2.3 常见分布

小题

1. 【2025-13-5 分】 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本，令 $T=\sum _{i=1}^{20}{X}_i$，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T\le 1\}\approx$（ ）。

A. $\frac{1}{e^2}$    B. $\frac{2}{e^2}$    C. $\frac{3}{e^2}$    D. $\frac{4}{e^2}$

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答案： C

解析： 由于 $X_i\sim B(1,0.1)$ 且样本相互独立，所以

$$T=\sum _{i=1}^{20}{X}_i\sim B(20,0.1).$$

当二项分布中的 $n$ 较大、$p$ 较小时，可用参数为

$$\lambda =np=20\times 0.1=2$$

的泊松分布近似。因此

$$P\{T\le 1\}\approx P\{T=0\}+P\{T=1\}=e^{-2}+2e^{-2}=\frac{3}{e^2}.$$

故选 C。A 只计算了 $P\{T=0\}$；B、D 均未按泊松分布概率公式正确求和。

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2. 【1994-4-3 分】 设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

以 $Y$ 表示对 $X$ 的三次独立重复观察中事件 $\left\{X\le \frac{1}{2}\right\}$ 出现的次数，则 $P\{Y=2\}=$ ______。

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答案： $\frac{9}{64}$

解析： 一次观察中事件 $\left\{X\le \frac{1}{2}\right\}$ 出现的概率为

$$p=P\left\{X\le \frac{1}{2}\right\}={\int }_0^{\frac{1}{2}}2xdx={x^2|}_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}.$$

三次观察相互独立，因此事件出现次数

$$Y\sim B\left(3,\frac{1}{4}\right).$$

于是

$$P\{Y=2\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^2\left(1-\frac{1}{4}\right)=3\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{64}.$$

本题关键是先由密度积分求出单次试验的成功概率，再使用二项分布。

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3. 【1997-4-3 分】 设随机变量 $X$ 服从参数为 $(2,p)$ 的二项分布，随机变量 $Y$ 服从 $(3,p)$ 的二项分布，若 $P\{X\ge 1\}=\frac{5}{9}$，则 $P\{Y\ge 1\}=$ ______。

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答案： $\frac{19}{27}$

解析： 由 $X\sim B(2,p)$，利用对立事件可得

$$P\{X\ge 1\}=1-P\{X=0\}=1-(1-p{)}^2=\frac{5}{9}.$$

因此

$$(1-p{)}^2=\frac{4}{9}.$$

因为 $0\le p\le 1$，故 $1-p\ge 0$，从而

$$1-p=\frac{2}{3},p=\frac{1}{3}.$$

又 $Y\sim B\left(3,\frac{1}{3}\right)$，所以

$$P\{Y\ge 1\}=1-P\{Y=0\}=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{19}{27}.$$

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4. 【1988-1-2 分】 设随机变量 $X$ 服从均值为 $10$、均方差为 $0.02$ 的正态分布。已知

$$\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{u^2}{2}}du,\Phi (2.5)=0.9938,$$

则 $X$ 落在区间 $(9.95,10.05)$ 内的概率为 ______。

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答案： $0.9876$

解析： 题中的“均方差”指标准差，因此

$$X\sim N\left(10,0.02^2\right).$$

标准化得

$$P\{9.95<X<10.05\}=P\left\{\frac{9.95-10}{0.02}<\frac{X-10}{0.02}<\frac{10.05-10}{0.02}\right\}=P\{-2.5<Z<2.5\},$$

其中 $Z\sim N(0,1)$。由标准正态分布的对称性，

$$P\{-2.5<Z<2.5\}=\Phi (2.5)-\Phi (-2.5)=2\Phi (2.5)-1=2\times 0.9938-1=\mathrm{0.9876.}$$

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5. 【1991-1-3 分】 若随机变量 $X$ 服从均值为 $2$、方差为 ${\sigma }^2$ 的正态分布，且 $P\{2<X<4\}=0.3$，则 $P\{X<0\}=$ ______。

