3.4 独立性

小题

1. 【1990-4-5 分】 一电子仪器由两个部件构成，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数为

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-0.5x}-e^{-0.5y}+e^{-0.5(x+y)},& x\ge 0,y\ge 0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（1）问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？

（2）求两个部件的寿命都超过 $100$ 小时的概率 $\alpha$。

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答案： （1）$X$ 与 $Y$ 相互独立。

（2）$\alpha =e^{-0.1}$。

解析： （1）先分别求边缘分布函数。令 $y\to +\infty$，得

$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-0.5x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$$

同理，

$$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-0.5y},& y\ge 0,\\ 0,& y<0.\end{array}$$

当 $x\ge 0,y\ge 0$ 时，

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)F_Y(y)& =(1-e^{-0.5x})(1-e^{-0.5y})\\ & =1-e^{-0.5x}-e^{-0.5y}+e^{-0.5(x+y)}\\ & =F(x,y).\end{array}$$

当 $x<0$ 或 $y<0$ 时，两边也都为 $0$。因此对任意 $x,y$ 均有

$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),$$

故 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

（2）由于寿命的单位为千小时，$100$ 小时等于 $0.1$ 千小时。又由边缘分布可知

$$P\{X>t\}=e^{-0.5t},P\{Y>t\}=e^{-0.5t}(t\ge 0).$$

利用独立性，

$$\begin{array}{rl}\alpha & =P\{X>0.1,Y>0.1\}\\ & =P\{X>0.1\}P\{Y>0.1\}\\ & =e^{-0.5\times 0.1}{e}^{-0.5\times 0.1}\\ & =e^{-0.1}.\end{array}$$

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2. 【1990-4-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，其概率分布为

$X$	$-1$	$1$
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$Y$	$-1$	$1$
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

则下列式子正确的是（　）。

A. $X=Y$    B. $P\{X=Y\}=0$    C. $P\{X=Y\}=\frac{1}{2}$    D. $P\{X=Y\}=1$

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答案： C。

解析： 事件 $\{X=Y\}$ 包含两种互斥情形：$X=Y=-1$ 或 $X=Y=1$。由独立性，

$$\begin{array}{rl}P\{X=Y\}& =P\{X=-1,Y=-1\}+P\{X=1,Y=1\}\\ & =P\{X=-1\}P\{Y=-1\}+P\{X=1\}P\{Y=1\}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{2}.\end{array}$$

因此选 C。A 把随机变量相等误当成必然事件；B、D 分别把该事件概率误判为 $0$ 和 $1$。

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3. 【1997-3-3 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且同分布：

$$P\{X=-1\}=P\{Y=-1\}=\frac{1}{2},P\{X=1\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2}.$$

则下列各式成立的是（　）。

A. $P\{X=Y\}=\frac{1}{2}$    B. $P\{X=Y\}=1$    C. $P\{X+Y=0\}=\frac{1}{4}$    D. $P\{XY=1\}=\frac{1}{4}$

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答案： A。

解析： 由独立性，四种可能的取值组合

$$(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)$$

各自的概率均为 $\frac{1}{4}$。

事件 $\{X=Y\}$ 对应 $(-1,-1)$ 与 $(1,1)$，故

$$P\{X=Y\}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

所以 A 正确，B 错误。

事件 $\{X+Y=0\}$ 对应 $(-1,1)$ 与 $(1,-1)$，其概率也是 $\frac{1}{2}$，故 C 错误。

事件 $\{XY=1\}$ 等价于 $\{X=Y\}$，其概率为 $\frac{1}{2}$，故 D 错误。

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4. 【2006-13-4 分】 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，则

\displaystyle P\{\max\{X,Y\}\leq1\}= ext{______}.

