac{1}{2}$。

解析： 将指数配方：

$$-x^2+2x-1=-(x-1{)}^2.$$

故

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-(x-1{)}^2}.$$

与正态分布密度

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left[-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right]$$

比较可得

$$\mu =1,2{\sigma }^2=1.$$

因此

$$EX=1,DX={\sigma }^2=\frac{1}{2}.$$

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5. 【1987-4-4 分】 已知随机变量 $Y$ 的概率密度为

$$f(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{y}{a^2}{e}^{-\frac{y^2}{2a^2}},& y\ge 0,\\ 0,& y<0,\end{array}$$

随机变量 $Z=\frac{1}{Y}$ 的数学期望 $EZ=$

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答案： $\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi }{2}}$（其中 $a>0$）。

解析： 由随机变量函数的期望公式，

$$EZ=E\left(\frac{1}{Y}\right)={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{y}\cdot \frac{y}{a^2}{e}^{-\frac{y^2}{2a^2}}dy=\frac{1}{a^2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\frac{y^2}{2a^2}}dy.$$

令 $u=\frac{y}{\sqrt{2}a}$，则 $dy=\sqrt{2}adu$，故

$$EZ=\frac{\sqrt{2}}{a}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-u^2}du=\frac{\sqrt{2}}{a}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

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6. 【1992-1-3 分】 设随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，则数学期望 $E\{X+e^{-2X}\}=$

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答案： $\frac{4}{3}$。

解析： 由期望的线性性质，

$$E\{X+e^{-2X}\}=EX+E(e^{-2X}).$$

因为 $X\sim E(1)$，所以 $EX=1$，且

$$E(e^{-2X})={\int }_0^{+\infty }{e}^{-2x}{e}^{-x}dx={\int }_0^{+\infty }{e}^{-3x}dx=\frac{1}{3}.$$

故

$$E\{X+e^{-2X}\}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.$$

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7. 【1995-5-3 分】 设 $X$ 是一个随机变量，其概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x,& -1\le x\le 0,\\ 1-x,& 0<x\le 1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

则方差 $D(X)=$

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答案： $\frac{1}{6}$。

解析： 密度函数关于原点对称，即 $f(-x)=f(x)$，故 $EX=0$。

于是

$$DX=E(X^2)=2{\int }_0^1{x}^2(1-x)dx.$$

计算得

$$DX=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{6}.$$

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8. 【2009-1-4 分】 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.3\Phi (x)+0.7\Phi \left(\frac{x-1}{2}\right)$，其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的分布函数，则 $E(X)=$( )

A. $0$    B. $0.3$    C. $0.7$    D. $1$

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答案： C，$E(X)=0.7$。

解析： 该分布是两个正态分布的混合分布：以概率 $0.3$ 取自 $N(0,1)$，以概率 $0.7$ 取自 $N(1,4)$。因此

$$EX=0.3\times 0+0.7\times 1=\mathrm{0.7.}$$

A 忽略了第二个正态分量的均值；B 把第一项的混合权重误当作期望；D 忽略了混合权重。

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9. 【2002-4-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布为

$X\backslash Y$	$0$	$1$	$2$
$0$	$0.07$	$0.18$	$0.15$
$1$	$0.08$	$0.32$	$0.20$

则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho =$

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答案： $0$。

解析： 先求边缘数字特征：

$$P(X=1)=0.08+0.32+0.20=0.60,$$

故

$$EX=0.6,DX=0.6-0.6^2=\mathrm{0.24.}$$

又

$$P(Y=0)=0.15,P(Y=1)=0.50,P(Y=2)=0.35,$$

所以

$$EY=0.5+2\times 0.35=1.2,$$$$E(Y^2)=0.5+4\times 0.35=1.9,$$$$DY=1.9-1.2^2=\mathrm{0.46.}$$

再求

$$E(XY)=1\times 1\times 0.32+1\times 2\times 0.20=\mathrm{0.72.}$$

因此

$$Cov(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY=0.72-0.6\times 1.2=0.$$

由于 $DX>0,DY>0$，故

$$\rho =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DXDY}}=0.$$

注意：相关系数为零只说明 $X,Y$ 不相关，并不能一般性地推出独立。

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10. 【2002-3-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布为