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答案： $0.2$

解析： 令

$$Z=\frac{X-2}{\sigma }\sim N(0,1).$$

由题设，

$$P\{2<X<4\}=P\left\{0<Z<\frac{2}{\sigma }\right\}=\mathrm{0.3.}$$

因此

$$\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)-\Phi (0)=0.3,$$

即

$$\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)=\mathrm{0.8.}$$

而

$$P\{X<0\}=P\left\{Z<-\frac{2}{\sigma }\right\}=\Phi \left(-\frac{2}{\sigma }\right)=1-\Phi \left(\frac{2}{\sigma }\right)=\mathrm{0.2.}$$

这里使用了标准正态分布的对称关系 $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$。

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6. 【1993-5-3 分】 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布，$X\sim N(\mu ,4^2)$，$Y\sim N(\mu ,5^2)$，记

$$p_1=P\{X\le \mu -4\},p_2=P\{Y\ge \mu +5\},$$

则（ ）。

A. 对任何实数 $\mu$ 都有 $p_1=p_2$    B. 对任何实数 $\mu$ 都有 $p_1<p_2$

C. 只对 $\mu$ 的个别值才有 $p_1=p_2$    D. 对任何实数 $\mu$ 都有 $p_1>p_2$

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答案： A

解析： 分别标准化。对 $X$，有

$$p_1=P\left\{\frac{X-\mu }{4}\le -1\right\}=\Phi (-1).$$

对 $Y$，有

$$p_2=P\left\{\frac{Y-\mu }{5}\ge 1\right\}=1-\Phi (1)=\Phi (-1).$$

故对任意实数 $\mu$，均有 $p_1=p_2$，选 A。两概率取的是各自均值左、右一倍标准差以外的对称区域，与共同均值 $\mu$ 无关，因此 B、C、D 均错误。

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7. 【1993-4-3 分】 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $\phi (x)$，且 $\phi (-x)=\phi (x)$，$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，则对任意实数 $a$ 有（ ）。

A. $F(-a)=1-{\int }_0^a\phi (x)dx$    B. $F(-a)=\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi (x)dx$

C. $F(-a)=F(a)$    D. $F(-a)=2F(a)-1$

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答案： B

解析： 由 $\phi (-x)=\phi (x)$ 可知密度函数关于原点对称，因此

$$P\{X\le 0\}=\frac{1}{2}.$$

于是

$$F(-a)={\int }_{-\infty }^{-a}\phi (x)dx.$$

令 $x=-t$，利用密度的偶对称性可得

$$F(-a)={\int }_a^{+\infty }\phi (t)dt=\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi (t)dt.$$

故选 B。等价地，也有 $F(-a)=1-F(a)$。A 少了原点左侧总概率应为 $\frac{1}{2}$ 这一事实；C 一般不成立；D 与正确对称关系不符。

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8. 【1995-45-3 分】 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则随着 $\sigma$ 的增大，概率 $P\{|X-\mu |<\sigma \}$（ ）。

A. 单调增大    B. 单调减小    C. 保持不变    D. 增减不定

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答案： C

解析： 标准化后

$$P\{|X-\mu |<\sigma \}=P\left\{\left|\frac{X-\mu }{\sigma }\right|<1\right\}=P\{|Z|<1\},$$

其中 $Z\sim N(0,1)$。右端是固定常数

$$2\Phi (1)-1,$$

与 $\sigma$ 无关，因此概率保持不变，选 C。A、B 忽略了区间宽度本身也随 $\sigma$ 同比例变化；D 也不正确。

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9. 【1998-1-4 分】 从正态总体 $N(3.4,6^2)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本，如果要求其样本均值位于区间 $(1.4,5.4)$ 内的概率不小于 $0.95$，问样本容量 $n$ 至少应取多大？

附表：

$z$	$1.28$	$1.645$	$1.96$	$2.33$
$\Phi (z)$	$0.900$	$0.950$	$0.975$	$0.990$

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答案： $n=35$

解析： 设样本均值为 $\overline{X}$。由于总体服从正态分布，故

$$\overline{X}\sim N\left(3.4,\frac{6^2}{n}\right).$$

题目要求

$$P\{1.4<\overline{X}<5.4\}=P\{|\overline{X}-3.4|<2\}\ge \mathrm{0.95.}$$

标准化得

$$P\left\{|Z|<\frac{2}{6/\sqrt{n}}\right\}=P\left\{|Z|<\frac{\sqrt{n}}{3}\right\}\ge \mathrm{0.95.}$$

