3.2 分布的性质

小题

1. 【2003-1-4 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6x,& 0\le x\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

则 $P\{X+Y\le 1\}=$

查看答案与解析

答案：

$$P\{X+Y\le 1\}=\frac{1}{4}.$$

解析： 联合概率密度的非零区域为

$$D=\{(x,y):0\le x\le y\le 1\}.$$

事件 $\{X+Y\le 1\}$ 对应半平面 $y\le 1-x$。将其与区域 $D$ 相交，得到

$$0\le x\le \frac{1}{2},x\le y\le 1-x.$$

其中 $x\le \frac{1}{2}$ 来自下、上限应满足

$$x\le 1-x.$$

因此

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y\le 1\}& ={\int }_0^{\frac{1}{2}}{\int }_x^{1-x}6xdydx\\ & ={\int }_0^{\frac{1}{2}}6x(1-2x)dx\\ & =\left(3x^2-4x^3\right){|}_0^{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{4}.\end{array}$$

本题关键是先结合密度的支撑区域确定积分范围。若直接在三角形 $x+y\le 1$ 上积分而忽略条件 $x\le y$，会把密度为零的区域也计入。