$X\backslash Y$	$-1$	$0$	$1$
$0$	$0.07$	$0.18$	$0.15$
$1$	$0.08$	$0.32$	$0.20$

则 $X^2$ 和 $Y^2$ 的协方差 $Cov(X^2,Y^2)=$

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答案： $-\frac{1}{50}$。

解析： 由于 $X\in \{0,1\}$，所以 $X^2=X$。又因为 $Y\in \{-1,0,1\}$，所以当 $Y=\pm 1$ 时 $Y^2=1$，当 $Y=0$ 时 $Y^2=0$。

有

$$E(X^2)=P(X=1)=0.60,$$$$E(Y^2)=P(Y=-1)+P(Y=1)=0.15+0.35=\mathrm{0.50.}$$

而

$$E(X^2{Y}^2)=P(X=1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)=0.08+0.20=\mathrm{0.28.}$$

因此

$$Cov(X^2,Y^2)=0.28-0.60\times 0.50=-0.02=-\frac{1}{50}.$$

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11. 【2024-1-5 分】 设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(1-x),& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

在 $X=x(0<x<1)$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从区间 $(x,1)$ 上的均匀分布，则 $Cov(X,Y)=$( )

A. $-\frac{1}{36}$    B. $-\frac{1}{72}$    C. $\frac{1}{72}$    D. $\frac{1}{36}$

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答案： D，$Cov(X,Y)=\frac{1}{36}$。

解析： 在给定 $X=x$ 时，$Y\mid X=x\sim U(x,1)$，故

$$E(Y\mid X=x)=\frac{x+1}{2}.$$

先求 $X$ 的前两阶矩：

$$EX={\int }_0^{1}2x(1-x)dx=\frac{1}{3},$$$$E(X^2)={\int }_0^{1}2x^2(1-x)dx=\frac{1}{6}.$$

由全期望公式，

$$EY=E[E(Y\mid X)]=E\left(\frac{X+1}{2}\right)=\frac{2}{3}.$$

同时

$$E(XY)=E[XE(Y\mid X)]=E\left[\frac{X(X+1)}{2}\right]=\frac{1}{2}\left[E(X^2)+EX\right]=\frac{1}{4}.$$

因此

$$Cov(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{36}.$$

A、B 的符号错误；C 的数值少了一半。

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12. 【2016-1-4 分】 随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_1,A_2,A_3$，且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$。将试验 $E$ 独立重复做 $2$ 次，$X$ 表示 $2$ 次试验中结果 $A_1$ 发生的次数，$Y$ 表示 $2$ 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为( )

A. $-\frac{1}{2}$    B. $-\frac{1}{3}$    C. $\frac{1}{3}$    D. $\frac{1}{2}$

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答案： A，$-\frac{1}{2}$。

解析： $(X,Y)$ 是参数为 $n=2$、$p_1=p_2=p_3=\frac{1}{3}$ 的多项分布中的两个分量。多项分布有

$$DX=n{p}_1(1-p_1)=2\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9},$$$$DY=\frac{4}{9},$$$$Cov(X,Y)=-n{p}_1{p}_2=-2\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=-\frac{2}{9}.$$

故

$${\rho }_{XY}=\frac{-2/9}{\sqrt{(4/9)(4/9)}}=-\frac{1}{2}.$$

负相关的原因是：每次试验中 $A_1$ 与 $A_2$ 不能同时发生。

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13. 【2021-13-5 分】 甲、乙两个盒子中各装有 $2$ 个红球和 $2$ 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令 $X,Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为_____。

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答案： $\frac{1}{5}$。

解析： $X,Y$ 均为示性变量。显然

$$P(X=1)=\frac{1}{2}.$$

若 $X=1$，乙盒中有 $3$ 红 $2$ 白，故

$$P(Y=1\mid X=1)=\frac{3}{5}.$$

若 $X=0$，乙盒中有 $2$ 红 $3$ 白，故

$$P(Y=1\mid X=0)=\frac{2}{5}.$$

于是

$$P(Y=1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{2}.$$

所以

$$EX=EY=\frac{1}{2},DX=DY=\frac{1}{4}.$$

又

$$E(XY)=P(X=1,Y=1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{10}.$$

故

$$Cov(X,Y)=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20},$$$${\rho }_{XY}=\frac{1/20}{\sqrt{(1/4)(1/4)}}=\frac{1}{5}.$$

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14. 【2019-13-4 分】 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P\{|X-Y|<1\}$( )