由于双侧中央概率为 $0.95$ 时，临界值满足 $\Phi (1.96)=0.975$，因此必须有

$$\frac{\sqrt{n}}{3}\ge \mathrm{1.96.}$$

从而

$$n\ge (3\times 1.96{)}^2=\mathrm{34.5744.}$$

样本容量必须取正整数，所以最小值为

$$n=35.$$

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10. 【2002-1-3 分】 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$（$\sigma >0$），且二次方程

$$y^2+4y+X=0$$

无实根的概率为 $\frac{1}{2}$，则 $\mu =$ ______。

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答案： $4$

解析： 关于 $y$ 的二次方程无实根，当且仅当其判别式小于零，即

$$\Delta =4^2-4X=16-4X<0.$$

因此无实根事件等价于

$$X>4.$$

由题设

$$P\{X>4\}=\frac{1}{2}.$$

正态分布关于均值 $\mu$ 对称，且连续型随机变量在单点处概率为零，所以

$$P\{X>\mu \}=\frac{1}{2}.$$

由此可知 $4$ 必为该正态分布的均值，即

$$\mu =4.$$

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11. 【2004-134-4 分】 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$，对给定的 $\alpha (0<\alpha <1)$，数 $u_{\alpha }$ 满足 $P\{X>u_{\alpha }\}=\alpha$，若 $P\{|X|<x\}=\alpha$，则 $x=$（ ）。

A. $u_{\frac{\alpha }{2}}$    B. $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$    C. $u_{\frac{1-\alpha }{2}}$    D. $u_{1-\alpha }$

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答案： C

解析： 标准正态分布关于原点对称。由

$$P\{|X|<x\}=\alpha$$

可知区间 $(-x,x)$ 外两侧尾部概率相等，故

$$P\{X>x\}=\frac{1-\alpha }{2}.$$

而 $u_{\beta }$ 的定义是

$$P\{X>u_{\beta }\}=\beta .$$

比较可得

$$x=u_{\frac{1-\alpha }{2}}.$$

故选 C。A 对应右尾概率为 $\frac{\alpha }{2}$；B、D 所对应的右尾概率也都不等于题目要求的 $\frac{1-\alpha }{2}$。

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12. 【2006-13-4 分】 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y$ 服从正态分布 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且

$$P\{|X-{\mu }_1|<1\}>P\{|Y-{\mu }_2|<1\},$$

则必有（ ）。

A. ${\sigma }_1<{\sigma }_2$    B. ${\sigma }_1>{\sigma }_2$    C. ${\mu }_1<{\mu }_2$    D. ${\mu }_1>{\mu }_2$

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答案： A

解析： 分别标准化，有

$$P\{|X-{\mu }_1|<1\}=P\left\{|Z|<\frac{1}{{\sigma }_1}\right\}=2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)-1,$$$$P\{|Y-{\mu }_2|<1\}=P\left\{|Z|<\frac{1}{{\sigma }_2}\right\}=2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_2}\right)-1.$$

由于标准正态分布函数 $\Phi (x)$ 严格单调增加，题设不等式推出

$$\frac{1}{{\sigma }_1}>\frac{1}{{\sigma }_2}.$$

又 ${\sigma }_1,{\sigma }_2>0$，所以

$${\sigma }_1<{\sigma }_2.$$

该概率只与标准差有关，与均值无关，因此 C、D 不能由题设推出；B 与结论相反。

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13. 【2013-13-4 分】 设 $X_1,X_2,X_3$ 是随机变量，且

$$X_1\sim N(0,1^2),X_2\sim N(0,2^2),X_3\sim N(5,3^2),$$

记

$$P_i=P\{-2\le X_i\le 2\},i=1,2,3,$$

则（ ）。

A. $P_1>P_2>P_3$    B. $P_2>P_1>P_3$    C. $P_3>P_1>P_2$    D. $P_1>P_3>P_2$

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答案： A

解析： 对 $X_1$ 标准化，得

$$P_1=P\{-2\le Z\le 2\}=2\Phi (2)-1.$$

对 $X_2$ 标准化，得

$$P_2=P\{-1\le Z\le 1\}=2\Phi (1)-1.$$

显然 $P_1>P_2$。

对 $X_3$ 标准化，得

$$P_3=P\left\{-\frac{7}{3}\le Z\le -1\right\}=\Phi (-1)-\Phi \left(-\frac{7}{3}\right).$$