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答案： $\frac{1}{9}$。

解析：

$$\{\max \{X,Y\}\le 1\}=\{X\le 1,Y\le 1\}.$$

由于 $X,Y$ 均服从 $[0,3]$ 上的均匀分布，

$$P\{X\le 1\}=P\{Y\le 1\}=\frac{1-0}{3-0}=\frac{1}{3}.$$

再由独立性，

$$P\{\max \{X,Y\}\le 1\}=P\{X\le 1\}P\{Y\le 1\}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}.$$

也可从几何角度理解：$(X,Y)$ 在正方形 $[0,3]\times [0,3]$ 上均匀分布，目标区域为 $[0,1]\times [0,1]$，面积比为 $\frac{1}{9}$。

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5. 【2012-1-4 分】 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 $1$ 与参数为 $4$ 的指数分布，则 $P\{X<Y\}=$（　）

A. $\frac{1}{5}$    B. $\frac{1}{3}$    C. $\frac{2}{3}$    D. $\frac{4}{5}$

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答案： A。

解析： 按指数分布的参数为率参数理解，有

$$f_X(x)=e^{-x},x>0,$$

且

$$P\{Y>x\}=e^{-4x},x>0.$$

利用全概率公式和独立性，

$$\begin{array}{rl}P\{X<Y\}& ={\int }_0^{+\infty }P\{Y>x\}{f}_X(x)dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }{e}^{-4x}{e}^{-x}dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }{e}^{-5x}dx\\ & =\frac{1}{5}.\end{array}$$

一般地，若 $X\sim E({\lambda }_1)$、$Y\sim E({\lambda }_2)$ 且相互独立，则

$$P\{X<Y\}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}.$$

本题代入 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=4$ 即得 $\frac{1}{5}$。

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6. 【2013-3-4 分】 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $X$ 和 $Y$ 的概率分布分别为

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
$Y$	$-1$	$0$	$1$
---	---	---	---
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

则 $P\{X+Y=2\}=$（　）

A. $\frac{1}{12}$    B. $\frac{1}{8}$    C. $\frac{1}{6}$    D. $\frac{1}{2}$

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答案： A。

解析： 由题目给出的取值，事件 $\{X+Y=2\}$ 只能由以下两种互斥情形组成：

$$(X,Y)=(1,1)\text{或}(X,Y)=(2,0).$$

利用独立性，

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y=2\}& =P\{X=1,Y=1\}+P\{X=2,Y=0\}\\ & =P\{X=1\}P\{Y=1\}+P\{X=2\}P\{Y=0\}\\ & =\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3}\\ & =\frac{1}{12}.\end{array}$$

因此选 A。题面中 $X$ 一行所列概率之和并非 $1$，应存在排版或录入缺失；但本题所求事件只用到题面明确给出的 $P\{X=1\}$ 与 $P\{X=2\}$，故按题面数据仍可唯一得到上述答案。

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7. 【2023-1-5 分】 设随机变量 $X,Y$ 相互独立，且

$$X\sim B\left(1,\frac{1}{3}\right),Y\sim B\left(2,\frac{1}{2}\right),$$

则 $P\{X=Y\}=$ ______。

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答案： $\frac{1}{3}$。

解析： $X$ 只可能取 $0,1$，故事件 $\{X=Y\}$ 为

$$\{X=0,Y=0\}\cup \{X=1,Y=1\},$$

且两事件互斥。

由二项分布，

$$P\{X=0\}=\frac{2}{3},P\{X=1\}=\frac{1}{3},$$

以及

$$P\{Y=0\}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4},P\{Y=1\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

利用独立性，

$$\begin{array}{rl}P\{X=Y\}& =P\{X=0\}P\{Y=0\}+P\{X=1\}P\{Y=1\}\\ & =\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\\ & =\frac{1}{3}.\end{array}$$

注意 $Y$ 还可能取 $2$，但 $X$ 不可能取 $2$，因此该情形不属于事件 $\{X=Y\}$。

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8. 【2024-13-5 分】 设随机变量 $X,Y$ 相互独立，且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，令

$$Z=|X-Y|,$$

则下列随机变量与 $Z$ 同分布的是（　）

A. $X+Y$    B. $\frac{X+Y}{2}$    C. $2X$    D. $X$

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答案： D。

解析： 对 $z\ge 0$，利用 $X,Y$ 独立同分布及对称性，

$$\begin{array}{rl}P\{Z>z\}& =P\{|X-Y|>z\}\\ & =P\{X>Y+z\}+P\{Y>X+z\}\\ & =2P\{X>Y+z\}.\end{array}$$