A. 与 $\mu$ 无关，而与 ${\sigma }^2$ 有关    B. 与 $\mu$ 有关，而与 ${\sigma }^2$ 无关

C. 与 $\mu ,{\sigma }^2$ 都有关    D. 与 $\mu ,{\sigma }^2$ 都无关

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答案： A。

解析： 由正态分布的线性组合性质，

$$X-Y\sim N(\mu -\mu ,{\sigma }^2+{\sigma }^2)=N(0,2{\sigma }^2).$$

因此

$$P(|X-Y|<1)=P\left(\left|\frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma }\right|<\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }\right)=2\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }\right)-1.$$

该概率与 $\mu$ 无关，但随 ${\sigma }^2$ 改变，故选 A。

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15. 【2020-1-4 分】 设随机变量 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上的均匀分布，$Y=\sin X$，则 $Cov(X,Y)=$

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答案： $\frac{2}{\pi }$。

解析： 由于 $X$ 的分布关于原点对称，且 $x$ 与 $\sin x$ 均为奇函数，故

$$EX=0,EY=E(\sin X)=0.$$

因此

$$Cov(X,Y)=E(X\sin X).$$

$X$ 的密度为 $\frac{1}{\pi }$，所以

$$Cov(X,Y)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}x\sin xdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx.$$

分部积分得

$${\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx={\left[-x\cos x+\sin x\right]}_0^{\pi /2}=1.$$

故

$$Cov(X,Y)=\frac{2}{\pi }.$$

大题

1. 【1987-5-8 分】 已知随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=0.2$，$P\{X=2\}=0.3$，$P\{X=3\}=0.5$。试写出 $X$ 的分布函数 $F(x)$，并求 $X$ 的数学期望与方差。

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答案：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1,\\ 0.2,& 1\le x<2,\\ 0.5,& 2\le x<3,\\ 1,& x\ge 3,\end{array}$$

$$EX=2.3,DX=\mathrm{0.61.}$$

解析： 由分布函数定义 $F(x)=P(X\le x)$，按 $X$ 的三个可能取值分段累加概率，即得上述分布函数。

数学期望为

$$EX=1\times 0.2+2\times 0.3+3\times 0.5=\mathrm{2.3.}$$

二阶原点矩为

$$E(X^2)=1^2\times 0.2+2^2\times 0.3+3^2\times 0.5=\mathrm{5.9.}$$

故方差

$$DX=E(X^2)-(EX{)}^2=5.9-2.3^2=\mathrm{0.61.}$$

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2. 【1988-5-7 分】 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。

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答案： 设废品只数为 $X$，则

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{4}{5}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{1}{45}$

$$EX=\frac{2}{9},DX=\frac{88}{405}.$$

解析： 抽取后废品被扔掉，因此属于不放回抽取。

直接取到正品时，

$$P(X=0)=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$$

先取到一只废品、再取到正品时，

$$P(X=1)=\frac{2}{10}\cdot \frac{8}{9}=\frac{8}{45}.$$

连续取出两只废品后，第三次必取到正品，故

$$P(X=2)=\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{45}.$$

因此

$$EX=0\times \frac{4}{5}+1\times \frac{8}{45}+2\times \frac{1}{45}=\frac{2}{9},$$$$E(X^2)=1\times \frac{8}{45}+4\times \frac{1}{45}=\frac{4}{15}.$$

所以

$$DX=\frac{4}{15}-{\left(\frac{2}{9}\right)}^2=\frac{88}{405}.$$

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3. 【1991-5-7 分】 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 $X$ 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。

（1）求 $X$ 的概率分布；

（2）求 $E\left(\frac{1}{1+X}\right)$。

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答案：

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

$$E\left(\frac{1}{1+X}\right)=\frac{67}{96}.$$

解析： 每个路口遇到红灯、绿灯的概率均为 $\frac{1}{2}$。

• $X=0$：第一个路口即为红灯；
• $X=1$：第一个为绿灯，第二个为红灯；
• $X=2$：前两个为绿灯，第三个为红灯；
• $X=3$：三个路口均为绿灯。

故

$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{4},P(X=2)=\frac{1}{8},P(X=3)=\frac{1}{8}.$$

于是

$$E\left(\frac{1}{1+X}\right)=1\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{8}=\frac{67}{96}.$$