区间 $[-2,2]$ 位于 $X_3$ 均值 $5$ 的左侧，所取概率仅为标准正态分布左尾中一段；而

$$P_3<P\{Z\le -1\}=1-\Phi (1)<2\Phi (1)-1=P_2.$$

因此

$$P_1>P_2>P_3,$$

故选 A。

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14. 【2016-1-4 分】 设随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$（$\sigma >0$），记

$$p=P\{X\le \mu +{\sigma }^2\},$$

则（ ）。

A. $p$ 随着 $\mu$ 增加而增加    B. $p$ 随着 $\sigma$ 增加而增加

C. $p$ 随着 $\mu$ 增加而减少    D. $p$ 随着 $\sigma$ 增加而减少

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答案： B

解析： 将 $X$ 标准化：

$$p=P\left\{\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{\mu +{\sigma }^2-\mu }{\sigma }\right\}=P\{Z\le \sigma \}=\Phi (\sigma ).$$

因此 $p$ 与 $\mu$ 无关，而标准正态分布函数 $\Phi (\sigma )$ 随 $\sigma$ 严格增加，所以选 B。A、C 错在认为概率依赖于均值；D 与单调性相反。

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15. 【2018-13-4 分】 设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足

$$f(1+x)=f(1-x),$$

且

$${\int }_0^{2}f(x)dx=0.6,$$

则 $P\{X<0\}=$（ ）。

A. $0.2$    B. $0.3$    C. $0.4$    D. $0.5$

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答案： A

解析： 条件 $f(1+x)=f(1-x)$ 表明概率密度关于直线 $x=1$ 对称。因此区间 $(-\infty ,0)$ 与 $(2,+\infty )$ 关于 $x=1$ 对称，二者概率相等。

由总概率为 $1$，且

$$P\{0\le X\le 2\}={\int }_0^{2}f(x)dx=0.6,$$

可得区间外总概率为

$$P\{X<0\}+P\{X>2\}=1-0.6=\mathrm{0.4.}$$

根据对称性，两个概率各占一半，故

$$P\{X<0\}=\frac{0.4}{2}=\mathrm{0.2.}$$

故选 A。

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16. 【2024-1-5 分】 设随机变量 $X,Y$ 相互独立，且

$$X\sim N(0,2),Y\sim N(-2,2),$$

若

$$P\{2X+Y<a\}=P\{X>Y\},$$

则 $a=$（ ）。

A. $-2-\sqrt{10}$    B. $-2+\sqrt{10}$    C. $-2-\sqrt{6}$    D. $-2+\sqrt{6}$

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答案： B

解析： 这里 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的第二个参数表示方差。由于 $X,Y$ 相互独立，故

$$X-Y\sim N(0-(-2),2+2)=N(2,4).$$

于是

$$P\{X>Y\}=P\{X-Y>0\}=P\left\{\frac{X-Y-2}{2}>-1\right\}=\Phi (1).$$

又

$$2X+Y\sim N(2\times 0+(-2),2^2\times 2+2)=N(-2,10).$$

因此

$$P\{2X+Y<a\}=\Phi \left(\frac{a+2}{\sqrt{10}}\right).$$

由题设两概率相等，且 $\Phi$ 严格单调增加，得

$$\frac{a+2}{\sqrt{10}}=1.$$

从而

$$a=-2+\sqrt{10}.$$

故选 B。

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17. 【2024-3-5 分】 设随机变量 $X,Y$ 相互独立，且

$$X\sim N(0,2),Y\sim N(-1,1),$$

若

$$p_1=P\{2X>Y\},p_2=P\{X-2Y>1\},$$

则（ ）。

A. $p_1>p_2>\frac{1}{2}$    B. $p_2>p_1>\frac{1}{2}$    C. $p_1<p_2<\frac{1}{2}$    D. $p_2<p_1<\frac{1}{2}$

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答案： B

解析： 由独立正态随机变量线性组合仍服从正态分布，得

$$2X-Y\sim N(2\times 0-(-1),2^2\times 2+1)=N(1,9).$$

因此

$$p_1=P\{2X-Y>0\}=P\left\{Z>-\frac{1}{3}\right\}=\Phi \left(\frac{1}{3}\right)>\frac{1}{2}.$$