对 $Y$ 条件化，因 $X\sim E(\lambda )$，

$$\begin{array}{rl}P\{X>Y+z\}& ={\int }_0^{+\infty }P\{X>y+z\}{f}_Y(y)dy\\ & ={\int }_0^{+\infty }{e}^{-\lambda (y+z)}\lambda e^{-\lambda y}dy\\ & =\lambda e^{-\lambda z}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-2\lambda y}dy\\ & =\frac{1}{2}{e}^{-\lambda z}.\end{array}$$

所以

$$P\{Z>z\}=e^{-\lambda z},z\ge 0.$$

这正是参数为 $\lambda$ 的指数分布的生存函数。因此

$$Z\sim E(\lambda ),$$

与 $X$ 同分布，故选 D。

A 中 $X+Y$ 服从形状参数为 $2$ 的伽马分布；B、C 均会改变指数分布的率参数，因而与 $Z$ 不同分布。

大题

1. 【1999-4-8 分】 已知随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 的概率分布

$$X_1\sim \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right),X_2\sim \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right),$$

而且 $P\{X_1{X}_2=0\}=1$。

（1）求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布；

（2）问 $X_1$ 和 $X_2$ 是否独立？为什么？

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答案： （1）联合分布律为

$X_1\backslash X_2$	$0$	$1$	$P\{X_1=x_i\}$
$-1$	$\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{4}$
$0$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$1$	$\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{4}$
$P\{X_2=y_j\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$

（2）$X_1$ 与 $X_2$ 不独立。

解析： 由

$$P\{X_1{X}_2=0\}=1$$

可知联合分布只可能在 $X_1=0$ 或 $X_2=0$ 的位置取正值。

当 $X_2=1$ 时，为使 $X_1{X}_2=0$，必须有 $X_1=0$，故

$$P\{X_1=0,X_2=1\}=P\{X_2=1\}=\frac{1}{2}.$$

又因为

$$P\{X_1=0\}=\frac{1}{2},$$

所以

$$P\{X_1=0,X_2=0\}=0.$$

对于 $X_1=-1$ 与 $X_1=1$，由于它们与 $X_2=1$ 的联合概率均为零，故其全部边缘概率只能落在 $X_2=0$ 上，即

$$P\{X_1=-1,X_2=0\}=\frac{1}{4},P\{X_1=1,X_2=0\}=\frac{1}{4}.$$

由此得到上表。

判断独立性时，只需找到一组取值不满足乘法公式。例如

$$P\{X_1=0,X_2=0\}=0,$$

而

$$P\{X_1=0\}P\{X_2=0\}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$

二者不相等，所以 $X_1$ 与 $X_2$ 不独立。条件 $X_1{X}_2=0$ 几乎必然成立，实际上使两个随机变量之间产生了明显依赖关系。

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2. 【1999-1-8 分】 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，下表列出了二维随机变量 $(X,Y)$ 联合分布律及关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$P\{X=x_i\}=p_i$
$x_1$		$\frac{1}{8}$
$x_2$	$\frac{1}{8}$
$P\{Y=y_j\}=q_j$	$\frac{1}{6}$			$1$

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答案： 完整分布表为

	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$P\{X=x_i\}=p_i$
$x_1$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$
$x_2$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$
$P\{Y=y_j\}=q_j$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$1$

解析： 记

$$p_i=P\{X=x_i\},q_j=P\{Y=y_j\}.$$

由于 $X,Y$ 相互独立，有

$$P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_i{q}_j.$$

由已知

$$P\{X=x_2,Y=y_1\}=\frac{1}{8},q_1=P\{Y=y_1\}=\frac{1}{6},$$

得到

$$p_2=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{6}}=\frac{3}{4},p_1=1-p_2=\frac{1}{4}.$$

再由

$$P\{X=x_1,Y=y_2\}=\frac{1}{8}$$

得

$$q_2=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.$$

于是

$$q_3=1-q_1-q_2=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$$

其余联合概率由 $p_i{q}_j$ 逐项计算：

$$\begin{array}{rl}P\{X=x_1,Y=y_1\}& =\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{24},\\ P\{X=x_1,Y=y_3\}& =\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12},\\ P\{X=x_2,Y=y_2\}& =\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8},\\ P\{X=x_2,Y=y_3\}& =\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4}.\end{array}$$

填表后，各行之和等于相应的 $p_i$，各列之和等于相应的 $q_j$，总和为 $1$。