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4. 【1996-1-6 分】 设 $\xi$ 和 $\eta$ 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 $P\{\xi =i\}=\frac{1}{3}$，$i=1,2,3$，又设 $X=\max \{\xi ,\eta \}$，$Y=\min \{\xi ,\eta \}$。

（1）写出二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布律；

（2）求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$。

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答案：

$X\backslash Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$\frac{1}{9}$	$0$	$0$
$2$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$0$
$3$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

$$E(X)=\frac{22}{9}.$$

解析： 由于 $X\ge Y$，所以表中 $x<y$ 的位置概率均为零。

当 $x=y=i$ 时，必须有 $\xi =\eta =i$，故概率为

$$P(X=i,Y=i)=\frac{1}{9}.$$

当 $x>y$ 时，$(\xi ,\eta )$ 可以为 $(x,y)$ 或 $(y,x)$，故

$$P(X=x,Y=y)=2\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}.$$

由联合分布得 $X$ 的边缘分布：

$$P(X=1)=\frac{1}{9},P(X=2)=\frac{3}{9},P(X=3)=\frac{5}{9}.$$

因此

$$E(X)=1\times \frac{1}{9}+2\times \frac{3}{9}+3\times \frac{5}{9}=\frac{22}{9}.$$

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5. 【2000-1-8 分】 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 $p(0<p<1)$，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 $X$，求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$。

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答案：

$$E(X)=\frac{1}{p},D(X)=\frac{1-p}{p^2}.$$

解析： 第一次停机发生在第 $k$ 个产品，意味着前 $k-1$ 个产品均合格，第 $k$ 个产品不合格。因此

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots .$$

故 $X$ 服从以 $p$ 为成功概率、取值从 $1$ 开始的几何分布。由几何分布的数字特征公式，

$$E(X)=\frac{1}{p},D(X)=\frac{1-p}{p^2}.$$

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6. 【2003-1-10 分】 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 $3$ 件合格品和 $3$ 件次品，乙箱中仅装有 $3$ 件合格品。从甲箱中任取 $3$ 件产品放入乙箱后，求：

（1）乙箱中次品件数 $X$ 的数学期望；

（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

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答案：

$$EX=\frac{3}{2},P(\text{从乙箱取到次品})=\frac{1}{4}.$$

解析： （1）$X$ 表示从甲箱抽出的 $3$ 件产品中的次品数，服从超几何分布，其参数为总体容量 $N=6$、次品数 $M=3$、抽取数 $n=3$。因此

$$EX=n\frac{M}{N}=3\times \frac{3}{6}=\frac{3}{2}.$$

也可将抽出的三件产品是否为次品分别用示性变量表示，再利用期望的可加性得到同样结果。

（2）转移后乙箱共有 $6$ 件产品，其中次品数为 $X$。在给定 $X$ 的条件下，从乙箱抽到次品的概率为

$$P(\text{次品}\mid X)=\frac{X}{6}.$$

由全概率公式或全期望公式，

$$P(\text{次品})=E\left(\frac{X}{6}\right)=\frac{EX}{6}=\frac{3/2}{6}=\frac{1}{4}.$$

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7. 【2015-13-11 分】 设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}\ln 2,& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

对 $X$ 进行独立重复地观测，直到第 $2$ 个大于 $3$ 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数。求：

（1）$Y$ 的概率分布；

（2）$E(Y)$。

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答案：

$$P(Y=k)=(k-1){\left(\frac{1}{8}\right)}^2{\left(\frac{7}{8}\right)}^{k-2},k=2,3,\cdots ,$$

$$E(Y)=16.$$

解析： 先求单次观测值大于 $3$ 的概率：

$$p=P(X>3)={\int }_3^{+\infty }{2}^{-x}\ln 2dx={\left[-2^{-x}\right]}_3^{+\infty }=\frac{1}{8}.$$

将“观测值大于 $3$”看作成功，则各次观测相互独立，成功概率为 $p=\frac{1}{8}$。

事件 $\{Y=k\}$ 表示前 $k-1$ 次中恰有一次成功，且第 $k$ 次成功。因此

$$P(Y=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{1}\right)p(1-p{)}^{k-2}p=(k-1)p^2(1-p{)}^{k-2},$$

即

$$P(Y=k)=(k-1){\left(\frac{1}{8}\right)}^2{\left(\frac{7}{8}\right)}^{k-2},k\ge 2.$$