同理，

$$X-2Y\sim N(0-2(-1),2+2^2\times 1)=N(2,6),$$

故

$$p_2=P\{X-2Y>1\}=P\left\{Z>-\frac{1}{\sqrt{6}}\right\}=\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)>\frac{1}{2}.$$

又因为

$$\frac{1}{\sqrt{6}}>\frac{1}{3},$$

且 $\Phi$ 严格单调增加，所以

$$p_2>p_1>\frac{1}{2}.$$

故选 B。

大题

1. 【1989-4-8 分】 设随机变量 $X$ 在区间 $[2,5]$ 上服从均匀分布，现在对 $X$ 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 $3$ 的概率。

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答案： $\frac{20}{27}$。

解析： 由 $X\sim U[2,5]$，一次观测值大于 $3$ 的概率为

$$p=P\{X>3\}=\frac{5-3}{5-2}=\frac{2}{3}.$$

将“一次观测值大于 $3$”看作一次成功。三次观测相互独立，因此成功次数 $Y$ 服从二项分布

$$Y\sim B\left(3,\frac{2}{3}\right).$$

所求“至少有两次观测值大于 $3$”即事件 $\{Y\ge 2\}$，故

$$\begin{array}{rl}P\{Y\ge 2\}& =P\{Y=2\}+P\{Y=3\}\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^2\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^3\\ & =\frac{12}{27}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}.\end{array}$$

本题的关键是先求出单次成功概率，再利用独立重复试验的二项分布模型。

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2. 【1992-45-7 分】 假设测量的随机误差 $X\sim N(0,10^2)$，试求在 $100$ 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 $19.6$ 的概率 $\alpha$，并利用泊松分布求出 $\alpha$ 的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。

[附表]

$\lambda$	1	2	3	4	5	6	7
$e^{-\lambda }$	0.368	0.135	0.050	0.018	0.007	0.002	0.001

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答案：

$$\alpha =1-0.95^{100}-100\times 0.05\times 0.95^{99}-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)(0.05{)}^2(0.95{)}^{98}\approx \mathrm{0.88.}$$

利用泊松分布近似得 $\alpha \approx 0.87$。

解析： 一次测量误差绝对值大于 $19.6$ 的概率为

$$\begin{array}{rl}p& =P\{|X|>19.6\}\\ & =P\left\{\left|\frac{X}{10}\right|>1.96\right\}\\ & =2[1-\Phi (1.96)]=2(1-0.975)=\mathrm{0.05.}\end{array}$$

设 $Y$ 表示 $100$ 次独立重复测量中误差绝对值大于 $19.6$ 的次数，则

$$Y\sim B(100,0.05).$$

因此

$$\begin{array}{rl}\alpha & =P\{Y\ge 3\}\\ & =1-P\{Y=0\}-P\{Y=1\}-P\{Y=2\}\\ & =1-0.95^{100}-100\times 0.05\times 0.95^{99}-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)(0.05{)}^2(0.95{)}^{98}\\ & \approx \mathrm{0.8817.}\end{array}$$

故精确的二项分布计算结果约为 $0.88$。

用泊松分布近似二项分布时，参数为

$$\lambda =np=100\times 0.05=5.$$

令 $Z\sim P(5)$，则

$$\begin{array}{rl}\alpha & \approx P\{Z\ge 3\}\\ & =1-P\{Z=0\}-P\{Z=1\}-P\{Z=2\}\\ & =1-e^{-5}\left(1+5+\frac{5^2}{2!}\right)\\ & =1-18.5e^{-5}.\end{array}$$