$Y$ 服从参数为 $r=2,p=\frac{1}{8}$ 的负二项分布，故

$$E(Y)=\frac{r}{p}=\frac{2}{1/8}=16.$$

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8. 【1990-1-6 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D:0<x<1,|y|<x$ 内服从均匀分布，求关于 $X$ 的边缘概率密度函数及随机变量 $Z=2X+1$ 的方差 $D(Z)$。

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答案：

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

$$D(Z)=\frac{2}{9}.$$

解析： 区域 $D$ 的面积为

$$S_D={\int }_0^{1}2xdx=1.$$

故联合密度在 $D$ 内为 $1$，在区域外为 $0$。对固定的 $x\in (0,1)$，$y$ 的取值范围为 $-x<y<x$，所以

$$f_X(x)={\int }_{-x}^{x}1dy=2x,$$

从而得到上述边缘密度。

计算 $X$ 的前两阶矩：

$$EX={\int }_0^{1}x\cdot 2xdx=\frac{2}{3},$$$$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 2xdx=\frac{1}{2}.$$

故

$$DX=\frac{1}{2}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{18}.$$

由方差公式 $D(aX+b)=a^{2}DX$，

$$D(Z)=D(2X+1)=4DX=\frac{2}{9}.$$

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9. 【1993-5-8 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立，都在区间 $[1,3]$ 上服从均匀分布；引进事件 $A=\{X\le a\}$，$B=\{Y>a\}$。

（1）已知 $P(A\cup B)=\frac{7}{9}$，求常数 $a$；

（2）求 $\frac{1}{X}$ 的数学期望。

查看答案与解析

答案：

$$a=\frac{5}{3}\text{或}a=\frac{7}{3},$$

$$E\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{2}\ln 3.$$

解析： （1）当 $1\le a\le 3$ 时，

$$P(A)=\frac{a-1}{2},P(B)=\frac{3-a}{2}.$$

由于 $X,Y$ 独立，事件 $A,B$ 也独立，故

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).$$

注意到 $P(A)+P(B)=1$，所以

$$1-\frac{(a-1)(3-a)}{4}=\frac{7}{9}.$$

整理得

$$(a-1)(3-a)=\frac{8}{9}.$$

令 $u=a-2$，则

$$(a-1)(3-a)=1-u^2,$$

故

$$1-u^2=\frac{8}{9},u=\pm \frac{1}{3}.$$

因此

$$a=2\pm \frac{1}{3}=\frac{5}{3}\text{或}\frac{7}{3}.$$

（2）$X$ 的密度为 $f_X(x)=\frac{1}{2}$，$1\le x\le 3$，故

$$E\left(\frac{1}{X}\right)={\int }_1^3\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\ln 3.$$

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10. 【1993-4-8 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 同分布，$X$ 的概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8}{x}^2,& 0<x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（1）已知事件 $A=\{X>a\}$ 和 $B=\{Y>a\}$ 独立，且 $P(A\cup B)=\frac{3}{4}$，求常数 $a$；

（2）求 $\frac{1}{X^2}$ 的数学期望。

查看答案与解析

答案：

$$a=\sqrt[3]{4},$$

$$E\left(\frac{1}{X^2}\right)=\frac{3}{4}.$$

解析： （1）由于 $X,Y$ 同分布，令

$$q=P(A)=P(B).$$

又因 $A,B$ 独立，

$$P(A\cup B)=2q-q^2=\frac{3}{4}.$$

解得 $q=\frac{1}{2}$（另一根 $\frac{3}{2}$ 不符合概率范围）。

对 $0<a<2$，

$$P(X>a)={\int }_a^2\frac{3}{8}{x}^{2}dx=1-\frac{a^3}{8}.$$

于是

$$1-\frac{a^3}{8}=\frac{1}{2},$$

从而

$$a^3=4,a=\sqrt[3]{4}.$$

（2）由随机变量函数的期望公式，

$$E\left(\frac{1}{X^2}\right)={\int }_0^2\frac{1}{x^2}\cdot \frac{3}{8}{x}^{2}dx=\frac{3}{8}{\int }_0^{2}dx=\frac{3}{4}.$$

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11. 【1989-5-8 分】 已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布为：