由附表 $e^{-5}\approx 0.007$，得

$$\alpha \approx 1-18.5\times 0.007=0.8705\approx \mathrm{0.87.}$$

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3. 【1990-45-7 分】 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 $72$ 分，$96$ 分以上的占考生总数的 $2.3\%$，试求考生的外语成绩在 $60$ 分至 $84$ 分之间的概率。

[附表]（表中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布函数）

$X$	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
$\Phi (x)$	0.500	0.692	0.841	0.933	0.977	0.994	0.999

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答案： $0.682$。

解析： 设考生的外语成绩为 $X$，由题意可设

$$X\sim N(72,{\sigma }^2).$$

已知

$$P\{X>96\}=0.023,$$

故

$$P\left\{\frac{X-72}{\sigma }>\frac{96-72}{\sigma }\right\}=\mathrm{0.023.}$$

由附表 $\Phi (2)=0.977$，即

$$P\{Z>2\}=1-\Phi (2)=\mathrm{0.023.}$$

因此

$$\frac{96-72}{\sigma }=2,$$

解得

$$\sigma =12.$$

于是

$$\begin{array}{rl}P\{60<X<84\}& =P\left\{\frac{60-72}{12}<\frac{X-72}{12}<\frac{84-72}{12}\right\}\\ & =P\{-1<Z<1\}\\ & =\Phi (1)-\Phi (-1)\\ & =2\Phi (1)-1\\ & =2\times 0.841-1\\ & =\mathrm{0.682.}\end{array}$$

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4. 【1991-5-6 分】 在电源电压不超过 $200$ 伏、在 $200\sim 240$ 伏和超过 $240$ 伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 $0.1$、$0.001$ 和 $0.2$。假设电源电压 $X$ 服从正态分布 $N(220,25^2)$，试求：

（1）该电子元件损坏的概率 $\alpha$；

（2）该电子元件损坏时，电源电压在 $200\sim 240$ 伏的概率 $\beta$。

[附表]（表中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布函数）

$X$	0.10	0.20	0.40	0.60	0.80	1.00	1.20	1.40
$\Phi (x)$	0.530	0.579	0.655	0.726	0.788	0.841	0.885	0.919

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答案：

$$\alpha =0.064176,$$

$$\beta =\frac{0.000576}{0.064176}\approx \mathrm{0.00898.}$$

解析： 设事件

$$A_1=\{X\le 200\},A_2=\{200<X\le 240\},A_3=\{X>240\},$$

事件 $D$ 表示电子元件损坏。由题意，

$$P(D\mid A_1)=0.1,P(D\mid A_2)=0.001,P(D\mid A_3)=\mathrm{0.2.}$$

由于 $X\sim N(220,25^2)$，标准化后有

$$P(A_1)=P\left\{\frac{X-220}{25}\le -0.8\right\}=\Phi (-0.8)=1-\Phi (0.8)=1-0.788=\mathrm{0.212.}$$

同理，

$$\begin{array}{rl}P(A_2)& =P\{-0.8<Z\le 0.8\}\\ & =\Phi (0.8)-\Phi (-0.8)\\ & =0.788-0.212\\ & =0.576,\end{array}$$

且

$$P(A_3)=1-\Phi (0.8)=\mathrm{0.212.}$$

（1）由全概率公式，电子元件损坏的概率为

$$\begin{array}{rl}\alpha =P(D)& =\sum _{i=1}^{3}P(A_i)P(D\mid A_i)\\ & =0.212\times 0.1+0.576\times 0.001+0.212\times 0.2\\ & =0.0212+0.000576+0.0424\\ & =\mathrm{0.064176.}\end{array}$$

（2）由贝叶斯公式，

$$\begin{array}{rl}\beta & =P(A_2\mid D)\\ & =\frac{P(A_2)P(D\mid A_2)}{P(D)}\\ & =\frac{0.576\times 0.001}{0.064176}\\ & =\frac{0.000576}{0.064176}\\ & \approx \mathrm{0.00898.}\end{array}$$

即在电子元件已经损坏的条件下，电源电压处于 $200\sim 240$ 伏的概率约为 $0.898\%$。