$(X,Y)$	$(0,0)$	$(0,1)$	$(1,0)$	$(1,1)$	$(2,0)$	$(2,1)$
$P$	$0.10$	$0.15$	$0.25$	$0.20$	$0.15$	$0.15$

求：

（1）$X$ 的概率分布；

（2）$X+Y$ 的概率分布；

（3）$Z=\sin \frac{\pi (X+Y)}{2}$ 的数学期望。

查看答案与解析

答案： （1）

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0.25$	$0.45$	$0.30$

（2）令 $S=X+Y$，则

$S$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0.10$	$0.40$	$0.35$	$0.15$

（3）

$$EZ=\frac{1}{4}.$$

解析： （1）对联合分布按 $Y$ 求和：

$$P(X=0)=0.10+0.15=0.25,$$$$P(X=1)=0.25+0.20=0.45,$$$$P(X=2)=0.15+0.15=\mathrm{0.30.}$$

（2）合并所有满足相同 $X+Y$ 值的点：

$$P(S=0)=P(0,0)=0.10,$$$$P(S=1)=P(0,1)+P(1,0)=0.15+0.25=0.40,$$$$P(S=2)=P(1,1)+P(2,0)=0.20+0.15=0.35,$$$$P(S=3)=P(2,1)=\mathrm{0.15.}$$

（3）当 $S=0,1,2,3$ 时，

$$\sin \frac{\pi S}{2}=0,1,0,-1.$$

故

$$EZ=0\times 0.10+1\times 0.40+0\times 0.35-1\times 0.15=0.25=\frac{1}{4}.$$

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12. 【1997-4-8 分】 假设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\lambda =1$ 的指数分布，随机变量

$$X_k=\{\begin{array}{ll}0,& Y\le k,\\ 1,& Y>k,\end{array}k=1,2.$$

（1）求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布；

（2）求 $E(X_1+X_2)$。

查看答案与解析

答案：

$X_1\backslash X_2$	$0$	$1$
$0$	$1-e^{-1}$	$0$
$1$	$e^{-1}-e^{-2}$	$e^{-2}$

$$E(X_1+X_2)=e^{-1}+e^{-2}.$$

解析： 由于 $X_1=I\{Y>1\}$，$X_2=I\{Y>2\}$，且 $Y>2$ 必然推出 $Y>1$，所以 $(X_1,X_2)=(0,1)$ 不可能发生。

各点概率为

$$P(X_1=0,X_2=0)=P(Y\le 1)=1-e^{-1},$$$$P(X_1=1,X_2=0)=P(1<Y\le 2)=e^{-1}-e^{-2},$$$$P(X_1=1,X_2=1)=P(Y>2)=e^{-2}.$$

利用示性变量期望公式，

$$E{X}_1=P(Y>1)=e^{-1},E{X}_2=P(Y>2)=e^{-2}.$$

因此

$$E(X_1+X_2)=E{X}_1+E{X}_2=e^{-1}+e^{-2}.$$

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13. 【1998-4-8 分】 某箱装有 $100$ 件产品，其中一、二、三等品分别为 $80$ 件、$10$ 件和 $10$ 件。现在从中随机抽取一件，记

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若抽到 }i\text{ 等品},\\ 0,& \text{其他},\end{array}i=1,2,3.$$

试求：

（1）随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的联合分布；

（2）随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的相关系数 $\rho$。

查看答案与解析

答案：

$X_1\backslash X_2$	$0$	$1$
$0$	$0.1$	$0.1$
$1$	$0.8$	$0$

$${\rho }_{X_1{X}_2}=-\frac{2}{3}.$$

解析： 一次只能抽到一个等级的产品，所以 $X_1$ 与 $X_2$ 不可能同时为 $1$。

• 抽到一等品时，$(X_1,X_2)=(1,0)$，概率为 $0.8$；
• 抽到二等品时，$(X_1,X_2)=(0,1)$，概率为 $0.1$；
• 抽到三等品时，$(X_1,X_2)=(0,0)$，概率为 $0.1$。

因此

$$E{X}_1=0.8,E{X}_2=0.1,$$$$D{X}_1=0.8(1-0.8)=0.16,$$$$D{X}_2=0.1(1-0.1)=\mathrm{0.09.}$$

又因 $X_1{X}_2\equiv 0$，故

$$E(X_1{X}_2)=0,$$$$Cov(X_1,X_2)=0-0.8\times 0.1=-\mathrm{0.08.}$$

于是

$${\rho }_{X_1{X}_2}=\frac{-0.08}{\sqrt{0.16\times 0.09}}=\frac{-0.08}{0.12}=-\frac{2}{3}.$$

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